2022版初中数学代数压轴题：题型专练

2022版初中数学代数压轴题：题型专练

一、解答题

1.（2021•北京・中考真题）在平面直角坐标系屹），中，点（1,a）和点（3,"）在抛物线丫=加+法（。＞0）上.

（1）若机=3,〃=15,求该抛物线的对称轴：

（2）已知点（一1,%）,（2,%）,（4,%）在该抛物线上.若加”0,比较%,力，%的大小，并说明理由.

,1

2.（2019•北京・中考真题）在平面直角坐标系xQy中，抛物线-与y轴交于点八，将点A向右平移

a

2个单位长度，得到点B,点B在抛物线上.

（1）求点B的坐标（用含“的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P（L,-L）,0（2,2）.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求〃的取值范围.

2a

3.（2018•北京♦中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、，轴分别交于点A,B,抛物线

）=以2+历=3。经过点人，将点8向右平移5个单位长度，得到点C.

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

4.(2021.北京朝阳•一模)在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=加+bx+a-4("0)的对称轴是直线x=1.

(1)求抛物线y=ax2+bx+a-4(a^0)的顶点坐标；

(2)当-24x43时，y的最大值是5,求a的值；

(3)在(2)的条件下，当l时，y的最大值是如最小值是〃，且“=3,求/的值.

5.(2021.北京海淀.一模)在平面直角坐标系xQx中，抛物线y=a?-2依+a-2(a>0).分别过点M(f,0)和点

N(r+2,O)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B.记抛物线在4,8之间的部分为图象G(包括A,8两点).

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为九

①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求巾的值；

②若存在实数力使得帆=2,直接写出a的取值范围.

6.(2021.北京东城.一模)在平面直角坐标系必y中，点Aa，x),3(w，%)在抛物线)=-/+(2a-2)x-〃2+2〃

上，其中玉<刍.

(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；

(2)①当x="时，求y的值；

②若％=必=0,求箝的值(用含“的式子表示)；

(3)若对于为++<-4,都有％<当，求。的取值范围.

7.(2021•北京西城•一模)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线y=or2-2/x+l(aH0)与y轴交于点A,过点A作

x轴的平行线与抛物线交于点8.

(1)直接写出抛物线的对称轴；

(2)若4?=4,求抛物线所对应的函数解析式；

(3)已知点P(a+4,l),Q(0M+l),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求"的取值范围.

8.(2021•北京石景山•一模)在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y=-丁+2蛆-疝+2m+1的顶点.

(1)求点A的坐标(用含，"的代数式表示)；

(2)若射线OA与x轴所成的锐角为45。，求〃?的值；

(3)将点P(0J)向右平移4个单位得到点Q,若抛物线与线段尸。只有一个公共点，直接写出，”的取值范围.

9.(2021•北京大兴•一模)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线y=V—2"+/一2(6>0)经过点A(也”).

(1)用含8的代数式表示抛物线顶点的坐标；

(2)若抛物线经过点8(0,2),且满足求〃的取值范围；

(3)若34%V5时，n<2,结合函数图象，直接写出6的取值范围.

10.（2021•北京通州•一模）己知二次函数y=以2-2公+1（〃工0）.

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点〃（玉,0）,N（w，0）（其中，且满足王＜6-2々，求。的

取值范围.

5

4

3

2

1

12345x

11.（2021.北京东城.二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线》=--3公+1与y轴交于点A.

(1)求抛物线的对称轴;

(2)点3是点A关于对称轴的对称点，求点5的坐标;

(3)已知点P（0,2）,Q（a+l,l）,若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.

12.（2021•北京海淀•二模）在平面直角坐标系X。中，抛物线"冗2-23+病与）,轴的交点为A,过点A作直线/

垂直于y轴.

（1）求抛物线的对称轴（用含根的式子表示）；

(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点N(z，%)图形G

上任意两点.

①当机=0时，若占<毛，判断％与力的大小关系，并说明理由：

②若对于％=m-2,x2=m+2,都有%>必，求，〃的取值范围.

13.(2021•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系xOy中，点P(A,,yJ,。5,y?)为抛物线

y=ax2-lahx+ah1+1(“<0)上的两点.

(1)当〃=1时，求抛物线的对称轴；

(2)若对于04%42,4-h<x2<5-h,都有％2%，求〃的取值范围.

14.(2021•北京燕山•二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2or-3a("0).

(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标.

(2)已知点8(3,4),将点8向左平移3个单位长度，得到点C若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函

数的图象，求。的取值范围.

y|y”

i■i■

o-1~~~_1—X°1X

备用图

15.(2021•北京房山•二模)已知抛物线＞经过点A(3,3).点M(再,yj,Mx［，8)为抛物线上两个不

同的点，且满足为＜2，X\+X2=2.

(1)用含〃的代数式表示匕；

(2)当必=%时，求抛物线的对称轴及“的值；

(3)当寸，求。的取值范围.

16.(2020•北京海淀•一模)在平面直角坐标系火力中，抛物线y=-d+2如的顶点为人

(1)求抛物线的顶点坐标(用机表示)；

(2)若点A在第一象限，且OA=拉，求抛物线的解析式；

(3)已知点3(机-1,〃?-2),C(2,2),若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出，”的取值范围

17.(2021•北京门头沟•二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-V+2W-3的对称轴为直线x=2.

(1)求b的值；

(2)在y轴上有一动点P(0,〃)，过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点4(xi,yi),B(x2,y2),其中

xt<x2.

①当当-为=3时，结合函数图象，求出n的值；

②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W,新图象W

在0SE5时，满足求”的取值范围.

18.(2020•北京西城•一模)已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a和)与x轴交于点A(xi,0),点B(X2,0),(点A在点B的

左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-l.

(1)若点A的坐标为(-3,0),求抛物线的表达式及点B的坐标；

(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2,若抛物线恰好经过点C,直接写出X2的取值范围；

(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D,点P在抛物线上，且NDOP=45。，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合

图象，求a的取值范围.

19.(2020•北京门头沟•一模)在平面直角坐标系xO)，中，一次函数丫=-办+3的图象与)，轴交于点A,与抛物线

y=o?-2G-3a(a=0)的对称轴交于点B,将点4向右平移5个单位得到点C,连接A8,AC得到的折线段记为图形

G.

(1)求出抛物线的对称轴和点C坐标;

(2)①当。=-1时，直接写出抛物线y="-2ax-3a与图形G的公共点个数.

②如果抛物线y=ox2_2“x-3a与图形G有且只有一个公共点，求出“的取值范围.

20.(2020•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系X。)，中，抛物线丫=奴2+。2》+。与>轴交于点(o,2).

(1)求c的值；

(2)当“=2时，求抛物线顶点的坐标：

(3)已知点A(-2,0),8(1,0),若抛物线+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求”的取值范

围.

2022版初中数学代数压轴题：题型专练

参考答案

1.(1)x=-\;(2)%<乂<丫3，理由见解析

【分析】

(1)由题意易得点(1,3)和点(3,15),然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可;

(2)由题意可分当时和当机>(),〃<()时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可.

【详解】

解：(1)当加=3,”=15时，则有点(1,3)和点(3,15),代入二次函数丫=加+法卜,〉。)得：

[a+b=3,,[a=\

1&/，解得：工，

[09a+3。=15[/?=2

•••抛物线解析式为y=V+2x,

抛物线的对称轴为X=-3=-1；

2a

(2)由题意得：抛物线丫=依2+加(4>0)始终过定点(0,0),则由田〃<0可得：

①当机>0,〃<0时，由抛物线y=〃+fer(a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下，即。<0,与。>0矛

盾；

②当机<0,〃>0时，

•••抛物线尸奴始终过定点(0,0),

13

此时抛物线的对称轴的范围为:<x<=,

22

•.•点(-LyJ,(2,%),(4,%)在该抛物线上,

...它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为3;51357

2''22222

6Z>0,开口向上，

由抛物线的性质可知离对称轴越近越小,

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

2.(1)点B的坐标为(2,_L)；(2)对称轴为直线x=l;(3)当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

a2

【分析】

(1)向右平移2个单位长度，得到点

(2)A与B关于对称轴x=l对称；

(3))①a>0时，当x=2时，y=--<2,当〉=-工时，x=0或x=2,所以函数与AB无交点；②a<0时，当y=2

aa

a2c1c+1。+1|W。+1。+1|cx1

时，ax1-lax一一=2,x=—!-----1或％=―!----1当一!----^,2时，a,,一一；

aaaa2

【详解】

解：(1)•..抛物线与y轴交于点A,.•.令x=0,得y=」，

a

二点A的坐标为(0,-L),•.•点A向右平移两个单位长度，得到点B,

a

**•点B的坐标为(2,——)；

a

(2),・,抛物线过点40,-』)和点8(2,-工)，由对称性可得，抛物线对称轴为

aa

直线工=等=1,故对称轴为直线％=1

(3)•・•对称轴x=L

.\b-2a,y=ax2-2ax--,

a

①a>0时，

当x=2时，y=--<2,当丁=—x=0或x=2,

aa

・・・函数与AB无交点；

②aVO时，

当y=2时，ax2一2ax--=2,

a

a+\a+\\a—\a+\\^a+\a+\\.1

x=--------或x=--------3--------„2时，a,,

aaa2

・,•当凡-；时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；

(3)①当〃>0时，5!iJ--<0,分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可

a

能同时经过点B和点Q,所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.

②当a<0时，则-‘>0.

a

分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合

时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-442,即

a

a<——

2

综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键.

41

3.(1)C(5,4)；(2)x=l；⑶或nN］或a=-l.

【详解】

分析：(1)根据直线y=4x+4与X轴、y轴交于A、B.即可求出A(-1,0),B(0,4),根据点的平移即可

求出点C的坐标；

(2)根据抛物线¥=以2+公-3。过人(-1,0),代入即可求得b=-2a,根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物

线的对称轴；

(3)分①当抛物线过点。时.②当抛物线过点3时.③当抛物线顶点在8c上时.三种情况进行讨论即可.

详解：(1)解：・・•直线y=4x+4与工轴、》轴交于A、B.

/.A(-1,0),B(0,4)

：.C(5,4)

(2)解：抛物线y=-3〃过A(-1,0)

Aa-b-3a=0.b=-2a

y=ax2-lax-3a

.,.对称轴为X=―.

la

(3)解：①当抛物线过点C时.

25a-10a-3a=4,解得。=；.

②当抛物线过点8时.

4

—3〃=4,解得ci=——.

③当抛物线顶点在BC上时.

此时顶点为(1,4)

-3a=4,解得a=-l.

41

.,.综上所述或。2；或。=一1.

33

点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问

题，注意分类讨论思想在解题中的应用.

4.(1)顶点坐标为(LT)；(2)«=1；(3)f=—1或f=2

【分析】

(1)根据对称轴可得“与b间的关系b=-2”，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；

(2)首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若。为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互

矛盾的，故可排除〃为负的情况，所以。为正.再由于x轴上-2与1的距离大小3与1的距离，根据抛物线的性

质，函数在4-2处取得最大值，从而可求得a的值.

(3)分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在YxWf+l范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三

种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得f的值.

【详解】

解：(1)•••对称轴是直线x=l,

•.•----b--1.

2a

h=-2a.

y=ax2-lax+6Z—4=a(x—1)2—4.

顶点坐标为(1,-4).

(2)若战0,则抛物线的开口向下，从而y有最大值4

•.•当-24x43时，y的最大值是5,且抛物线的对称轴为直线广1,

函数此时在x=1时取得最大值5,

这与y有最大值4矛盾，从而“>0.

抛物线的顶点为图象的最低点.

VI-(-2)>3-1

...当x=-2时，y=5.

代入解析式,得ax(-2-l)2-4=5,

,•6Z—1.

(3)①当1时,此时叱然1,

/.〃=函数的最大值在什1或［处取得，即加=/一4或根=。--4

•*.m的最大值为-3.

此时m—n=1.

不符合题意，舍去.

②当f+即fvO时，

/n=(r-l)2-4,n=(r+l-l)2-4.

*/m-n=3,

z=-1.

③当空1时，

同理可得/=2.

综上所述，£=-1或"2.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位置关系，即它是在

自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与最小值，这其实就是分类讨

论，这也是同学们易于忽略的.

5.(1)(1,-2)；(2)①机=2；®0<a<2.

【分析】

(1)将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标.

(2)①由。=2可知抛物线解析式为y=2(x-l)2-2,再由对称的性质即可求出r的值.最后由增减性即可求出，〃的

值.②分四种情况讨论：r<-l.-l<r<0,0<r<l,r>l,根据〃『2分别列出方程，由r的范围即可求出。的范

围..

【详解】

(1)抛物线的解析式为y=以2-2or+a-2=a(x-l)2-2,

二抛物线的顶点坐标为(1，-2).

(2)①当。=2时，抛物线为y=2(x-l)2-2,其对称轴为x=l.

•.•图象G为轴对称图形，

...点A,B必关于对称轴x=l对称.

；点A的横坐标为f,点6的横坐标为f+2,

AB=2,

：.t=Q,即点A为(。，0),点8为(2,0).

:当04x<l时，y随x的增大而减小；当14x42时，y随x的增大而增大,

二图象G上任意一点的纵坐标最大值为0,最小值为-2.

/.m=0-(-2)=2.

②•・,过点M(30)和点N(f+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点8,

(r,at2-2at+a-2),B(f+2,a(f+2)2-2a(f+2)+a-2),

又〃>0,抛物线对称轴ml,

(I)当什2W1,即W-l时，图象G上A的纵坐标的值最大，8的纵坐标的值最小,

(afi-2at-^a-2)-[a(r+2)2-2a(f+2)+。-2]=2,

解得

(II)当f<lVf+2,且f+2-lW-3即-1<瓦0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小,

(aP-2m+4・2)-(-2)=2,

又-1VW0,

**•gVaW2；

(III)当fVIV什2,且什2-1>1,即0V/V1时，图象G上8的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小,

a(r+2)2-2a(，+2)+a-2-(-2)=2,

又OV/V1,

-V〃V2；

(四)当仑1时，图象G上8的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小,

.\a(1+2)2-2。(f+2)+a-2-(at2-2at+a-2)=2,

又仑1,

综上所述，若存在实数3使得〃『2,则0＜把2.

【点睛】

本题考查二次函数知识的综合应用，解题的关键是分类讨论图象G上纵坐标的最大值与最小值列方程.

6.⑴x=a-l；⑵①y=0；②&=。-2；(3)«＞-1

【分析】

(1)根据对称轴公式计算即可；

(2)①把x="代入即可得解；②令尸0,求出方程的解，再根据已知条件判断即可；

(3)分三种情况根据二次函数的性质讨论即可；

【详解】

(1)Vy=-x2+(2a-2)x-a2+2a,

2a-2,

・•・对称轴”一可r“-I

(2)(J)当x=〃时，y=—_2)a_cr+/2xi=_cr+2^z__2a_ci~+26?=0；

②令y=0,则-d+(2a-2)x-/+2a=0,o

(-x+a)(x+2-a)=0,

xx=a,x2=a-2,

又•:%=%=°且N＜/，

.・.％=a-2；

(3)当王＜毛4。一1时，,〈为恒成立；

当时，凶＜丫2恒不成立;

当苍<a-l,%2>〃一1时，

设（々，％）关于对称轴X=4-1的对称点为（为，％），

由抛物线的对称性可知（七,为）在抛物线上，且丫3=%，毛+$=2（。一1）,x3<a-\,

又：斗+々<-4时，y<必，

王+々<-4时，,<%，

V%,<«—],思<。-1,

x[+x2<-4时，xx<x^,

而W+七=2（tz-l）,

即斗+工2<7■时，玉+/v2（a—1）成立，

2（a-1）N—4,

a2—1,

当aN—1时，u—12—2,由于X[+々<—4,故当aN—1时，不在a—14王<X2；

综上所述：a>-\.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质应用，准确分析计算是解题的关键.

7.（1）x=a.（2）y=2/-8x+l或y=-2x?-8x+l；（3）-44a<0或0<aW4

【分析】

（1）根据对称轴公式求解即可；

（2）根据4B两点坐标，求出对称轴，即可求出a；

（3）确定点P在AS上，结合图象，根据抛物线与线段PQ恰有一个公共点，确定尸点与8点的位置即可.

【详解】

解：⑴根据对称轴公式可得，x="-=a；

2a

（2）,抛物线丫=0%2-2。4+1（4h0）与y轴的交点为4,

...点A的坐标为4（0,1）.

:过A所作x轴的平行线与抛物线的交点为8,AB=4,

•••点B的坐标为（4,1）或（T,1）..•.抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2.

a=2或a=—2.

二抛物线所对应的函数解析式为y=2x、8x+1或y=-2x2-8x+l.

（3）「mA所作x轴的平行线与抛物线y=ax2-2a2x+Ka^0）的交点为B,

.•.点B的纵坐标为1.

.•.点B的横坐标是关于x的方程ax2-2YX+1=1的解.

解得x,=0,X2=2。.

/.点B的坐标为.又•.•点P的坐标为P（a+4,1）,

.•.点P在直线AB上.

①如图4,当a>0时，2a>0,a+l>l,a+4>a.

3（2al）在4（0,1）右侧，且。（0,。+1）的），轴上A（0,l）的上方，*。+4,1）在抛物线的对称轴右侧.

•••抛物线y=-勿2彳+1（4=0）与线段恰有一个公共点,

...结合图象可得，点P,点B的横坐标七,,与满足斗2z.

Ja>0

[a+422。解得0<a«4.

②如图5,当。<0时，2a<0,a+\<\,a+4>a,

图5

•••8(2〃/)在A(0,l)左侧，且Q(0,a+l)的y轴上A(0,l)的下方，P(a+4,1)在抛物线的对称轴右侧.

•••抛物线^=加-2/x+l(aw0)与线段PQ恰有一个公共点，

.•.结合图象可得，点P,点A的横坐标/，/满足与2%，

fa<0

A”、八，解得Y4a<0.

[a+4>0

综上所述，-4<a<0aSc0<a<4.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟练运用二次函数相关性质解决问

题.

8.(1)A(m,2m+l)；(2)"?=一1或m=-j；(3)0<m<2^2<m<8.

3

【分析】

(1)利用配方法配成顶点式，即可得出顶点坐标;

(2)根据射线0A与x轴所成的锐角为45。时，A点在直线产-x上或产x上，此时A点的横纵坐标相等或互为相反

数即可求得〃?；

(3)①当抛物线的对称轴x=2左侧时，②当抛物线的对称轴为x=2时，③当抛物线的对称轴x=2右侧时，三种

情况讨论即可.

【详解】

解：(1)Vy=-x2+2mx-m2+2m+l=-(x-m)2+2m+l,

，A(m,2/n+l)；

(2)由(1)得A(九26+1),

V射线OA与x轴所成的锐角为45°,

，机=2机+1或机=一(2加+1),

解得机=-1或加=一;；

(3)VP(0,l),

A0(4,1),PQ的中垂线为％=2,

*/y=-x2+2mx-m2+2m+l,

・・・抛物线开口向下，

①当抛物线的对称轴x=2左侧时，此时〃?<2,如下图，若图象与线段只有一个交点，则

m<2

<一机Z+2次+121,WW0</n<2,

―16+8〃7—机2+1(1

当尸1时，1=一Y+4x+l,解得x=0或x=4,抛物线与线段PQ有两个交点，不符合题意;

③当抛物线的对称轴x=2右侧时，此时机>2,如下图，若图象与线段只有一个交点，

m>2

"-nr+2m+1<1,解得2<〃？48.

—16+8/n-/n2+2m+\>I

综上所述，04m<2或2〈帆M8.

【点睛】

本题考查二次函数综合.（1）中掌握用配方法化二次函数一般式为顶点式是解题关键；（2）中理解射线OA与x

轴所成的锐角为45。时，A点的横坐标相等或互为相反数是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键.

9.(1)(b,-2),(2)-2<n<2,(3)3<b<5.

【分析】

(1)把抛物线配成顶点式即可；

(2)把点8(0,2)代入解析式，求出解析式后，再根据0<m<3,确定〃的取值范围即可；

(3)把(3,2)(5,2)代入求出6值，画出函数图象，根据图象直接判断即可.

【详解】

解：(1)y=x,-2版+02-2化成顶点式为：y=(x-b)2-2,

抛物线顶点的坐标为(b,-2)；

(2)把8(0,2)代入解析式得，2=/一2,解得，伉=-2(舍去)，&=2,

抛物线解析式为：y=x1-4x+2=(x-2)2-2,

因为抛物线开口向下，当加=2时，〃有最小值，最小值为-2,当机=0时，”=2,当m=3时，n=-\,

所以，〃的取值范围为：-24”2；

(3)把(3,2)代入y=--2bx+〃-2得,2=9-6b+b2-2)解得，4=1,仇=5,

观察图象，当人=5时，满足3殁35时，旗2；

把(5,2)代入y=x2-2fcc+〃-2得,2=25-106+/-2,解得，4=3,b2=7,

观察图象，当匕=3时，满足缓M5时，42；

故b的取值范围为琛以5.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，运用数形结合思想，直观的解决问题.

10.(1)x=l；(2)”>1或

8

【分析】

(1)根据对称轴的公式、=-二代入计算即可；

(2)分。>0,〃V0两种情况讨论，利用二次函数图像上点的坐标特征可得到关于。的一元一次不等式，解之即可

得出。的取值范围.

【详解】

(1)y=ax2—2ax+l(aw0),

:・a=a,"-2。，

.-(-2a)

..x=---------=1

2a

(2),・,由(1)得对称轴为R=1,

+x2)=l,即玉+x2=2

又<X<6—2X2,+2X2<6,gpxt+x2+x2<6,

I.X2<4

若〃>0时，当x=l时，a-2a+l<0,a>l

若a<0时，当x=4时，16a-8a+l<0,a<——

8

所以。>1或。

O

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图像的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图像特征是解题的关键.

11.(1)x=-;(2)点B的坐标为(3,1)；(3)-l<«<0^ca>2

【分析】

(1)根据对称轴公式即可求解；

(2)先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解：

(3)根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解.

【详解】

3

解：(1)由抛物线y=依2-3ov+l,可知x=——.

2a2

...抛物线的对称轴为直线x=13.

(2)..,抛物线y=ax2_3ov+l与)，轴交于点4,

令x=0,y=l

.•.点A的坐标为(0,1).

•.•点B是点A关于直线x=j的对称点，

二点8的坐标为(3,1).

(3)；点4(0,1),点8(3,1),点P(0,2),点Q(a+l,l),

.•.点P在点A的上方，点Q在直线y=l上.

①当。>0时，a+l>l,点。在点A的右侧.

(i)如图1,当。+1<3,即。<2时，点。在点B的左侧,

结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点;

(ii)如图2,当a+l23,即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线恰有一个公共点

②当〃<0时，a+l<l,点。在点B的左侧.

(i)如图3,当OWa+lVl,即-14“VO时，点。在点A的右侧，或与点A重合,

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线恰有一个公共点；

(ii)如图4,当。+1<0,即a<T时，点。在点A的左侧，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线没有公共点.

综上所述，”的取值范围是-IMaVO或

【点睛】

此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解.

12.(1)直线x=m；⑵①y>必；见解析；②一2<“<2

【分析】

(1)直接利用对称轴公式X=-g即可求出.

(2)①当〃?=0时，二次函数解析式是y=/,对称轴为y轴.由此可得图形G上的点的横纵坐标x和y,满足y

随x的增大而减小，即可求出②通过计算可知，点P(“-2,4),Q(m+2,4)为抛物线上关于对称轴…，对称的

两点，

分类讨论当，"变化时，)，轴与点尸，Q的相对位置：【当y轴在点P左侧时(含点P),作出图形，即可得出经翻

折后，得到点“，N的纵坐标相同，此时％=%，不符题意；H当y轴在点。右侧时(含点Q),作出图形，即可

得出点M,N分别和点尸，。重合，此时％=%，不符题意；HI当)，轴在点P,Q之间时(不含尸，Q),作出图

形，即可得出经翻折后，点N在/下方，点M,P重合，在/上方，此时,>%，符合题意.即有

m-2<0<m+2,E|J-2<m<2.

【详解】

(1)抛物线y=x2-2mx+nr的对称轴为直线x=—平=m；

(2)①当m=0时，二次函数解析式是y=Y,对称轴为y轴；

，图形G上的点的横纵坐标x和y,满足)，随x的增大而减小;

,:X,<x2,

②通过计算可知，P(〃L2,4),。(m+2,4)为抛物线上关于对称轴对称的两点,

下面讨论当，"变化时，y轴与点P,Q的相对位置:

I如图，当），轴在点P左侧时（含点尸），

经翻折后，得到点M,N的纵坐标相同，y,=y2,不符题意;

II如图，当y轴在点。右侧时（含点Q）,

点M,N分别和点P,Q重合，3=）?，不符题意;

山如图，当y轴在点P,。之间时（不含P,Q）,

经翻折后，点N在/下方，点M,P重合，在/上方，符合题意.

m-2<0<m+2,B|J-2<m<2.

综上所述，，"的取值范围为-2<机<2.

【点睛】

本题为二次函数综合题.考查抛物线的对称轴，二次函数图象的性质等知识，较难.利用数形结合与分类讨论的思

想是解答本题的关键.

4

13.(1)x=l；(2)h<-^h>5

【分析】

(1)将〃=1代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；

(2)设抛物线上四个点的坐标为4(0,〃),8(2,y„),C(4-A,%),。(5-"%),利用二次函数性质分情况讨论求

解.

【详解】

解：(1)当/?=1时，抛物线的表达式为y=62-2ox+a+l.

y=+1.

二抛物线的对称轴为直线x=l.

(2)设抛物线上四个点的坐标为A(0,%),8(2,%),C(4-h,yc),D(5-h,yD).

,：a<0,

M的最小值必为力或yB-

①由。<0可知，当时，存在力之凶，不符合题意.

②当〃<2时，总有4-Q2.

,当x>/?时，y随x的增大而减小，

••%>%>%•

当T时，4-h-h^\h\.

/•力2无>%,符合题意.

4

当一</z<2时,4-h-h<h.

3

••・力〈先，不符合题意.

③当心，时，

•.,当x</z时，了随X的增大而增大，

•••"<%，yA<yB-

当时，5-A^O.

符合题意.

当时，5-h>0.

二%〉〃，不符合题意.

综上所述，6的取值范围是或6W5.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键.

4

14.(1)x=],(0,一3a)；(2)或〃=一1

【分析】

(1)运用公式4-二求出对称轴，令x=0,得)=-3a,即可求得抛物线与y轴的交点坐标；

(2)分三种情况：①当。>0时，②当“<0时，抛物线的顶点在线段BC上，③当。<0时，若抛物线的顶点不在

线段BC上，分别进行讨论即可.

【详解】

解：(1);抛物线y=ax2-2ax-3a,

，抛物线的对称轴是直线广1,

令工=0,y=-3af

・••抛物线与y轴交点坐标为E(0,-3。)；

(2))=以2_2，a-3。=。。2-2元-3)=4(元+l)(x-3),

・••抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y轴交于点E(0,・3〃)，顶点坐标是(1,・4〃).

由题意得点C(0,4),又8(3,4),

①当。＞0时，如图1,显然抛物线与线段3c无公共点；

则顶点坐标为(1,4),

・・・-4。=4,

a--\；

③当“<0时，若抛物线的顶点不在线段8c上，如图3,由抛物线与线段8c恰有一个公共点,

、-4

综上，。的取值范围是或a=-l.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变换-平

移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答.

15.(1)&=1-3(7；(2)x=l,a=l；(3)"1且"0

【分析】

(1)代入A点坐标即可整理出用a表示b的式子；

(2)根据必=%，xt+x2=2,可知对称轴为41,结合(1)可以求出。的值；

(3)将M、N的坐标代入抛物线解析式y=渡+(l-3a)x,运用%-%="xj+(1-3a)与-(1-3a)w,化简整

理求出。的取值单位.

【详解】

(1)解：•.•过A(3,3),

9a+3。=3.

，=1—3。・

(2)解：x,+x2^2,必=%,

，对称轴为：直线'=弓±=1.

(7=1.

(3)解：将点，y),NO?，乃)代入"♦+(1-3。)不得，

2

y=axt+(1-3a)x{,y2=ax^+(1-3a)x2

2

y]-y2="J+(1—3〃)X]-or2-(1-3a)x2

=。(芭+x2Xx,一々)+(1—3。)(西-x2)

=(X,-x2)(2a+\-3a)

=(x1-x2)(\-a)

•王<w,M<%，

％-x2<0,y-y2Vo.

**•1—tz>0.

，〃<1且〃w0.

【点睛】

本题考查了抛物线解析式的有关知识，同过作差法比较的小是解决这个问题的难点.

16.(1)(九"7)；(2)y=-f+2元或写为：y=-(x-l)2+1；(3)m<2,或次之3.

【分析】

(1)化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；

(2)求出点AO,列方程求解即可；

(3)考虑点C在抛物线上时m的值，再结合图形，分情况进行讨论.

【详解】

(1)*/y=-x2-\-2mx-m2+m=-(x-/n)2+机,

•••抛物线的顶点A坐标为(加,in).

(2)点A在第一象限，

0A=6m，

0A=>/2

m=1

抛物线的表达式为y=-V+2x,或写为：y=-(x-l)2+l

(3)把C(2,2)代入y=-x2+2mx-irr+m,得

2=-22+4/M-nr+m,

解得M=2或3,

结合图象可得：

当机42时，抛物线与线段BC有公共点，

当2V〃T<3时，抛物线与线段BC无公共点，

当机23时，抛物线与线段8c有公共点；

综上，当加42或时，抛物线与线段BC有公共点.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

17.(1)2；(2)①-J(2)-4<n<-2

4

【分析】

(1)利用二次函数的对称轴公式即可求出b值;

(2)①根据二次函数图象的轴对称性，即可得出答案;

②根据x、y的取值范围，即可得〃的取值范围.

【详解】

(1)抛物线y=-x2+2bx-3的对称轴为直线x=2,

b=2.

(2)①.♦.抛物线的表达式为y=-X2+4x-3.

VA(xi,y),B(%2»y),

・・・直线A3平行无轴.

•.・々-X=3,

：.AB=3.

:对称轴为x=2,

工当工=；时，y=n=-^.

②当产后一4时，0勺区5时，-4<y<l；

当y=n=-2时,时，-2VyW4；

・•・〃的取值范围为-4W〃W—2.

【点睛】

本题是一道二次函数综合题.考查了二次函数的图象与性质.解题的关键在于要按要求画出函数图象，并结合二次函

数的图象和性质进行解题.

1,3

18.(1)y——x~-x-\—,(1,0)；(2)-1Vx2V0；(3)aV-2.

22

【分析】

(1)由题意可知抛物线的对称轴为x=-l=-