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链式法则一阶全微分形式不变性性质现设则复合后,有变量间关系:定理12.2.1.链式法则一阶全微分形式不变性性质证:设注意到

类似可得第二式.

链式法则一阶全微分形式不变性性质若内层函数都是一元函数,则有如下定理.

若函数处可微,在点t可导,则复合函数且有链式法则以上公式中的导数称为全导数.链式法则：连线相乘，分线相加链式法则一阶全微分形式不变性性质若定理中说明:又例如:易知:但复合函数可微减弱为可偏导,则定理结论不一定成立,见例,p.156.链式法则一阶全微分形式不变性性质推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.以上公式中的导数也为全导数.链式法则一阶全微分形式不变性性质链式法则一阶全微分形式不变性性质特别地,设当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定复合函数中的y

对x

求导,表示固定中v

对x

求导.与不同链式法则一阶全微分形式不变性性质例1.设解:链式法则一阶全微分形式不变性性质例2.解:链式法则一阶全微分形式不变性性质例3.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.链式法则一阶全微分形式不变性性质为简便起见,引入记号例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则为简便起见,引入记号链式法则一阶全微分形式不变性性质(当在二、三象限时,)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则链式法则一阶全微分形式不变性性质链式法则一阶全微分形式不变性性质

已知注意利用已有公式链式法则一阶全微分形式不变性性质同理可得链式法则一阶全微分形式不变性性质内容小结复合函数求导的链式法则“连线相乘，分线相加”例:其它变形链式法则一阶全微分形式不变性性质二、一阶全微分形式不变性设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做一阶全微分形式不变性.链式法则一阶全微分形式不变性性质解：利用一阶全微分形式不变性解题链式法则一阶全微分形式不变性性质例7.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故链式法则一阶全微分形式不变性性质对方程两边求微分:解法2

微分法.链式法则一阶全微分形式不变性性质解:利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由dy,dz

的系数即可得例8.设求链式法则一阶全微分形式不变性性质思考与练习例1.……链式法则一阶全微分形式不变性性质例2.链式法则一阶全微分形式不变性性质例3.链式法则一阶全微分形式不变性性质例题1.

已知求解:由两边对

x

求导,得链式法则一阶全微分形式不变性性质2.

求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)链式法则一阶全微分形式不变性性质思考题链式法则一阶全微分形式不变性性质思考题解答链式法则一阶全微分形式不变性性质练习题链式法则一阶全微分形式不变性性质链式法则一阶全微分形式不变性性质链式法则一阶全微分形式不变性性质练

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