高中数学-函数的周期性

高中数学——函数的周期性一、知识回顾2．最小正周期：如果在周期函数f<x>的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f<x>的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论<1>若满足,则,所以是函数的一个周期<>；<2>若满足,则＝,所以是函数的一个周期<>；<3>若函数满足,同理可得是函数的一个周期<>.〔4〕如果是R上的周期函数,且一个周期为T,那么．〔5〕函数图像关于轴对称．〔6〕函数图像关于中心对称．〔7〕函数图像关于轴对称,关于中心对称．二、方法规律技巧1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法,形如y＝Asin<ωx＋φ>,用公式T＝计算．递推法：若f<x＋a>＝－f<x>,则f<x＋2a>＝f[<x＋a>＋a]＝－f<x＋a>＝f<x>,所以周期T＝2a.换元法：若f<x＋a>＝f<x－a>,令x－a＝t,x＝t＋a,则f<t>＝f<t＋2a>,所以周期T＝2a．。2．判断函数的周期只需证明f<x＋T>＝f<x><T≠0>便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题,体现了转化思想．三、例题讲解：1、设定义在上的函数满足,若,则．2、已知f〔x〕是R上的奇函数,对x∈R都有f〔x+4〕=f〔x〕+f〔2〕成立,若f〔﹣1〕=﹣2,则f〔2013〕等于〔〕A．2B．﹣2C．﹣1D．20133、定义在R上的函数的图象关于点成中心对称,且对任意的实数x都有f<x>＝－f,f<－1>＝1,f<0>＝－2,则f<1>＋f<2>＋…＋f<2013>＝<>A．0B．－2C．1D．－44、已知周期函数f<x>的定义域为R,周期为2,且当－1<x≤1时,f<x>＝1－x2.若直线y＝－x＋a与曲线y＝f<x>恰有2个交点,则实数a的所有可能取值构成的集合为<>A．{a|a＝2k＋或2k＋,k∈Z}B．{a|a＝2k－或2k＋,k∈Z}C．{a|a＝2k＋1或2k＋,k∈Z}D．{a|a＝2k＋1,k∈Z}5、设f<x>是定义在R上且周期为2的函数,在区间[－1,1]上,f<x>＝,其中a,b∈R.若f＝f,则a＋3b的值为________．四、新题变式探究[变式一]已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的,都有；②对任意的；③函数的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是<>A.B.C.D.[变式二]设g<x>是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f<x>=x+g<x>在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f<x>在区间[0,3]上的值域为.[综合点评]充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．五、易错试题常警惕易错典例1：若函数f<x>＝在定义域上为奇函数,则实数k＝________.易错典例2：定义在R上的函数f<x>既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期．若将方程f<x>＝0在闭区间[－T,T]上的根的个数记为n,则n可能为<>A．0B．1C．3D．5[变式]设是连续的偶函数,且当时,是单调函数,则满足的所有之和为<>A．－3B．3C．－8D．8练习：A基础测试1.[##省##市2014届高三9月学情调研]设函数是定义在上的偶函数,当时,.若,则实数的值为.2.[2014届##市普通高中高中毕业班复习检测]给出下列函数①②③④,其中是奇函数的是〔〕A.①②B.①④C.②④D.③④3.[虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题]已知是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则满足的实数的X围是．4.[##市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理],若,则〔〕A.0B.3C.-1D.-25.[##省示X高中2014届高三上学期第一次联考数学〔理〕]已知偶函数对任意均满足,且当时,,则的值是.B能力提升训练1.[##省2014届高三新课程适应性考试理科数学]已知函数是周期为2的周期函数,且当时,,则函数的零点个数是〔〕A．9B．10C．11D．122.[##省##一中、康杰中学、##一中、##二中四校2014届高三第二次联考]定义在R上的奇函数满足,且不等式在上恒成立,则函数=的零点的个数为〔〕A.4B.3C.2D.13.[##省##市一中2014届高三第二次统测]奇函数满足对任意都有成立,且,则的值为〔〕A．2B．4C．6D．84.[##省##市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题]已知函数是定义在上的奇函数,若对于任意的实数,都有,且当时,,则的值为〔〕5．[2014届##省日照市高三校际联考]已函数是定义在上的奇函数,在上时〔Ⅰ〕求函数的解析式;〔Ⅱ〕解不等式．C思维扩展训练1.[####高中2014届高三年级九月调研考试]已知是定义在R上周期为4的奇函数,且时,则时,=_________________2.[2014届##一中##中学高三年级联考数学〔理