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文档简介
TaylorsFormula编高等数学高
等数学4.2、近似计算4.3、证明e是无理数五、小结思考题利用泰勒公式求极限、函数表示成n次 多项式、泰勒中值定理、几点说明三、几个初等函数的泰勒公式四、泰勒公式的应用4.1、求极限课前练习一、多项式近似的提出二、泰勒公式3limxfi
0ex
sin
x
-
x(1
+
x)x作业:
P145
2;4;10⑶.x
ln(1
+
x
2
)1. lim
sin
x
-
x
cos
xxfi
0cos
x
-
1
+
1
x
2则n=
A=
xnxfi
02.
若lim
2
=
A(„
0
„
¥
)，x3xfi
0=
lim
sin
x
-
x
cos
xx
ln(1
+
x
2
)1. lim
sin
x
-
x
cos
xxfi
03
x2xfi
0lim
cos
x
-
cos
x
+
x
sin
x2=
limxfi
03
xx
sin
xx
2xfi
0
3
x=
lim2
=310(
)0cos
x
-
1
+
1
x
2xn则n
=
A
=2.
若lim
2
=
A(„
0
„
¥
)，nx21cos
x
-
1
+
2
xxfi
04limxfi
0nxn-1xfi
0lim
-
sin
x
+
xxfi
0
n(n
-
1)
xn-2xfi
0
n(n
-1)
xn-21lim
1
-
cos
x
=
lim
2
x2lim1
1n-42n(n
-
1)
xfi
0
x=0(
)00(
)0=
A(„
0
„
¥
)
\
n
=
4241A
=241对于简单函数(比如y=x2+1)较易研究，但对于一些较复杂的函数则不易研究，为了便于研究，往往希望用一些简单函数来近似表达。由于多项式是最简单的初等函数，它只是对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，故我们常用多项式来近似表达函数。零次多项式近似：设f(x)在x0处连续，则有(
)00
0=
f
(
x
)(
x
-
x
)f
(
x)
»
f
(
x0
)[根据极限与无穷小量的关系，f
(x)=f
(x0
)+a
]一次多项式近似：设f(x)在x0处可导，则有f
(
x)
»
f
(
x0
)
+
f
(
x0
)(
x
-
x0
)其一次多项式近似原理为f
(x)-
f
(x0
)
=
Dy
»
dy
=
f
(x0
)Dx
=
f
(x0
)(x
-
x0
)f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
(
x0
)(x
-
x0
)
+
o(
x
-
x0
)例如：当
x
很小时,
e
x
»
1
+
x
,
ln(1
+
x)
»
x取x0
=
0,
由公式
f
(
x)
»
f
(0)
+
f
¢(0)x,可得x
=
x.1
+
0e
x
»
e0
+
e0
x
=
1
+
x,
ln(1
+
x)
»
ln(1
+
0)
+1（如下图）y
=
e
xy
=
1
+
xoxyy
=
xoy
=
ln(1
+
x)xy低次近似的不足之处：①精确度不高；②误差为高阶无穷小，不能估计。原因：低次多项式近似是以直代曲近似。对策:
以曲代曲近似精度高，寻找高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。泰勒先生最早考虑了这个问题。泰勒公式就是用高次多项式逼近一般函数的一种方法，对数表、三角函数表都是利用这个方法算出来的。除去用泰勒公式逼近外，也可用插值多项式、正交多项式逼近一般函数。这里我们仅介绍泰勒公式。Brook
Taylor(1685~1731
)
英国数学家, 18世纪牛顿学派最优秀的代表人物之一,剑桥大学圣约翰学院法学博士。重要著作有《正的和反的增量方法》和《线性透视论》。在前本书里，它陈述了泰勒定理原始形式，使他成为有限差分理论的奠基人；后一本书中突出贡献是“投影点”的提出和使用。Colion
Maclaurin(
1698~1746
)
英国数学家,
11岁考入格拉斯哥大学，
17岁即获得硕士学位, 19岁时任阿伯丁马里歇尔学院数学教授, 21岁当选皇家学会会员，27岁任爱丁堡大学数学教授
。他的著作有《论潮汐》(1740年与欧拉、贝努利共获法国科学院奖)、《流数论》、《有机几何学》和《代数论》(载有克莱姆法则)。马克劳林是18世纪英国数学最后一位重要人物，他的《流数论》维护了牛顿学说，但也助长了英国学术界对牛顿传统的保守倾向，其后，英国数学日益落后于欧洲大陆国家。2.1、函数表示成n次多项式⑴若f(x)是一个n次多项式函数(见习题3-3第1题)对"x0˛
R,它可以写成关于(x-x0)的n次多项式.0
1
0
2
0
n
0f
(
x)
=
a
+
a
(
x
-
x
)
+
a
(
x
-
x
)2
+
+
a
(
x
-
x
)n事实上，当逐次求它在x=x0的各阶导数,得0
0
1
0¢a
=
f
(
x
),
1
a
=
f
(x
),02¢2!
a
=
f
(
x
),,0(
x
)(n)nn!
a
=
f1102!
n!(
n)f
¢(
x0
),,
an
=
f
(
x
)0
0
1
0
2或
a
=
f
(
x
),
a
=
f
¢(
x
),
a
=于是f(x)可唯一表示为f
(x)=f
(x0
)+f
¢(x0
)(x
-x0
)1120
0
0
0(
n)
n2!
n!f
(
x
)(
x
-
x
)
.¢+
f
(
x
)(
x
-
x
)
++注:若f(x)是某一个函数,存在直到n阶的导数,且n+1阶后导数为零,则在某点处它可用一个多项式来精确表示.⑵设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到n+1阶导数,则f(x)可表示如下：Pn
(
x)Rn
(
x)误差Rn
(x)=f
(x)-Pn
(x)0
00
0
0n!f
(n)
(
x
)f
(
x)
=
f
(
x
)
+
f
¢(
x
)(
x
-
x
)
++
0
(
x
-
x
)n
+
o((
x
-
x
)n
).n
0
0注意到P
(x
)=f
(x
),n
0
0n
0
0P¢(
x
)
=
f
¢(
x
),
,P
(n)
(
x
)=
f
(n)
(
x
).0xy
=
f
(
x)oxyPn
(
x0
)
=
f
(
x0
)②若有相同的切线Pn
(
x0
)
=
f
(
x0
)③若弯曲方向相同Pn
(
x0
)
=
f
(
x0
)
①
若在
0
点相交x近似程度越来越好n!2!0
nf
(
n)
(
x
)+
0
(
x
-
x )n
+
R
(
x)20(
x
-
x
)
+0f
(
x
)0
0
0¢¢f
(
x)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
)(
x
-
x
)
+2.2、泰勒中值定理⑴Taylor定理
设
f(x)
在含有
x0
的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,则对任一x∈(a,b),有(x介于x0与x之间).其中Rn
(x)=n+1f
(
n+1)
(x)(
x
-
x0
)(n
+
1)!由假设,
Rn(x)
在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,
且0
0n(x在x
与x之间)n+1证:由Rn
(x)=f
(x)-Pn
(x),只需证明f
(
n+1)
(x)(n
+
1)!R
(
x)
=
(
x
-
x
)R
(
x
)
=
R¢(
x
)
=
R¢(
x
)
=
=
R(
n)
(
x
)
=
0.n
0
n
0
n
0
n
0对两函数Rn(x)及(x-x0)n+1在以x0及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得再对两函数R'n(x)及(n+1)(x-x0)n在以x0及ξ1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得(x1在x0与x之间)(n
+
1)(x
-
x
)n1
0Rn¢(x1
)Rn
(
x)
=
Rn
(
x)
-
Rn
(
x0
)
=(
x
-
x
)n+1
(
x
-
x
)n+1
-
00
0=(n
+
1)(x
-
x
)n
(n
+
1)(x
-
x
)n
-
01
0
1
0Rn
(x1
)
Rn
(x1
)
-
Rn
(
x0
)(x2在x0与x1之间)Rn¢(x2
)2
0n-1x
-
x
)n(n
+
1)(=
n
(n
+
1)!R(
n+1)
(x
)0R
(
x
)(
x
-
x
)n+1=
n
0x之间)n
0(x在x
与x
之间,也在x
与如此下去，经过n
+1次后，得(
x)
=
0,(
n+1)n
Pn(
n+1)(
x)
=
f
(
n+1)
(
x)\
R则由上式得f
(
n+1)
(x)(n
+
1)!0
0(x在x
与x之间)n+1(
x
-
x
)nR
(
x)
=注意:定理前n项为f(x)按(x-x0)幂展开n次近似多项式n
0
k
=0
k!kf
(
k
)
(
x
)nP
(
x)
=0(
x
-
x
)⑵带lagrange型余项的n阶泰勒公式f
(
x)
=nk
=0n+
R
(
x)k0
0
(
x
-
x
)k!f
(
k
)
(
x
)(
)n
+
1
!f
(
n+1)
(x)0为拉格朗日余项.n+1(
x
-
x
)n其中R
(
x)
=f
(
x)
=
0
0n+
o[(
x
-
x
)
]kn
0
k!f
(
k
)
(
x
)(
x
-
x
)k
=0⑶带peano型余项的n阶泰勒公式0(
x
-
x
)n+1M(n
+
1)!0n+1(
x
-
x
)(n
+
1)!f
(
n+1)
(x)£n∵
R
(
x)
==
0Rn
(
x)0xfi
x及limn(
x
-
x0
)R
(
x)
=
o[(
x
-
x
)n
].n
0佩亚诺型余项⑵当x0
=
0时，泰勒公式变成较简单的麦克劳林公式ξ
介于0
和x
之间,令ξ=θx(0<θ<1)，则余项xn+1f
(
n+1)
(qx)nR
(
x)
=⑴当n
=0时，泰勒公式变成拉氏中值公式f
(x)=f
(x0
)+f
¢(x)(x
-x0
)
(x在x0与x之间)2.3、几点说明n!f
(
n)
(0)
f
¢(0)
2!f
(
x)
=
f
(0)
+
f
¢(0)
x
+x2
+
+xn佩氏余项+
o(
xn
)(0
<
q
<
1)2!+(n
+
1)!
(
n)(n
+
1)!f
(
n+1)
(qx)(0)
xnn!f
(
x)
=
f
(0)
+
f
¢(0)
x
+
f
(0)
x
2
+
+
fxn+拉1氏余项解
f
(
x)
=
f
(
x)
=
=
f
(
n)
(
x)
=
e
x
,\
f
(0)
=
f
(0)
=
f
(0)
=
=
f
(
n)
(0)
=
12!
n! (n
+
1)!n+1x2
xn
ex++
+
x
(x在0与x之间).xe
=
1
+
x
+例1
求
f(x)=ex
的n阶麦克劳林公式.因此ex
的麦克劳林公式为例2
求
f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.解),2
f
¢(
x)
=
cos
x,
f
¢(
x)
=
-sin
x,,
f
(n)
(
x)
=
sin(
x
+np¢
¢
¢(4)
(n)\
f
(0)
=
0,
f
(0)
=
1,
f
(0)
=
0,
f
(0)
=
-1,
f
(0)
=
0,,
f
(0)
=
1等等，它们顺序循环地取四个数0,1,0,-1，于是得3!
5!cos
x(2n
+
1)!(2n
-1)!x2n-1x3
x5sin
x
=
x
-
+-+(-1)n-1
+(-1)n
x2n+1
.注意到cosx=(sinx)'，类似地，可得3!
5!cos
x(2n
-1)!
(2n
+
1)!x2n-1x3
x5sin
x
=
x
-
+
-+(-1)n-1
+(-1)n
x2n+1
.cos
x2!
4!
(2n)!
(2n
+
2)!x2
x4
x2n\
cos
x
=
1
-
+ -+(-1)n
+(-1)n+1
x2n+2
.例3
求
f(x)=ln(1+x)
的n阶麦克劳林公式.1
11
+
x
(1
+
x)2
(1
+
x)n,
f
¢(
x)
=
-
,,
f
(
n)
(
x)
=
(-1)n-1
(n
-1)!
,解
f
¢(x)=\
f
(0)
=
0,
f
¢(0)
=
1,
f
¢(0)
=
-1,
f
¢(0)
=
2!,,
f
(n)
(0)
=
(-1)n-1
(n
-1)!因此ln(1+x)的麦克劳林公式为.2
3(-1)nn-1
+xn+1n
n
+
1
(1
+
x)n+1x2
x3
xnln(1
+
x)
=
x
-
+
-+
(-1)例4
求
f(x)=
(1+x)a
(a˛
R)的n阶麦克劳林公式.解
f
(k
)
(
x)
=
a(a
-1)(a
-
k
+1)(1
+
x)a-k
,\
f
(0)
=
1,
f
¢(0)
=
a,,
f
(
n)
(0)
=
a(a
-1)(a
-
n
+1)2!
n!\
(1
+
x)a
=
1
+
ax
+
a(a
-1)
x2
++
a(a
-1)(a
-
n
+
1)
xn
+
o(
xn
).x
2n
+
o(
x
2n
)(2n)!12!
4!
6!cos
x
=
1
-
1
x
2
+
1
x4
-
1
x6
+
+
(-1)nxn+1
+
o(
xn+1
)2
3
n
+
11ln(1
+
x)
=
x
-
1
x2
+
1
x3
-+
(-1)n12
n1
-x
注：以上为常用六个麦克劳林公式=
1
+
x
+
x
+
+
x
+
o(
xn
)113!5! (2n
+
1)!sin
x
=
x
-
x
3
+x5
-
+
(-1)n
x
2n+1
+
o(
x
2n+1
)
1nn1
2!
n!+
o(
x
)e
x
=
1
+
x
+
1
x2
+
+
x2!2
1解
e
x
=
1
+
x2
+
x4
+
o(
x4
)2!
4!x2
x4cos
x
=
1
-
+
+
o(
x4
)2e
x\ +
2cos
x
-
3
=
(
1
+
2
1
)
x4
+
o(
x4
)2!
4!4xfi
012x47
x4
+
o(
x
)原式=lim=
12
.744.1、求极限例5
求极限lim+
2
cos
x
-
32xe
xx
fi
0.例6
当x→0时,求f(x)=ln(1+2x)-2(x-x2)的一个等价无穷小.2
3解ln(1
+2x)=2x
-1
(2x)2
+1
(2x)3
+o(x3
)x3
+
o(
x3
)8383x3
+
o(
x3
)
-
2x
+
2x2
=2\
f
(
x)
=
2x
-
2x
+833x
(
x
fi
0)\
f
(
x)
~4.2、近似计算例7
讨论近似式sin
x
»x
-在[0,
x](x>0)上的误差。3!
5! (2n
-1)!x3
x5x2n-1+
-+
(-1)n-1
解：在[0,
x](x>0)上误差可估计如下：x
|£
.(2n
+
1)! (2n
+
1)!cos
xx2n+12n+1n|
R2n
(
x)
|=|
(-1)⑴当泰勒多项式Pn(x)的次数n不变时,x越小,误差也越小,比如:当x=10o=p/18≈0.174533<0.2
,若取n=2就有5!
150.25
4= ·10-5
<
10-5.4|
R
(
x)
|<故用sinx≈x-x3/3,计算sin10o时就能精确到五位小数的结果sin10o≈0.17365.
当x>10o时若仍用sinx≈x-x3/3计算，精度会降低。3!n
=2,sinx
»
x
-
1
x3n
=
1,
sin
x
»
x3!
5!n
=
3,sinx
»
x
-
1
x3
+
1
x5y
=
sin
xy
=
x3!y
=
x
-
1
x33!
5!y
=
x
-
1
x3
+
1
x5y
=
x
-
1
x3
+
1
x5
-
1
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