随机分析补充知识

随机分析补充知识第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期四第一节二阶矩过程一、定义则称为二阶矩过程。Home第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期四解由于和V都服从正态分布，所以也具有正态分布，例1其中和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，且Home第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二、性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证由许瓦兹不等式得故即二阶矩过程的协方差函数存在注Home第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期四说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返回Home第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期四第二节均方极限一、均方收敛定义1设随机变量序列{，n=1,2,…}和随机变量X都存在二阶矩，如果则称{}均方收敛于X，或称X是{}的均方极限记作或简记为Home第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二、均方收敛准则定理1柯西准则则均方收敛的充要条件为证只证必要性因为均方收敛于X，所以有Home第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期四又由所以故Home第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期四注等价存在其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。三、均方收敛性质性质1若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当均方收敛于X时，的期望收敛于X的期望Home第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质2若则证由许瓦兹不等式得因故得证Home第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质3若则对任意常数a、b都有证因为故得证Home第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质4若则注因=证于是即Home均方极限的唯一性第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期四解由Cauchy准则，在级数收敛的条件下，可得均方收敛。例2Home第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期四第三节均方连续性均方收敛定义1即则称在点t均方连续。一、均方连续称在时均方收敛于Home第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二、均方连续准则定理1则证充分性则所以Home第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期四再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证由定理1知，Home第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期四再由均方收敛性质2，得即Home第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期四定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。Home第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期四第四节均方导数一、均方导数的定义定义1如果均方极限存在则称在t处均方可微，并将此极限记作即有或Home第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二次均方可微二阶均方导数定义2广义二次可微存在Home第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二、均方可微准则定理1证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在Home第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期四三、均方导数的性质性质1性质2Home第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质3性质4证1设在t处均方可微，则在t处均方连续。第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期四其它类似可证性质5Home第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期四四、1．证注均方导数的均值等于均值函数的导数。而为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。Home第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期四2.证Home第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期四注求偏导数得到。3．证明Home第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期四即同理可得又因故Home第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期四注随机过程的相关函数求两次混合偏导数。例1证明返回Home第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期四第五节均方积分一、均方黎曼可积定义1分割作和式如果则称并称记作即Home第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期四二、均方可积准则定理1即黎曼积分存在证由均方收敛准则可知，即存在Home第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期四如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分Home第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期四定理2证明由定理1知，三、均方积分的性质性质1Home第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质2其中性质3Home第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期四性质4性质5（均方可积的唯一性）四、均方积分的数字特征1．随机过程积分的期望Home第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期四证注1注2Home第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期四2．均方积分的方差及协方差函数则证Home第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期四注同样可以证明3．均方积分的自相关函数及互相关函数则Home第三十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期四证只证明其他类似可证Home第三十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期四例解在定义中可取则所以Ho