2023届上海市普陀区高考一模数学试题

普陀区2022学年第一学期高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．每题zi1iImz1.若（其中i表示虚数单位），则______．2.若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为______．1yxx3y0的，则满足x的取值范围为______．23.设,ytan2x44上的零点为______．在区间4.函数y12sinx的最小正周期为______．25.函数x1x154x26.在展开式中，含有项的系数为______．x2y1237.双曲线的两条渐近线的夹角为______.68.“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成22罐，则的一箱，且每箱均有罐可以中奖．若从一箱中随机抽取能中奖概率为______．m22C:xym1m24mRl:x19.设．若直线与曲线m______．仅有一个公共点，则512510.某地“小康果”大丰收，现抽取个样本，其质量分别为、b127121124a、、、（单位：克）．若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为______（用数字作答）．yfxbRab．若函数R，且fxx1x11.设a、且的表达式为fafb1ab1，则的最大值为______．111kaaaa222，则使得不等式123aaaaaa总3aa12.设、、3均为正数且1212312k成立的的取值范围为______．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知直线l、m和平面、，下列命题中的真命题是（）lmll//ml//A.若，，则B.若，，则ml//mD.若，，则l//llC.若，，则lgxlnxxR的14.设，则充要条件是（）x1x10A.x0B.C.D.0x1a:b:c1:k:3ba2cbk0abc15.设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4AAA1A3A7A2216.设、、、、是均含有个元素的集合，且，17AAi1,2,3,,6ABAAA，记1237，则中元素个数的最小Bii1值是（）568D.A.B.C.7三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图所示，BD为四边形ABCD的对角线，设AB＝AD＝1，△BCD为等边三角形．记．BAD0BD3（1）当时，求的值；

的（2）设S为四边形ABCD面积，用含有的关系式表示S，并求S的最大值．ab18.设a、b均为正整数，为首项为a、公差为b的等差数列，为首项为b、公比nn为a的等比数列．tababab1a3ii（1）设t为正整数，当，，7t79时，求i1的值；ababaab1ab（2）若11223，且对于某项，存在k，使得k，试提出一个mm关于m、k的结论，并说明理由．19.如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥桥面的中心O．主梁连接桥面大4条上行步道．设CD为其中的吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面面上的射影为圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有可以通往桥面的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．（1）求证：CD//平面SOA；（2）设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面4:5与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的所成角的大小为30°．桥面小圆距离．xy22:1FF95的左、右焦点分别为、，直线1220.在xoy坐标平面内，已知椭圆ykxk0与相交于A、B两点．11

AF1k2x90d的距离，当变化时，求证：为定值；1（1）记d为A到直线AFBF时，求的值；22AFB120（2）当2（3）过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交于另一点P，记直线kk取何值时，有最小值？并求出此最小值．12kkPB的斜率为，当21yfxxDD在上具有性yfx21.若函数同时满足下列两个条件，则称M质．yfx存在；fxD①在上的导数fx存在，fxfx）恒成（其中fx0yfxD在上的导数②且立．ylg1上是否具有性质M？并说明理由．0,x（1）判断函数在区间gx2xaxb32x1处取得极值，是否存x在ba（2）设、均为实常数，若奇函数ygxc,上具有性质Mcc的在实数，使得在区间？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．1lnx1kx1成立，求x0,，不等式kZk0，对于任意的x（3）设且k的最大值．

普陀区2022学年第一学期高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1【答案】12.【答案】21,3.【答案】4.【答案】0π5.【答案】6.【答案】16607.【答案】350.68.【答案】##9.【答案】0210.【答案】340.7511.【答案】##,53212.【答案】二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16

题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】CDBA三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.如图所示，BD为四边形ABCD的对角线，设AB＝AD＝1，△BCD为等边三角形．记．BAD0BD3（1）当时，求的值；（2）设S为四边形ABCD的面积，用含有的关系式表示S，并求S的最大值．2π3【答案】（1）；321（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求；SSS，ABDBCD，结合三角形面积公式即可求.△△BD2（2）由余弦定理得【小问1详解】ABADBD212π3；22由余弦定理得，cos0,π2ABAD2，，故【小问2详解】

，BDABAD2ABADcos22cos222由余弦定理得，13133π323SSSABADsinBDsincossin2BCD24222ABD，ππ5π31S的最大值为3262则当时，ab18.设a、b均为正整数，为首项为a、公差为b的等差数列，为首项为b、公比nn为a的等比数列．tababab1a3ii（1）设t为正整数，当，，7t79时，i1求的值；ababaab1ab（2）若11223，且对于某项，存在k，使得mk，试提出一个m关于m、k的结论，并说明理由．【答案】（1）58；m2k1，理由见解析.（2）【解析】aba79可解出t，进而求值即可；【分析】（1）结合通项公式，由7tababab2bNa2*（2）由11223结合数列性质可解出，且，由b2m131abk1m2k1.mk得，即可根据因式为整数解出b及【小问1详解】a3n11n281,b3t1a9,aaba34，332t1，，由7t79得n779tt为正整数，故t13t4，t4abi2334561392758i1ii；i1i1【小问2详解】m2k1，理由如下：ababaababbaa2b，由3得bbaa1，由由1122

baa2ba2b2b12b1Nb2bNaa2**，又，故，且，m13，1ab1am1bbak1b2，即k1由mk得2m1Zb3m2k1，∴，k1.“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心O．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．∵19.如图，（1）求证：CD//平面SOA；（2）设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为4:5，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离．【答案】（1）证明过程见详解18（2）米【解析】【分析】(1)根据题意可知：CD∥SO，利用线面平行的判定即可证明；(2)根据题意利用勾股定理先求出点C到桥面的距离，再求出底面到桥面的距离，最后相加即可求解.【小问1详解】由题意可知：CDCD∥SO，SO桥面，桥面，所以CDSO平面SOASOA，所以CDSOA.∥平面，平面【小问2详解】作出其中一个主梁的轴截面，连接SO,OC，

SO204:5由题意可知：，因为桥面小圆与大圆的半径之比为，也即OD16,OCSO20，OD:SO4:5，所以RtOCD在CDOCOD2201612，222中，12所以点C到桥面的距离为米，又因为AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°，h12sin306，所以地面到桥面的距离为12618米.故点C到地面的距离为xy22:1FF的左、右焦点分别为、，直线129520.在xoy坐标平面内，已知椭圆ykxk0与相交于A、B两点．11AF1k2x90d的距离，当变化时，求证：为定值；1（1）记d为A到直线AFBF时，求的值；22AFB120（2）当2（3）过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交于另一点P，记直线kkkk取何值时，有最小值1PB的斜率为，当？并求出此最小值．122【答案】（1）答案见详解；

203（2）；（3）答案见解析.【解析】9dxAx,yAF1x2y21，进而可推出22以及1【分析】（1）设，求出111AF2AF411d29，即可证明d为定值；AFBF12可得AFAF6，根据FAF60.根据椭圆的定义有（2）由平行四边形1212余弦定理即可求出结果；Bx,y.令直线11Pxy,Ax,yk的斜率为，则直线PA的方PA（3）设，，则1100xykx12k程为：，与椭圆方程联立，根据韦达定理得到坐标与的关系，进而表示k5k,k,k2之间的关系，推出6k，然后根据基本不等式即可得出结果.2出11【小问1详解】xy5x22211y5，21Ax,y11959A证明：设点坐标为，则有1.1F2,0F2,0，b5c24，c2，，，.由已知可得，a312dx9到直线2x90的距离为11AFx2yAx,y221，2.1则11495x4xx22121x254x92AF2x2y22924991111d2119929992222xx1xx122211则，AFAF211k1k1d3d所以，是个与无关的定值，即当变化时，为定值.【小问2详解】

AF,BFAFBF12为平行四边形如图，连结11，根据椭圆的对称性，可得四边形.AFAF6由椭圆的定义可得，，12AFAFAF1AF2AF·AF36212.22所以有122AFB120FAF60.，所以12因为2AFAF2AF·AFcos60FF162，122在中，由余弦定理可得，2△AFF121212AFAFAF·AF16AFAF2AF·AF3622，又，121222即121220AF·AF3AF·AF203，则12两式作差可得12【小问3详解】Pxy，0Bx,y，011,Ax,y设故，则11xN1,0.Mx,012，xykx12，k令直线PA的斜率为，则直线的方程为：PAx2y9214219k5x9kxxkx450222代入椭圆方程95可得，，19kx2xx韦达定理可得，19k5，于是012根据xkxx5kxyykx111229k5.01012

y2y2k11kyy5x13x31k01xxx9k122故0，又因为1.1556kk229k131故.10k0kk0又因为，所以，.1115303kkk5k6k52k16k6k1211于是根据基本不等式，可得，111530kk，即6k16时，等号成立.1当且仅当1306303k所以，当kk1，有最小值.12【点睛】“设而不求”是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法.本题中，设kkPA出点的坐标较多，直线数量较多，需要转化的量也较多.引入直线的斜率，通过表k56k，然后kkk2示出几个点之间的关系，以作为纽带，将与联系起来，最终求得211借助基本不等式求出结果.D在上具有性yfxxDyfx21.若函数同时满足下列两个条件，则称M质．yfxfxD①在上的导数存在；yfxfxfx）恒成（其中fx0fxD②在上的导数存在，且立．ylg1（1）判断函数在区间上是0,xM否具有性质？并说明理由．gx2xaxb奇函数32x1bxa（2）设、均为实常数，若在处取得极值，是否存ygxc,ccM在实数，使得在区间上具有性质若？存在，求出的取值范围；若

不存在，请说明理由．1lnx1kx1成立，求x0,kZk0（3）设且，对于任意的，不等式xk的最大值．ylg11）函数M上具有性质；0,x【答案】（在区间ygx；c,0,取值范围是cc（2）存在实数，使得在区间上具有性质M，的k3（3）的最大值为.【解析】yfxlg1【分析】（1）令fxfx，并判断x，按照题目所给定义，求出和fx0是否恒成立即可；gxx1ba（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定gxc，即可求出的取值范围；义，求出x11lnx1xx11lnx1Fxkx（3）分离参数得，构造函数，通Fxk的最小值，即可确定正整数的最大值.过【小问1详解】yfxlg1x0,x令，，11xln1011fxxxln102，x0,则，1xln10xln101fx，x0,2，时，1x0,fx0x2ln10当恒成立，

ylg10,xM上具有性质；∴函数在区间【小问2详解】gx2xaxb32x∵∴，bgx6x2ax2x2，gxgx∵∴在x1处取得极值，且为奇函数，gxx=1处也取得极值，在g162ab0a0g162ab0b6，∴，解得66gx2xgx6x6x6x2322xx2∴，，gx0，解得x1；令gx00x1；当x0时，令，解得gxgx0,11,故∴在单调递减，在单调递增，满足在x1处取得极值，12gx12x12x12x3x3，12x0,gx12x0x3当时，恒成立，c0,gx0上恒成立，c,∴存在实数，使在区间ygx0,；c,ccM∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是【小问3详解】x0,∵∴令，1lnx1kx11lnx1x1kxx，