高数无穷级数常数项级数审敛法

高数课件无穷级数常数项级数审敛法营口地区成人高等教育QQ群54356621第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.正项级数收敛的充要条件:部分和数列为单调增加数列.定理第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群543566213.比较审敛法证明即部分和数列有界第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621解由图可知第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法证明第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群543566214.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621证明由比较审敛法的推论,得证.第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621解原级数发散.故原级数收敛.第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621证明第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621收敛发散第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621比值审敛法的优点:不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性两点注意:第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621解第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621比值审敛法失效,改用比较审敛法第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621例5解由于不存在，检比法失效而对由检比法得收敛故由比较审敛法知收敛第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621例6解由检比法得级数收敛级数发散第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621检比法失效，但即后项大于前项故级数发散第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621证明取则由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621由知故不趋于0发散不能判定如都有但收敛发散第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621级数收敛.第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621二、交错级数及其审敛法定义:

正、负项相间的级数称为交错级数.第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621证明第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621满足收敛的两个条件,定理证毕.第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621解原级数收敛.证明

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单调减的方法？？？第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621上定理的作用：任意项级数正项级数第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621解故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621定理设有级数则绝对收敛发散可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621注意一般而言，由发散，并不能推出发散如发散但收敛如果发散是由检比法和检根法而审定则必定发散这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于0由第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期六营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题第三十五页，共三十八页，编辑于2023年