江苏省东台市实验初中2024届高二上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

江苏省东台市实验初中2024届高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列的前3项和为3，，则（）A. B.4C. D.12．△ABC两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.3．下列椭圆中，焦点坐标是的是（）A. B.C. D.4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有A.0个 B.1个C.2个 D.3个6．如图，P是椭圆第一象限上一点，A，B，C是椭圆与坐标轴的交点，O为坐标原点，过A作AN平行于直线BP交y轴于N，直线CP交x轴于M，直线BP交x轴于E.现有下列三个式子：①；②；③.其中为定值的所有编号是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③7．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）A. B.1C.2 D.38．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.9．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）A.1 B.2C.3 D.410．命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，11．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()A.0 B.1C.2 D.312．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.14．已知数列是递增等比数列，，则数列的前项和等于.15．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.16．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）设正项数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围19．（12分）如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程21．（12分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围22．（10分）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于、和、四点，求四边形面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】设等比数列公比为，由已知结合等比数列的通项公式可求得，，代入即可求得结果.【题目详解】设等比数列的公比为，由，得即，又，即又，，解得又等比数列的前3项和为3，故，即，解得故选：D2、D【解题分析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【题目详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.3、B【解题分析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.【题目详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.故选：B4、B【解题分析】根据垂直关系的性质可判断.【题目详解】由题，，则或，若，则或或与相交，故充分性不成立；若，则必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5、C【解题分析】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.6、D【解题分析】根据斜率的公式，可以得到的值是定值，然后结合已知逐一判断即可.【题目详解】设，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故选：D【题目点拨】关键点睛：利用斜率公式得到之间的关系是解题的关键.7、C【解题分析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.【题目详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，所以，又是等差数列，所以，即，故.故选：C8、B【解题分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【题目详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.9、B【解题分析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.【题目详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为故选：B10、B【解题分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【题目详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B11、A【解题分析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在故选：A12、A【解题分析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.【题目详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，所以，以为直径的圆的方程为，设，则有，所以，设，，所以①，②，则①②得，所以，所以，将代入②得，所以，，则点到圆心的距离为，所以点Р在以为直径的圆外.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.【题目详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，因为，，所以，.故答案为：14、【解题分析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.15、【解题分析】令则，∴在R上是减函数又等价于∴故不等式的解集是答案：点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数16、【解题分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.【题目详解】∵的定义域为，，要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，由得，，令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；作出和的图像如图，所以，即，即实数a的取值范围为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.【小问1详解】证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.【小问2详解】由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记直线与平面所成角为，.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用的关系求的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求，根据不等式，讨论n的奇偶性求参数范围即可.【小问1详解】由题设，当时，则，整理得，，则，当时，，又得：，故，所以数列是首项、公差均为2的等差数列，故.【小问2详解】由（1），，所以，，两式相减得，故，所以令，易知：单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，即综上，19、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.【题目详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，，又，，则平面，平面，所以，；（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；以点坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，，，，，，则，，设平面的一个法向量，由得令，则，，即；平面的一个法向量为；.所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.20、（1）（2）或【解题分析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线的方程为，，，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；（2）问题转化为，利用导函数求出的最大值，求出的范围即可.【小问1详解】因为，所以，则切线的斜率为，又因为，则切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】当时，令得，列表得x001↘极小值↗所以当时，