职高高一数学-函数地实际应用举例

函数的实际应用举例翡翠竹林2017年12月生活实际：某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：用水量不超过10m3部分超过10m3部分收费/（元/m3）1.302.00污水处理费/（元/m3）0.300.80

那么，每户每月用水量x(m3)与应交水费y

(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？

加强节水意识

由表中看出，在用水量不超过10（m3）的部分和用水量超过10（m3）的部分的计费标准是不同的．因此，需要分别在两个范围内进行研究．用水量不超过10m3部分超过10m3部分收费/（元/m3

）1.302.00污水处理费/（元/m3）0.300.80用水量/x

水费/y

书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式．

用水量/x

水费/y分段函数

在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．

注意：

分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．

自变量的各不同取值范围的并集首先判断x所属的取值范围，再把x代入到相应的解析式中进行计算分析：

分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算．解（1）函数的定义域为．（2）因为，故；

因为，故；

因为，故．

教材练习3.3定义域自变量的各不同取值范围的并集.函数值

求分段函数的函数值时，应该首先判断点所属的取值范围，然后再把点代入到相应的解析式中进行计算.y在区间［250，400］上是一次函数．

数量(份)

价格(元)

金额(元)买进30x0.206x卖出20x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200

则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）∴x＝400份时，y取得最大值870元．

答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．

例:一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解：分段函数作图法

在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．

例某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0元外，再加收50﹪的回程空驶费．试求车费y（元）与x（公里）之间的函数解析式，并作出函数图像．

分析：收费标准依行车的公里数分为3种情况．解：根据题意，列出表格如下：

故与之间的函数解析式为路程x/km0＜x≤33＜x≤10x＞10车费y

/元77+(x-3)7+(10-3)+1.5（x-10)1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为(

)

A.95元B.100元C.105元D.110元CAy=(90+x-80)(400-20x)

应用知识强化练习3．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）

A．5～7km

B．9～11km

C．7～9kmD．3～5kmA

应用知识强化练习小结：解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：

数学模型：就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．[思路探索]

先建立销售额与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题．[规律方法]

(1)第一小题关键在于建立y关于x的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式．(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．

(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？[思路探索]

由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．[规律方法]

(1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．

练习：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，

y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.类型：数据拟合型函数的应用问题例：

某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．[思路探索]

先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题．解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．如图(2)所示．取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.

所以y＝0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，此时B商品的投资为9万元．故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．[规律方法]

解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答．这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题．例:某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：时间单位：天）

0200300t100300P0tQ50150250300100150250解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:(2)设时刻的纯收益为,则由题意得即时,配方整理得,所以当时,

取得上的最大值当时,配方整理得所以当时,取得上的最大值;当综上,由.可知,在上可以取得最大值100此时=50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.易错辨析：解决图表信息问题没能理解题意致错【示例】如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O点外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是(

)．[错解]

观察题图可知，声波扫过的面积先增大后减少，选项B符合题意，满足图象要求．[错因分析]

本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．[正解]

从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢．所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.答案A[防范措施]

(1)注意细节变化，一些细节不能忽视，它往往起提示作用，如图表下的“注”、“数字单位”等．函数图象的凸凹变化规律：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢．(2)审清要求：图表题往往对答题有明确的要求，根据考题要求进行回答，才能有的放矢．题目要求往往包括字数句数限制、比较对象、变化情况等．练习1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是 (

)．A．310元 B．30