2022年河南省南阳市灌涨高级中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022年河南省南阳市灌涨高级中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G是△A′BD的()A．垂心

B．外心

C．内心

D．重心

参考答案：D略2.若平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D【考点】平面的法向量．【分析】点A到平面α的距离为d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（0，2，2），A（1，0，2），B（0，﹣1，4），A?α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），∴点A到平面α的距离为d===．故选：D．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：AA正确。4.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（

）A.－6

B.－8

C.－10

D.－12参考答案：A5.下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（

）参考答案：A略6.已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．7参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点弦公式，求得x1+x2=10，则线段AB的中点横坐标为，即可求得线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5，故选：C．7.在数列中，则的值为（）A.49B.

50

C.51

D.52

参考答案：D略8.若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）参考答案：B【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．9.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（

）A.1只 B.只 C.只 D.2只参考答案：C依题意设,即,解得.故选C.10.在同一坐标系中，方程与（＞ｂ＞０）的曲线大致是（）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线ky2－8kx2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k的值为__________．参考答案：略12.与向量=（12，5）平行的单位向量为

；参考答案：略13.设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．【解答】解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：14.等比数列的前项和为，若，则公比

．参考答案：15.己知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是

．参考答案：【考点】MD：平面的法向量．【分析】设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），可得，即可得出平面ABC的一个单位法向量=．【解答】解：=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，1，1）．则平面ABC的一个单位法向量==．故答案为：．16.在等比数列{an}中，已知Sn=3n+b，则b的值为_______．参考答案：－1略17.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P使|PF1|=e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【分析】由椭圆的定义可得e（x+）=e?e（﹣x），解得x=，由题意可得﹣a≤≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|=e|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+）=e?e（﹣x），∴x=，由题意可得﹣a≤≤a，∴﹣1≤≤1，∴，∴﹣1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1），故答案为：[，1）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图的三个顶点都在⊙O上，的平分线与BC边和⊙O分别交于点D、E.

(1)指出图中相似的三角形，并说明理由；

(2)若，求的长.参考答案：.(1)

(2)

略19.设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．参考答案：【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ）由（1）得．类似的，，（7分）又；∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx．∴=（12分）【点评】本题考查综合法与分析法，解题的关键是根据（I）类比出一个条件作为证明的前提．再利用综合法证明，正确理解综合法与分析法的原理与作用，顺利解题很关键．20.已知展开式的二项式系数和比展开式的偶数项的二项式系数和大48，求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分别求出展开式的二项式系数和，展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差列方程，解方程求出的值，二项式系数最大项为第，即可求解；（2）设第项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的值【详解】（1）依题意，的展开式中第6项二项式系数最大，即；（2）设第项的系数的绝对值最大，则，，得，即，，所以系数的绝对值最大的是第8项，即.【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．22.在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A；（2）若△ABC的面积S=10，b=5，求边a．参考答案：【考点】HT：三角