安徽省八年级第二学期数学全册复习课件

一元二次方程勾股定理专题复习八年级下复习专心致志是一种迷人的表情！运气会眷顾每一个认真努力的人！部分直达目录

第1章重要不等式十字相乘法韦达定理第2章

2021配方法一元二次方程应用学无止境网格中作垂线段曲面最短路径第3章最值专题折叠专题第4章思想方法专题今天讲作业三数方差第5章二次根式

是否为二次根式？1、分母≠02、开平方时被开方数非负求未知数取值范围☆

二次根式的性质化简☆

下列各式中是最简二次根式的有：

。

最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母有理化

延伸阅读：共轭根式

带分数要化成假分数分母有理化二次根式计算☆非负数和为0被开平方数互为相反数被开方数为0的两种典型☆规律探索与数列求和

一元二次方程直接开平方解一元二次方程

注意：平方根有两个将方程写成(x+h)2=k形式公式法解一元二次方程

b2-4ac≥0是继续进行下一步的前提注意：两根的共轭特征因式分解法解一元二次方程延伸阅读：十字相乘法x2-2ax-b2+a2=03(x-2)2+x(2-x)=05x2=4x解5x2-4x=0

x(5x-4)=0

x=0或5x-4=0∴x1=0,x2=4/5这里要注意：两边同除以x会导致“失根”解3(x-2)2-x(x-2)=0(x-2)[3(x-2)-x]=0

x-2=0或3(x-2)-x=0∴x1=2,x2=3解x2-2ax+a2-b2=0x2-2ax+a2=b2(x-a)2=b2

x-a=±b∴x1=a+b,x2=a-b(x-2)与(x-2)互为相反数，要先变形成相同本题亦可以用配方法或公式法解答解x2-2ax+a2-b2=0[x-(a+b)][x-(a-b)]=0x-(a+b)=0或x-(a-b)=0∴x1=a+b,x2=a-b选择合适的方法解一元二次方程直接开平方法配方法、公式法、因式分解公式法、因式分解直接开平方法公式法公式法、因式分解法因式分解法直接开平方法也可以将二次项系数化1不可以将二次项系数化1配方法☆求2x2+8x+6的最值用配方法解方程2x2+8x+6=0配方法☆配方法☆ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为Δ=b2-4ac(1)Δ=b2-4ac>0时方程有两个不相等的实数根(2)Δ=b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根(3)Δ=b2-4ac<0时方程没有实数根根的判别式☆根的判别式☆

一元三次方程的韦达定理根与系数关系☆根与系数关系☆根与系数关系☆例当k取何值时，方程x2-kx+2k-1=0的两个实根平方和等于7.解设方程两根为x1，x2，由韦达定理，有

x1+x2=k，

x1x2=2k-1由题意x12+x22=7，即（x1+x2）2-2x1x2=7

∴k2-2(2k-1)=7,解得k=-1或5当k=5时，Δ=52-4×1×(2×5-1)=-11＜0，故k=5舍去当k=-1时，Δ=(-1)2-4×1×(-2-1)=13＞0，综上，k=-1根与系数关系☆练：已知关于x的方程x2-(m2+1)x+m-2=0的两实根x1，x2满足(1+x1)(1+x2)=2,求m的值。解由韦达定理，有

x1+x2=m2+1，x1x2=m-2由题意1+x1+x2+x1x2=2，即1+m2+1+(m-2)2=2,解得m=1或-2当m=1时，Δ=4-4×1×(-1)=8＞0，当m=-2时，Δ=25-4×1×(-4)=41＞0，综上，m=1或-2一般形式：ax2+bx+c=0一般形式与因式分解形式

因式分解形式：a(x-x1)(x-x2)=0因式分解简化展开、二次项系数化为1x2-(x1+x2)x+x1x2=0(x-x1)(x-x2)=0展开韦达定理形式得出韦达定理十字相乘法因式分解运用韦达定理求代数式值☆

本题亦可将两根求出后直接代入代数式计算,但计算量较大巧用韦达定理☆

增长率问题利润问题面积问题循环赛问题一元二次方程应用☆

25(1-20%)(1-25%)=1525(1-x)2=1525(1-20%)(1-25%)=25(1-x)2===>(1-20%)(1-25%)=(1-x)2

一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒15元，求两次降价平均降价率x。1、平均变化率问题☆某青年旅社有60间客房供游客居住，在旺季，当客房定价为每天200元时，所有客房可住满。客房定价每提高10元，就会有一个客房空闲，对有游客居住的客房，旅社还要支出20元每天的维护费，设客房定价提高x元。(2)若该青年旅行社希望每天获得14000元纯收入且能吸引更多游客，则每间客房定价应为多少？2、利润问题☆

在△ABC中，AC=50cm，BC=40cm，∠C=90°，点P从A开始以2cm/s速度在AC上匀速移动，同时另一点Q从C开始以3cm/s速度在射线CB上匀速移动，当△PCQ面积等于300cm2时，运动时间为

。

3、动点、面积问题☆1、新年里，一兴趣小组所有成员互赠贺卡，全组共赠送贺卡72张，该组成员人数为

。2、一个小组得同学元旦见面时，每两人握手一次，所有人共握手10次，问该小组有多少人？

4、循环赛问题☆

某市为处理污水，需要铺设一条长4000m的管道，为尽量减少施工对交通造成影响，实际每天比计划多铺设10m，结果提前20天完成，求计划为天铺设多少米？解

两边同乘x(x+10)得

4000(x+10)-4000x=20x(x+10)

整理得x2+10x-2000=0

解得x1=40，x2=-50

经检验x1=40,x2=-50是分式方程的根

分式方程要验增根分式方程解应用题要“双检验”5、可化为一元二次方程的分式方程☆勾股定理直角三角形的概念、性质与判定斜边的一半斜边的一半直角勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即____________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：__________，那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数a2＋b2＝c2

a2＋b2＝c2勾股定理证明面积法关于图形赵爽弦图运用如图,正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为()

A.B.C.D.MNA36+25=61100-61=3939-25=143344343443记一记记一记勾股定理应用---梯子下滑梯子下滑问题1、梯子AB=13m，靠在墙上，OB=5m（1）求OA的长；（2）顶端A下滑2m，底端B水平方向滑动几米？

注意：梯子顶端滑动的距离与低端滑动的距离不一定相等。勾股定理应用---梯子下滑勾股定理应用---折叠（对称）2、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将其沿CE折叠使D落在AC上的F点（1）求EF的长；（2）求四边形ABCE的面积。

勾股定理应用---折叠（对称）勾股定理应用---折叠（对称）长方形ABCD沿AE折叠，使D落在AC边F处，AB=6，AD=8，求EF。

勾股定理应用、分类讨论已知△ABC中，AB=13,AC=20,BC边上的高AD=12，求△ABC的面积。

用方程思想求高已知△ABC中，AB=13,AC=14,BC=15，求△ABC的面积。

分析：已知三角形三边“SSS”，形状唯一确定由132+142>152知，该三角形为锐角三角形。无图题是否一定讨论？要注意分析根据已知条件三角形形状是否唯一确定。勾股定理逆定理应用判断三角形形状1、△ABC三边a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,试判断△ABC形状。2、△ABC三边a，b，c满足√a-b+(a2+b2-c2)2=0,试判断△ABC形状。勾股定理逆定理应用3、已知三角形三边为n2+1、n2-1、2n，其中n＞1，该三角形是不是直角三角形，说明理由。根据图形中数据求图形面积勾股定理逆定理应用勾股定理+数形结合勾股定理+方程思想勾股定理+最短路径问题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题最值专题网格中作垂直线段归纳：在网格中，长宽分别为a，b的矩形对角线(通常说成a×b对角线)与长宽分别为b，a的矩形对角线互相垂直。即a×b对角线与b×a(kb×ka)对角线互相垂直。四边形平行四边形与面积平行四边形与面积如图，在平行四边形的一角减去一个小的平行四边形，小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，你知道怎么分吗？“等(同)底等(同)高”同底等高等底同高等底等高面积：等底？等高？如图，在平行四边形ABCD的边BC上任取一点P，作PQ//BD交CD于Q，连接BQ，DP，AP，AQ，则与∆ABP面积相等的三角形有哪些？还有哪些面积是相等的？同底等高同底等高同底等高“等(同)底等(同)高”平行四边形与三角形平面直角坐标系中以O(0,0),A(1,-1),B(2,0)为顶点构造平行四边形，则第四个顶点坐标为

。平行四边形与三角形两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形三种不同的平行四边形两种不同的平行四边形一种平行四边形平行四边形性质平行四边形性质平行四边形性质平行四边形判定+勾股定理☆

(1)∠BFC=∠1+∠2，∠BCF=∠3+∠4，又∠2=∠3，∠1=∠4（同角的余角相等）所以∠BFC=∠BCF，所以BF=BC

平行四边形判定三角形的中位线☆

用“转化思想”求最值（求EF最大值转化为求DN最大值）最值专题三角形的中位线☆你来试试平行线等分线段定理及推论过三角形一边中点平行于另一边的直线必平分第三边。矩形的性质☆如图，矩形ABCD对角线AC与BD交于O点，P为AD边任一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值是定值吗？

面积法同类链接矩形判定与最值☆证明：在平行四边形ABCD中AC2+BD2=2(AB2+BC2).

平方等式的证明☆证明：在平行四边形ABCD中AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二：如图，以B为原点建立直角坐标系设A坐标为(a,b),C坐标为(c,0)，则D坐标为(a+c,b)由两点距离公式有：AC2=(a-c)2+(b-0)2=a2-2ac+c2+b2,BD2=(a+c-0)2+(b-0)2=a2+2ac+c2+b2AB2=(a-0)2+(b-0)2=a2+b2,BC2=c2AC2+BD2=a2-2ac+c2+b2+a2+2ac+c2+b2=2(c2+b2+a2)=2(AB2+BC2).aba+c点O为矩形ABCD内一任意一点，求证：OA2+OC2=OB2+OD2.若点O在矩形ABCD外呢？OA2+OC2=AE2+OE2+OF2+CF2=DF2+OE2+OF2+BE2=DF2+OF2+BE2+OE2=OB2+OD2

S1S2中点四边形任意四边形的中点四边形为平行四边形矩形的中点四边形为菱形菱形的中点四边形为矩形中点四边形的形状取决于对角线的位置和数量关系同类链接菱形轴对称性习题讲解同类链接同类链接截长补短∵AB//CD及折叠∴∠1=

∠2=

∠3=

∠4∴AB=BC=CD=DA即四边形ABCD为菱形连接BD，由“菱形ABCD”知：EF⊥BD，OA=OC，OB=OD由AE=CF，得OE=OF。故四边形BEDF为菱形。先用“三直角”证明矩形，再用三角形全等证邻边相等先证∆ABD与∆BCD为等边三角形，得∠BDE=∠BCF=60°由AE+CF=2，AD=2，得DE=CF

数据的集中趋势与离散程度一、数据的集中趋势平均数定义一组数据的平均值称为这组数据的平均数平均数一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么_____________________叫做这n个数的平均数加权平均数一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数．算出来的最多正中间位置的数两个数据的平均数中位数定义将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于________________就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间_________________________就是这组数据的中位数.防错提醒一定要先排序众数定义一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数.防错提醒(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来分析.排出来的数出来的

某校对八九年级学生进行了一次体质健康测试，现从两个年级各随机抽取40人成绩整理分析，部分信息如下：a、八年级学生成绩频数直方图：b、八年级学生80≤x<90这一组成绩是：80，82，84，85，86，86，88，88，88，88，89c、八九年级成绩平均数、中位数如下：根据以上信息回答：(1)抽取的八年级学生中80分(含)以上的有

人，m=

.(2)若两个年级总人数相同，八年级学生甲与九年级学生乙均为85分，请判断谁的成绩在各自年级排名更靠前。(3)该校八年级有1600人，估计成绩超过分的人数。年级平均数中位数八87.1m九89.285.5分数50-6060-7070-8080-9090-1008082848586868888888889人数11061112（1）80分以上的有11+12=23人；由上表可知第20，21名成绩分别为84，85，故八年级中位数为分。（2）甲的成绩85分高于八年级中位数分，处中等偏上；乙的成绩85分低于九年级中位数分，处中等偏下；故甲排名更靠前。

表示波动的量定义意义方差设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的______的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用_____________________________来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2（≥0）方差越大，数据的波动越________，反之也成立二、数据的波动程度平均数大方差是衡量数据波动程度、稳定性、整齐度等性质的特征量。在有比较的情况下才能体现它的作用。

下列各组数中的方差相等吗？（1）1，1，1，1，1，1与2，2，2，2，2，2；（2）1，1，1，1与1，1，1，1，1，1，1，1；（3）1，2，3，4，5与1，2，3，4，5，6，7。三、用样本估计总体1．统计的基本思想：

用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征．2．统计的决策依据：

利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．专题---最值问题线段最值问题折线最值问题（将军饮马）单动点双动点技巧：转化为单动点问题“转化思想”用中位线“转化”用矩形对角线“转化”简单“将军饮马”曲面最值问题展开：化为平面最值问题对称+化折为直技巧：直接运用“垂线段最短”多动点最值平移与最值重要的思想方法分类讨论数形结合方程函数模型应用涉及“高”的分类求最值几何证明（建立坐标系）折叠问题梯子下滑问题求高：面积法求高方程思想求高“中点+⊥”=>斜边中线等于斜边一半/共斜边直角三角形=>等腰三角形多个中点=>中位线（位置关系，数量关系）求三角形面积是否分类讨论：看已知条件是否唯一确定三角形形状（SSS、ASA、AAS、SAS可唯一确定）菱形、正方形既是轴对称又是中心对称图形，根据对称特性可考虑旋转全等、垂线段最短等二次根式计算结果必须化成最简二次根式韦达定理使用前提：∆≥0；分式方程需写检验几点提醒几个思路

共轭根式

共轭根式与分母有理化共轭根式与简便运算

共轭根式易于计算x+y,x-y,xy将代数式变形为用x+y,x-y,xy表示，简化计算

十字相乘法x2+5x+6=

;2x2-8x+6=

;xx23→2x→3x2x+3x=5x原式=(x+2)(x+3)1、将二次项与常数项分解成两因数的积2、交叉相乘相加验证和是否等于一次项3、若“和=一次项”则第一步中的分解正确，写出分解结果；若“和≠一次项”则重新分解二次项或常数项2xx-2-3→-2x→-6x-2x-6x=-8x(2x-2)(x-3)=2(x-1)(x-3)xx-(a+b)-(a-b)→-(a+b)x→