北京北正中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

北京北正中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，如果输入a=3，b=2，那么输出a的值为（）A．16 B．256 C．log3626 D．6561参考答案：D【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：当a=3，b=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=9，当a=9时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=81，当a=81时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=6561，当a=6561时，满足退出循环的条件，故输出的a值为6561，故选：D．2.已知函数,实数满足,则的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知数列{an}是等比数列，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由已知得数列{an}的公比满足q3==，解得q=，∴a1=2，a3=，故数列{anan+1}是以2为首项，公比为=的等比数列，∴a1a2+a2a3+…+anan+1==∈，故选：C．4.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为(

)A．

B．

C．1

D．参考答案：5.若函数的递减区间为，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：利用导数研究函数的单调性.6.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A．

B.

C．

D．参考答案：C略7.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，则cosC=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理得到a：b：c=2：3：，设出相应的长度，利用余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，∴在△ABC中，a：b：c=2：3：，设a=2x，b=3x，c=x，则cosC====，故选：D【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据条件转化为a，b，c，结合余弦定理进行求解是解决本题的关键．8.已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f（60.6），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解a，b，c的大小．【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，可知函数是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），可知函数y=xf（x）是增函数，x＞0时是减函数；0.76∈（0，1），60.6（2，4），log6≈log1.56∈（4，6）．所以a＞c＞b．故选：D．9.已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．10.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（

）

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，且，，则的取值范围是__________．参考答案：由题得：，如图表示的可行域：则可得，又b=1,a=0成立，此时，可得点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.12.点在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥平面；③；④平面平面.其中正确的命题序号是

.参考答案：①②④略13.执行如图所示的程序框图，输出的k值为

参考答案：414.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若，，设△ABC的面积为，正方形PQRS的面积为，当a固定，变化时，称为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是

．参考答案：，令，则，，∴函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，∴当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.

15.已知满足约束条件则的最小值是__________．参考答案：

试题分析：画出可行域及直线，如图所示.平移直线，当经过点时，其纵截距最大，所以最小，最小值为.考点：简单线性规划.16.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是

。参考答案：17.将点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,θ∈[0,2π))为_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组，，第五组右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（Ⅱ）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知，求事件“”的概率.参考答案：解（Ⅰ）由直方图知，成绩在内的人数为：所以该班成绩良好的人数为27人--------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：由直方图知，成绩在的人数为人，设为、、成绩在的人数为人，设为A、B、C、D.若时，有3种情况；若时，有6种情况若和内时，

ABCD共有12种情况。所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种。所以19.在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得，即可得出；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围．解答：解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，∴G，∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．∵|MC|=|MB|，∴，化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，化为2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四边形OPRQ为平行四边形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∴R．∵点R在椭圆上，∴=6，化为2m2=k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范围是∪．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABDE为梯形，AE//BD，AE平面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE，M为AB的中点.

（I）求证：CMDE；（II）求锐二面角的余弦值.参考答案：21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，苴AD=CD=2，PA=2。点M在线段PD。（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角M—AC—D的大小为45°，试确定点M的位置。参考答案：

M是线段PD的中点。22.(本小题满分14分）已知函数在处存在极值。(1)求实数的值；(2)函数的图像上存在两点A，B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在轴上，求实数的取值范围；(3)当时，讨论关于的方程的实根个数。参考答案：（1）当时，.………………1分因为函数在处存在极值，所以解得.………………4分(2)由（I）得根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设.若，则，由是直角得，，即，即