三角函数的图像与性质

关于三角函数的图像与性质第1页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？问题提出1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？P（x，y）OxyMsinα=MPcosα=OM第2页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y=cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？第3页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三正、余弦函数的图象第4页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（一）：正弦函数的图象

思考1：作函数图象最原始的方法是什么？思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？第5页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三xy1-1O2ππ思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？第6页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？x-1O2ππ1y第7页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考6：当x∈[2π，4π],[-2π，0],…时，y=sinx的图象如何？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π第8页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-π第9页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考8：你能画出函数y=|sinx|，x∈[0，2π]的图象吗？yxOπ12π-1第10页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（二）：余弦函数的图象

思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2

的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？xyo-1第11页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？

向左平移a个单位.

思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？第12页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：由诱导公式可知，y=cosx与是同一个函数，如何作函数在[0，2π]内的图象？xyO2ππ1y=sinx-1第13页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？xyO2ππ1-1第14页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？xyO1-1第15页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例1用“五点法”画出下列函数的简图：

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0，2π].第16页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三xsinx1+sinx100001-11201x-1O2ππ1y2y=1+sinx第17页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三xcosx-cosx101001-1-100-1x-1O2ππ1yy=-cosx第18页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三

例2当x∈[0，2π]时，求不等式的解集.xyO2ππ1-1第19页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三小结作业1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.第20页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.作业：P34练习：2P46习题1.4A组:1第21页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三第一课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

第22页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三问题提出1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第23页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.第24页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三函数的周期性第25页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（一）：周期函数的概念

思考1：由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？.思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？其数学意义如何？

第26页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),

那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.第27页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函数的最小正周期是多少？为什么？第28页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三

正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z,k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？第29页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（二）：周期概念的拓展思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？第30页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？思考5：一般地，函数的最小正周期是多少?思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？第31页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例1求下列函数的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；

（3）

，x∈R；（4）y=|sinx|x∈R.

例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？第32页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三

例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.第33页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三小结作业

1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.第34页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三4.函数和的最小正周期都是，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.作业：P36练习：1，2，3.第35页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

第二课时第36页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三问题提出1.周期函数是怎样定义的？

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),

那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.第37页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数和的最小正周期是多少？3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.第38页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三函数的奇偶性、单调性与最值第39页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx第40页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.第41页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是减函数.第42页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是减函数.xyO1-1y=cosx第43页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考5：正弦函数在每一个开区间（2kπ，＋2kπ）(k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？第44页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？正弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-1第45页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？余弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-1.第46页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？正弦曲线关于点（kπ，0）和直线对称.[-|A|，|A|]第47页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？余弦曲线关于点和直线x=kπ对称.第48页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例1求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.第49页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三

例3求函数，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.

例2比较下列各组数的大小:第50页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三小结作业

1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.第51页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.第52页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三1.4.3正切函数的图象与性质第53页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三问题提出1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.第54页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三正切函数的图象和性质第55页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（一）：正切函数的性质思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？正切函数是周期函数，周期是π.第56页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考3：函数的周期为多少？一般地，函数的周期是什么？思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数是奇函数第57页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考5：观察下图中的正切线，当角x在内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？T1OxyAT2O第58页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在开区间都是增函数思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？第59页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考8：当x大于且无限接近时，正切值如何变化？当x小于且无限接近时,正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么?正切函数的值域是R.T1OxyAT2O第60页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间的图象，具体应如何操作？Oxy第61页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考2：上图中,直线和与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性,如何画出正切函数在整个定义域内的图象？yOx第62页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？正切曲线关于点对称.

思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？第63页，讲稿共71页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例1求函数的定义域、周期和单调区间.

例2试比较tan8和tan()的大小.

例3若，求x的取值范围