2022-2023学年河南省创新联盟高二上学期第一次联考数学试卷（A卷）

2022~2023年度创新联盟高二年级第一次联考

数学

一、选择题

1（3-2i）（3+旬=（）

A.l+6iB.17+6iC.l-6iD.17-6i

答案：

B

解析：

【分析】

利用复数乘法法则计算即可.

【详解】

（3-2i）（3+4i）=9+12i-6i-8i2=17+6i.

故选：B.

2.下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

B.直线可以由其上一点和它的方向向量确定

C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量

答案：

C

解析：

【分析】

根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误.

【详解】

A：平行于平面机的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确；

B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量

确定直线，正确；

C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；

D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同

一平面的向量，正确.

故选：C.

3.已知空间三点A（3,2,0）,3（3,2,2）,C（3,0,l）,则C到直线A8的距离为（）

A.1B.2C.3D.75

答案：

B

解析：

【分析】

首先求出AC、A8,再根据夹角公式求出cos（AC,A3），从而求出sin（4C,,再根据距离公式计

算可得.

【详解】

UUU

因为A（3,2,0）,8（3,2,2）,C（3,0,l）,所以AC=（0,—2,1）,AB=（0,0,2）,

则"=石，网=2,ABAC=2>

所以cos（AC,AB）=启尚=乎，则sin（4C,AB）=-cos?（AC,AB）=,

所以C到直线AB的距离为|ACjsin（AC,Ag=&巫=2.

故选：B.

4.如图，在正方体ABCO-ABCQ中，E,F分别为AB,8c的中点，则（）

A.平面B.平面gEF

C.4G7平面片EFD.AXD「平面片EF

答案:

C

解析:

【分析】

以点。为原点，04,。6,。2所在直线为尤y/轴，建立空间直角坐标系，求出平面耳EF的法向量，结

合法向量对选项逐一判断即可.

【详解】

以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设45=2,则

4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,6（2,2,0）,4（2,0,2）,百（0,2,2）,〃（0,0,2）,

EF=（-1,1,0）,EBI=（0,1,2）,叫=（-2,-2,2）,DB=（2,2,0）,A,Ct=（-2,2,0）,ZM,=（2,0,2）.

-八，、[m-EF=-x+y=Q

设平面gEF的一个法向量为m=（x,y,z）,则＜-八取加=（2,2,-1）,

''U〃・E4=y+2z=0

因为BR与加不平行，所以与平面B]EF不垂直,A错误；

因为OB与加不平行，所以BO与平面片七尸不垂直，B错误；

因为AG•〃?=（）,且线在面外，所以4G平面B^EF,C正确；

因为。A•加=2#0,所以AQ与平面片芯尸不平行，D错误

5.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量标准分为一等品、二等品、不合格品.从这批产品中随机抽

取一个进行检测，设抽到一等品或二等品的概率为0.95,抽到二等品或不合格品的概率为（）.25,则抽到

二等品的概率为（）

A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2

答案：

D

解析：

【分析】

利用对立事件的概率公式求出事件抽到不合格品，抽到一等品的概率，由此可求抽到二等品的概率.

【详解】

因为抽到一等品或二等品概率为0.95,所以抽到不合格品的概率为1—0.95=0.05,

因为抽到二等品或不合格品的概率为0.25,所以抽到一等品的概率为1-0.25=0.75,

故抽到二等品的概率为1一0.05-0.75=0.2,

故选：D.

6.已知点M（3,0）、N（l,4）,点P在y轴上，且NMPN=90，则P的坐标为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（0,1）或（0,3）

答案：

D

解析：

【分析】

设尸（0,a）,由题意可知MRNP=0,利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数。的方程，解之即

可.

【详解】

设尸（0,。），因为=，所以MP,NP,且心=（—3,a）,NP=（—l,a—4）,

所以，MP-NP=3+a（a-4）=a2-4a+3=Q,解得a=l或3,故P的坐标为（0,1）或（0,3）.

故选：D.

7.如图，在正四棱柱A8CO-A8CQ中，43=4,44）=6,/是棱乌G的中点，点E在棱B片上，且

]DG

8避=16f.若过点4£F的平面与直线。2交于点6,则5方=（）

解析：

【分析】

建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设G=（O,O,a）,由面面平行的性质得到EE〃平面A。。4,再

由线面平行的性质得到EF//AG，根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】

以。为坐标原点，以OA，DC，的方向分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（4,0,0）,E（4,4,4）,尸（2,4,6）,=（-2,0,2）,

设G=（0,0,a）,则AG=（Y,0,a）.

因为平面BCC,4〃平面ADD,4,"u平面BCC,Bt,

所以Ef7/平面AO44，

因为平面AEF'平面ADD.A,=AG,u平面AEF，所以EF//AG,

则EF=/14G，即（一2,0,2）=2（-4,0,。），即.，，解得。=4,故右二不.

2=3

故选：A.

8.已知直线/经过4（2&%-2）,8（0,炉）（》20）两点，则直线/的倾斜角的取值范围为（）

7t3%r不3%，"71、-3万、

A.[r一,—]B.（一,—]C.[—，]）D.[—，万）

242424

答案：

A

解析：

【分析】

分x=0和x>0两种情况，分别求出直线/倾斜角范围，即可得到答案

【详解】

当x=0时，A（0,-2）,B（0,0）,所以此时直线/的倾斜角为]；

当x>o时，设直线/的倾斜角为e(owe<万)，

-2-X12*4121r-

所以直线/的斜率怎8="弃=一一j=(~+x)<一一4x2&=-1,

2>/2x2V2x2A/2

当且仅当x=0时，等号成立，

7F3乃

所以tan6<—1,所以一<。《已一，

24

TT37r

此时直线/的倾斜角的取值范围为(一,一］,

24

综上，直线/的倾斜角的取值范围为［二TT,373r］,

24

故选:A.

9.如图，在直三棱柱ABC—A14cl中，AB_L8C,84=8C=84=2,3AE=AC,点/在棱CG上,

点。在棱A5上.若班'_LZ)£,则CF=()

123

A.—B.-C.1D.—

232

答案：

B

解析：

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法可得.

【详解】

以B为坐标原点，分别以5ABe,8瓦所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

42

B(O,O,O),E(-,-,O).

/、/、/、/、一_^,42

设。(加,0,2)(噫如2),尸(0,2,")(四劭2),BF=(0,2,2).

422

因为班1，£>£，所以BF-ED=——+2"=0,解得〃=—,即。尸=一.

333

故选：B.

10.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（）

A.甲运动员测试成绩的极差大于乙运动员测试成绩的极差

B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数

C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数

D.甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差

答案：

D

解析：

【分析】

由图可得甲、乙运动员测试成绩的极差、众数，计算平均数和标准差，比较即可

【详解】

3x7+8x8+5x9+4x10

由图可得甲运动员测试成绩的极差为3,众数为8,平均数为=8.5

20

『滋力I(7-8.5)2x3+(8-8.5)2x8+(9-8.5)2x5+(10-8.5)2x4屏

怀住岑刃J-------------------------------------------------=----

V2010

4x7+7x8+4x9+5x10

乙运动员测试成绩的极差为3众数为8,平均数为----------------------=0.5,

20

标准差为((7-8.5)2x4+(8-8.5)2x7+(9-8.5)2x4+(10-84)2x5_

小'V20—10

甲运动员测试成绩的极差等于乙运动员测试成绩的极差，A错误；

甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众数，B错误；

甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；

甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差，D正确.

故选：D.

11.己知函数/(x)=In三就，给出下列结论：

①/(x)的最小正周期为兀；

②/(x)的图象关于原点对称；

③/(同在(—?,?)上单调递增；

④“X)的值域为(0,+/).

其中所有正确结论的序号为()

A.①②B.③©C.②③④D.①②③

答案：

D

解析：

【分析】

1_i_[AnYTT

对y=——变形得到y=tan(x+—),得到其最小正周期，得到A选项正确；

1-tanx4

先求解定义域，再利用函数奇偶性判断函数为奇函数，B选项正确；

根据复合函数单调性，整体法求解函数单调区间，判断C选项；

1_i_f为nY

先求解y=一二的值域，进而求出/(x)的值域为R,D正确.

1-taax

【详解】

Ifpm丫-jr

因为函数y=------=tan(x+-)的最小正周期为兀,

1-tanx4

/(%+71)=/(%),所以/(X)的最小正周期为兀，①正确;

人1+tanx/兀、八71,兀,

令--------ton(xH—)>0,解得：-----Fkit<x,<—卜kit,keZ.

1-taru444

、上(、、1+tan(-x)1-tan.r,1+taax£l、

又因为〃-x)=In------1=In--------=-In---------=-f(x),

1-tan(-x)1+tanx1-tanr

所以/(x)为奇函数，/(x)的图象关于原点对称，②正确.

因为函数丁=（211（1+；）在（一：+阮：+匕1：）（左£2）上单调递增,

所以/（X）在（-：+E,：+加仕eZ）上单调递增，③正确.

因为函数y=12!1。+：）在（一：+也,：+%1：）（〃62）上的值域为（0,+8）,

所以/（X）的值域为R，④错误.

故选：D.

12.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面

体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24,棱长

为血的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样

的四面体所得.若点E为线段上的动点，则直线DE与直线Ab所成角的余弦值的取值范围为

()

[1乌

B.%

A.勺2C.

答案:

C

解析：

【分析】

将半正多面体补成正方体并建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，设

=（一利用向量夹角的坐标表示及二次函数性质求所成角的余弦值的取值范

BE=ABC4/t,O）,/LG[O,l],

S.

【详解】

将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为半正多面体的棱长为0,故正方体的棱长为2.

所以A(2,1,0),尸(2,2,1),B(l,0,2),C(0,l,2),D(l,2,2),AF=(0,l,l),BC=(-l,l,0).

设BE==(—440),2e[0,1],则E(1—2,42),OE=(—；I,A-2,0).

小心AFDE2-2

'/|AF||DE|V2722+(2-2)2

I(.-2)211

22

~~2\(A-2)+2(/l-2)+2~~2l++~2.

丫2-2(2-2)2

令f=六e—T，则CM"，网二面Li,

因为2r+2f+1e[；/],所以cos（AF,DE）e,-1].

故直线£>E与直线"所成角的余弦值的取值范围为[；,等].

故选：C.

二、填空题

13.已知点M（l,—2,0）,N（2,2,l）在直线/上，写出直线/一个方向向量。=

答案：

。，4，1）

解析：

【分析】

由方向向量的定义求解即可

【详解】

因为点M（l,—2,0）,N（2,2,l）在直线/上，

所以MN=（l,4,l）,/MN（/eR,且，工0）都是直线/的方向向量.

故答案为：（1,4,1）

14.设向量a=（3,2,l）,匕=（l,x,l）,c=（y,4,2）,且a_LO,a〃c,则1+,=.

答案：

V62

解析：

【分析】

根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出x，y,再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解.

【详解】

因为a_L6,所以3+2x+l=0,解得x=—2,则〃=（1,一2,1）.

42

因为a〃c，所以v方=/=1，解得了=6,则。=（6,4,2）.

.•.b+c=（7,2,3）,1+c卜病.

故答案为：^62.

15.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为

答案：

3

解析：

【分析】

根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.

【详解】

因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为45，

可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为75,15,135,

14-----qrz

因为tanl350=—1,tan750=tan(45°+30°)=-，=叶片=2+百，

733—73

1------

3

Ig

1------A

tan15。=tan(45°-30。)=—=

'1+V33+V3

y

即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为2+52-5-1,

所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.

故答案为：3.

16.已知正四面体A5CD的棱长为12,球。内切于正四面体ABC。,反尸是球。上关于球心。对称的两

个点，则A2・8尸的最大值为.

答案:

1276-24

解析:

【分析】

先根据等体积法求出内切球的半径，

再根据AEBF=(^AE'+FF)=AE'-BF'+EE-F'F,结合基本不等式即可求得结果.

【详解】

设点E在平面A8C内的射影为E',点F在平面ABC内的射影为尸'，点。在平面ABC内的射影为

0',如图1.因为正四面体ABC。的棱长为12,所以

AO'=—AB=DO'=yjAD2-AO2跖S2石.

4"=4AR(.=—AB=36

34

设球。的半径为A.

因为VABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-BCD+^O-ACD,所以3sABC•DO—4X—SABC，R,则

R=-DO'=46.

4

AE•BE=(AE'+E'E^BF'+F，F)=AE'-BF'+E'E'F'F

££FF

E'E-F'F=|r£|-)2,当且仅当忸回=他时，等号成立.

IF^<(|HI==6

过点£作垂足为〃，过点f'作ENLA5,垂足为N,过点0'作O'PJ_A5,垂足为

P,如图2.圆。'的半径为RE,尸是关于点。'对称的两个点，且。E',,R.

AE''BF'=(AM+ME'^BN+NF')=AM-BN+ME'-NF'.

AM-BN=-\AM^BN\„-(|AB-/?)(|AB-R)=-(6-76)2,当且仅当直线NF,腔'与圆相切

时，等号成立.

ME,-NF'=|A/r||2VF|<(颇|；幽)2=(空0)2=Q也丫=12，当且仅当颇[=|忖时,

等号成立.因为以上取等条件可以同时成立，所以ABBE,6-(6-V6)2+12=12>/6-24.

三、解答题

17.如图，在四棱柱中，四边形A8Q9是正方形，A4,=6,48=4,且

71

NCiCB=NC】CD=3,设CD=a,CB=b,CC[=c.

(1)试用a,z?,e表示4。：

(2)已知。是与。的中点，求。。的长.

答案:

见解析

解析：

【分析】

(1)根据已知条件，结合向量的加减法运算法则，即可求解.

(2)。为耳。的中点，求的长，只需求出耳。的长，利用(1)中所求的结果，求与。的模即可.

【详解】

(1)BQ=BiC+CD=—CC「CB+CD=a—b—c.

(2)由题意知,=4,愀=4,卜卜6"・。=(),

71

a-c=Z7-c=4x6cos—=12.

3

|_|2--2-2-2

ByZ)—(Q—h—c)~—ci+b+c—2〃,h—2〃•c+2b•c-68，

DO=；B[D=&i

18.已知坐标平面内三点A(—2,T),B(2,0),C(—l,l).

(1)求直线AB的斜率和倾斜角；

(2)若A,B,C,O可以构成平行四边形，且点。在第一象限，求点。的坐标；

(3)若石(明〃)是线段AC上一动点，求/万的取值范围.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(D根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；

(2)设£)(x,y),根据原B=《D，心c=%即求解即可；

n

(3)因为-----表示直线3E的斜率，求出E与点C重合时，直线8c的斜率；E与点A重合时，直线BE

m-2

的斜率即可得答案.

【详解】

(1)因为直线A8的斜率为上一=1.

-2-2

71

所以直线A3的倾斜角为了；

(2)如图，当点。在第一象限时，kAB=kCD,kAC=kBD.

x=3

设0(x,y),则j；1+4，解得

y=5

/-2—1+2

故点O的坐标为(3,5)；

A7

(3)由题意得一为直线班:的斜率.

m-2

当点E与点C重合时，直线踮的斜率最小，原0=—7二=一』；

-1-23

当点E与点A重合时，直线3E的斜率最大，kAB=\.

故直线BE的斜率的取值范围为,

3

nI

即一^的取值范围为［-2』］.

m-23

19.如图，已知圆锥的顶点为P,点C是圆0上一点，NBOC=45,AB=2OP=4,点。是劣弧人。

上的一点，平面PC。平面Q4B=/,且/〃AB.

(1)证明：OCLO。

(2)求点。到平面PC。的距离.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)由线面平行的判定和性质，推得A8〃CD,再由N3OC=45°和圆的对称性，求出相关的角的大

小，即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCO的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所求值.

【详解】

(1)证明：因为/〃AB,/u平面平面P。。，

所以AB平面PCD.

因为ABi平面ABC。，且平面ABC。'】平面PC£>=C£）,

所以A8〃C£>.

因为ZBOC=45".所以NBOC=ZOCD=NODC=45，

所以NOOC=90,即OCLOD.

(2)如图，以。为坐标原点，以OZ),OC,OP的方向分别为x,yz轴的正方向，建立空间直角坐标系

O-xyz,如图所示:

则C（0,2,0）,D（2,0,0）,P（0,0,2）,PC=（0,2,—2）,Pr>=（2,0,—2）,OC=（0,2,0）.

设平面PCO的法向量为〃=(x,y,z),

\n-PC=2y-2z=Q,

令x=1,得〃=（1,1,1）.

ivPD=2x-2z=0,

OCn2

因为cos（OC,〃）=

|oc||/?|-2x733，

所以点O到平面PCD的距离为cos(oc,〃)=2叵.

20.在“①acos(C—2)=2土£,②b+c-a=-46S(其中s为二.。的面积)”这两个条件中任

32a+b+c

选一个补充在下列横线上，并加以解答(注意：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分)上

己知ABC的内角48,C的对边分别为a,4c,

(1)求角A；

(2)若.=26，求▲ABC面积的最大值.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)选择①，由两角差的余弦公式、两角和的正弦公式和正弦定理将①化简为6sinA=cosA+l，再

11

由辅助角公式即可得出sin(A-7)=^，即可求出角A；选择②，由余弦定理化简②可得

62

jr1

cosA+l=&sinA，再由辅助角公式即可得出sin(A-7)=：,即可求出角A；

62

(2)由余弦定理结合均值不等式即可求出bew12,再由三角函数的面积公式即可求出,ABC面积的最大

值.

【详解】

(1)选择①：

因为acos(C-f)="：，,所以L〃cosC+，^asinC="十0.

32222

由正弦定理可得sinAcosC+>/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,

即sinAcosC+^sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC•

由sinCw。，化简得#sinA=cosA+1，即sin(A-g)=:.

o2

因为一工vA—至〈至，所以A—J=即4=工.

666663

选择②:

u.46s260csirLA

因m为/?+c-a=------=---------，

Q+Z?+C

所以（〃+c）2-/=2cbesinA,即b2+c2-a2+2hc=2\[3bcsinA.

由余弦定理知b1+c2-a1=2/?ccosA»所以2bccosA+2bc=2百〃csinA.

由人cwO,化简得cosA+1=J§sinA,即sin（A—二）二二■,

62

,,,71,715万,7t7t„„.71

因为——<A——<—,所以A——=—,即4=—.

666663

（2）由（1）知4=工，则S=Lz?csirb4=，^Z?c.

324

结合余弦定理可得片=12=Z?2+c?-2/?ccosA=/?2+/-bcN2/>c-%=/?c，

当且仅当匕=c时，等号成立，

所以bc52,S=Bbc£36

4

故_ABC面积的最大值为3g.

21.如图，在几何体A3COE尸中，平面。£>£尸_1平面48。。,/胡。=60.四边形。。£：尸为矩形.在

四边形A8CD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD.

(1)点G在线段BE上，且BG=〃BE,是否存在实数〃，使得AG//。尸？若存在，求出〃的值；若

不存在，请说明理由.

(2)若P为线段。尸的中点，求直线3P与平面43E所成角的正弦值.

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)先由面面垂直得到DE，平面ABC。，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量平行

求出〃的值；

(2)求出平面A5E的法向量，从而利用空间向量求解线面角.

【详解】

(1)因为四边形8"为矩形，所以CO_LDE.

因为平面C£＞石尸_L平面ABC。，平面CUE尸平面ABCD=C£),DEu平面CDEF,

所以。£，平面488.

不妨设AB=BC=2AD=2,则。E=ADtanZEAD=.

取。为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴，建立如图所示的空

则£＞（0,0,0）,4（1,0,0）,3（1,2,0）,后（0,0,6）,尸（一1,2,后卜

哈（-1,-2,@,AB=（O2O）〃=卜1,2,⑹，

AG=AB+BG=AB+/uBE=（-〃,2-2〃,,

因为AG//Z）/，所以一1x（2—2〃）=—2/7,解得〃=万，经验证符合要求.

故存在实数〃，使得AG〃。下，且"的值为g.

、…一/\ABm=0,