广东省江门市开平第一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省江门市开平第一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C2.命题：“?x≥0，x2≥0”的否定是（）A．?x＜0，x2＜0 B．?x≥0，x2＜0 C．?x＜0，x2＜0 D．?x≥0，x2＜0参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】将全称命题改为特称命题，即可得到结论．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，命题：“?x≥0，x2≥0”的否定是“?x≥0，x2＜0”，故选：D．3.函数在点处的切线方程是（

）A.

B.C.

D.参考答案：D4.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由PF1⊥x轴，先求出点P的坐标，再由PF2∥AB，能得到b=2c，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：如图，∵PF1⊥x轴，∴点P的坐标（﹣c，），kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴kAB=，即﹣=﹣，整理，得b=2c，∴a2=b2+c2=5c2，即a=c，∴e==．故选B．5.设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】常规题型．【分析】由题意a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，若a∥b，l与a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面α，利用此对命题进行判断；【解答】解：∵a、b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，“∵l⊥a，l⊥b”，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α，若“l⊥α，∵a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，∴l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分的条件，故选C．【点评】此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题．6.已知随机变量服从正态分布，，则（

）A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4参考答案：C7.抛物线的准线方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B点晴：本题考查的是求抛物线的准线方程的问题.这是一道易错题，求准线方程有两点：一是要确定抛物线的焦点位置在轴的正半轴上，二是要确定抛物线标准方程中的，由这两者得抛物线的准线方程为.8.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）A. B.

C. D.参考答案：A9.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为，在平面上，现让它绕转动，并使它在某一时刻在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（

）A．

B．

C．.

D．参考答案：【知识点】三垂线定理.【答案解析】C解析：解：图(1)

图(2)

图(3)如图（1）当绕BC旋转至P点在底面的射影正好在BC中点D时,假如正三棱锥在平面上的射影正好是等腰直角,连接DA.,设P点在底面ABC上的射影点为H,其在DA上，连接PH，PH=h为正三棱锥的高，其中=1，,,,，而当时满足题意，PH值再大就会使锥在底面的射影是四边形了.当继续旋转至如图（2）时，假如正好是三棱锥在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，设点P在面的射影点为,取BC的中点为E，连接AE..,设P点在底面中的射影为O,连接PO,设PO=h，在中，，=所以，如果PO值再大，三棱锥在面内的射影就又是四边形了，再小可继续旋转直到侧面PBC为等腰直角三角形时就成了图（3）状态，也合题意，此时如图E为BC中点，O仍为P在底面三角形ABC射影，连接AE.PE.PO,,PE=1,则，所以综上，的取值范围是.

故选：C．【思路点拨】由题意可知变化过程中，图形为三种情况，依次考虑即可.10.正方体的外接球与其内切球的体积之比为

（

）

A.

B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是．参考答案：[1，2）【考点】元素与集合关系的判断；四种命题的真假关系．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．12.观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是131，则正整数m等于_________．参考答案：11略13.设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{an}的前n项和Sn=

．参考答案：n2

【考点】数列与向量的综合．【分析】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn==n2．故答案为：n2．14.在四面体PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.参考答案：15.已知，那么cos2θ的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过已知表达式的平方，求出sinθ，利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．【解答】解：∵，∴，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为：．16.不等式的解集是

．参考答案：17.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末看书；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家帮忙做家务．那么小明周末在家帮忙做家务的概率是．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为π﹣π=，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．【解答】解：设圆半径为1，圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为π﹣π=，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末在家看书的概率为P=1﹣=．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．（1）点H在AC上且EH⊥AC，求的坐标；（2）求AE与平面PCD所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．得到所用点的坐标，设出H的坐标，结合EH⊥AC即可求得的坐标；（2）求出向量的坐标，进一步求得平面PCD的一个法向量，由与平面法向量所成角的余弦值可得AE与平面PCD所成角的正弦值，进一步得到余弦值．【解答】解：（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则由条件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．由PA⊥底面ABCD，知PD与底面ABCD成30°角．∴PA=，则E（0，2，），∴．设H（m，m，0），则．由EH⊥AC得，2m+2（m﹣2）+0=0，解得m=1．∴所求；（2）由（1）得，，而P（0，0，），∴，．记平面PCD的一个法向量为，则2x+2y﹣且4y﹣．取z=，得x=y=1，∴．则cos＜＞=．设AE与平面PCD所成角为θ，则sinθ=，则所求的余弦值为．19.（本小题满分12分）已知椭圆的方程为：，其中，直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.参考答案：(1)设椭圆的左右焦点分别为、，直线与椭圆的一个交点坐标是，

根据椭圆的定义得：，即，即，

又，，联立三式解得

所以椭圆的方程为：

(2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为

以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是

两圆心距为，所以两圆内切.

20.已知在的展开式中，第4项为常数项 （1）求f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数； （2）求f（x）的展开式中系数最大的项． 参考答案：【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质． 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】（1）利用通项公式根据第4项为常数项，求得n的值，可得f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数． （2）根据通项公式可得f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5，从而得出结论． 【解答】解：（1）在的展开式中，第4项为T4=x9﹣n，为常数项， ∴n=9，故=，它的通项公式为Tr+1=x3r﹣9， 令3r﹣9=﹣3，求得r=2，可得f（x）的展开式中含x﹣3的项的系数为=36． （2）f（x）的展开式中系数最大的项，即r=4，或r=5， 故系数最大的项为第五项或第六项，即T5=x3，T6=x9． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题． 21.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（本题满分14分）如图，椭圆的顶点为焦点为S□=2S□.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线过(1,1),且与椭圆相交于两点，当是的中点时，求直线的方程．(Ⅲ)设为过原点的直线，是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点的直线，,是否存在上述直线使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）依题意有…………1分又由S□=2S□.有，…………2分解得，……3分，故椭圆C的方程为.………4分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，则，，两式相减得：．

∵是的中点，∴可得直线的斜率为，7分

当直线的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得，，这时的中点为，∴x=1不符合题设要求．…………8分

综上，直线的方程为…