2022-2023学年四川省成都市郫都区高三年级下册学期阶段性检测（三）数学（理）数学试题

郸都区2022-2023学年高三下学期阶段性检测（三）

数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.第I卷1至2页，第n卷2至4页，共4页.

满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，必须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上

答题无效.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=a+i（aeR）,若z?=3+4i,则其共规复数［在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某程序框图如图所示，则输出的5=（）

［开始］

A.8B.27C.85D.260

3.设集合/=<xeN-|ywN>,5=-^eN|x2-3x-4<0},则()

A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{1,2,3}D.{1,2,4}

4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是下面的()

A.B.

C.'--------------'D.1--------------'

5.若直线/：x+N+a=O是曲线C：y=x—21nx的一条切线，则实数a的值为（）

A.-3B.3C.-C.-2D.2

6.下列说法正确的有（）

①对于分类变量x与丫，它们的随机变量K2的观测值上越大，说明“x与丫有关系”的把握越大；

②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生

中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人：

③若数据玉,々x”的方差为5,则另一组数据x,+l,x2+l,•••,%„+1的方差为6；

④把六进制数210（6）转换成十进制数为：21。⑹=0x6°+1x61+2x6?=78.

A.①④B.①②C.③④D.①③

7.程大位（1533〜1606）,明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地

秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇,

算出索长有几？将其译成现代汉语其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步

（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直,

请问绳索有多长？（）

A.14尺B.14.5尺C.15RD.15.5R

8.已知函数/（x）=51n（A+/一）c）sinx,则函数/（x）的大致图象为（）

川

A/V-VVv

A.B.

y-y,

/X/^O^/X/x

VVo\/V"

C.D.

9.在△Z8C中，已知。=3,c=布,C=60°,则△48。的面积为（）

,V3B.述或迪小3百

A.——C.----

2242

10.如图，在△/8C中，N48C=90。，AB=BC=\以AC为直径的半圆上有一点M,

丽=液+8廊,则;1=()

c正

D.V3

2

11.已知抛物线C：j?=4x的焦点为尸，过点〃（2,0）的直线/与抛物线C交于P,。两点，则

归刊+4|Q司的最小值是（）

A.8B.10C.13D.15

12.设。=！，=In—,c=sin—,则（）

595

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

'2x-y-3<0

13.已知实数x,歹满足约束条件<*+^-340,则2=》一》的最大值为.

x>-l

210

14.已知（X—1）'（1-x）=a0+atx+a2xH-l-<7l0x,则as-.

15.在直三棱柱44G中，△NBC是等边三角形，44=2/8,在该三棱柱的外接球内随机取一点

P,则点尸在三棱柱/8C—44G内的概率为.

717in

16.定义在R上的函数/（x）=2sinCOXH----（-3>0）在区间内恰有两个零点和一个极值点,则

3

⑦的取值范围是.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.

17.（本小题满分12分）

已知等差数列｛《,｝的公差为d（dwO）,前〃项和为S“，且满足

（从①Eo=5（qo+1）；②与，%,4成等比数列；③S$=35这三个条件中任选两个补充到题干中的横线

位置，并根据你的选择解决问题）.

（1）求；

（2）设“=」一，数列也，的前“项和为7；,求却

44+1

18.（本小题满分12分）

甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球.

（1）求“两球颜色相同'’的概率；

（2）设4表示所取白球的个数，求J的概率分布列.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥尸-48。中，是△NBC外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱

PB、PC的中点.

（1）求证：平面PNC；

（2）若二面角4—DE—C为2,AB=PC=4,求NE与平面/CZ）所成角的正弦值.

3

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：，£=l（a〉b>0）的左、右焦点分别为耳、F2,尸（-1，5是椭圆C上一点，且尸片与

x轴垂直.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）设椭圆。的右顶点为/,。为坐标原点，过与作斜率大于0的直线/交椭圆C于"、N两点，若

△04〃与的面积比为2：3,求直线/的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（x）=xex-lax+a.

（1）当a=；时，讨论/（x）的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分.作答时，请

用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

X=>/34-2t

已知在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为4la为参数)，以坐标原点。为极点，、轴

y=3-2\J3t

的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为P(l+cos26)=2sine,点P的极坐标为

卜引

(1)求直线/的极坐标方程以及曲线。的直角坐标方程：

(2)记〃为直线/与曲线C的一个交点，求△。河。的面积.

23.(本小题满分10分))选修44-55：不等式选讲

已知加20,函数/(x)=2,一1卜|2刀+〃?|的最大值为4,

(1)求实数加的值；

(2)若实数a,h,c满足q-2b+c=〃？，求/+〃+c?的最小值.

郸都区2022-2023学年高三下学期阶段性检测（三）

数学（理）参考答案

题号123456789101112

答案DCBCCABABACD

14.-14.-4515.——16.4<6?<5

64兀

17.解：（1）①由S[o=5（%o+l）,得10q+—-—"=5（6+94+1）,即q=l；

②由q,a2,4成等比数列，得a；+2qd+c/2=a；+5a,,即d=3q；

③由&=35,得5（%+©=5%=35,即q=q+2d=7；

选择①②、①③、②③条件组合，均得%=1，d=3.

故a”=1+3（拉—1）=3〃-2.

_J____!___Up___M

⑵bn=

anafl+]（3及一2）（3%+1）3（3〃一23〃+lJ

；・T〃=4+b2+4+・・•+%

+岛-，

lfj__1）_〃

=式3n+lJ3«+l'

12

18.（1）解：从甲中取出黑球的概率为一，取出白球的概率为一.

33

从乙中取出黑球的概率为,，取出白球的概率为

22

故“两球颜色相同”的概率P=』xL+2xL=_L.

32322

（2）解：由题意可得，自所有可能取值为0、1、2.

11

尸抬=0）—x—

326

1211

06=1）=y—d——x—=—

2322

11

2-=-

P/=2）=]X23

故J的分布列如下表所示:

19.证明：（1）因为是圆的直径，所以

因为PC垂直于圆所在的平面，8Cu平面/8C,所以8CJ.PC.

又因为ZCcPC=C,/Cu平面尸/C,PCu平面PAC.

所以8cl平面尸ZC.

因为。、E分别是棱PB、PC的中点.

所以8C〃OE.

从而有。平面21c.

（2）由（1）可知，。£工平面尸/C,AE、ECu平面尸ZC.

所以。

又因为ZEu平面D4E,ECu平面。EC,

所以4EC为二面角Z—OE—C的平面角.

从而有NZEC=m,则EC=；PC=2,/C=2g,

又8CJ_4C,HB=4得BC=2.

以C为坐标原点，CB.CA.而的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-型,

C（0,0,0）,J（0,273,0）,£（0,0,2）,

5（2,0,0）,P（0,0,4）,£＞（1,0,2）,

所以次=(b,—2G,2),C4=(o,273,0),CD=(l,0,2).

设3=(x/,z)是平面4c。的一个法向量.

n-C4=0(2y/3y=0

则<一,即1,

iiCD^O[x+2z=0

可取加=（2,0,—1）.

设/E与平面ZCO所成角为。

\n-^E275

故sin。=

\n^AEV5x4-10

V5

所以4E与平面ACD所成角的正弦值为

而

20.解:(1)由题意得名(1,0),4(—1,0)，c=l.

则2q=|P£|+|PQ|=J(l+l)2+g_0)2+g=4,即q=2.

b=>Ja2—c2=V3.

故E的方程为工+匕=1.

43

(2)设直线/的方程为x=my+l(/%>0),"(西,弘)，N@2J2)，

不妨设〃在第一象限.

x=my

直线/与椭圆。方程联立，|工22消去了,

——+乙=1

143

得(3m2+4)V+6my-9=0.

6m9

必+=~^~2~~7，y^2=~^~~2~~7*

3"+43m+4

；S„=g|O4凹，与△OMN的面积比为2:3,

...一二=1，整理得先=—2必.

乂-％3

._6m2_9

23/M2+4-23加2+4

6/n,4

即2，解得.

3m2+43加2+45

2y

:>0,•*.m—--5---,

5

nl-c

直线/的方程为》=黄歹+1,即5工-2舟-5=0.

解：(1)当时/(X)=xex-x+-,xeR,

2

则/'(工)=(1+1)，'-1.

令〃(x)=/'(x)=(x+l)eA-1,则1(x)=(x+2)er.

所以当x<—2时〃'(x)<0,当x>—2时〃'(x)>0.

即/'(x)在(—8,—2)上单调递减，在(—2,+8)上单调递增.

2

又〃(-2)=(-2+1贮一1=-e--l<0,*0)=0

且当x<-l时e、>0,x+1<0,则/z(x)<0,

所以当x<0时力(x)<0,当x>0时0,

即当x<0时/'(x)<0,当x〉0时/'(x)>0.

所以/(x)在(-8,0)上单调递减，在［0,+卬)上单调递增.

(2)解法一：因为/(X)有两个零点，所以方程/(x)=0有两个不同的根,

即关于x的方程(2x—1)a=xev有两个不同的解.

当》=,时，方程不成立，所以x#_L,

22

令g(x)=2“e］，(工工3］，则V=。与g(x)=5'9I的图象有两个交点•

(2x2-x-l)ev(x-l)(2x+l)ev

又g'(x)=

(2x—I)?(2x-l)2

令g'(x)>0，解得x<—；或x>l.

令g'(x)<0，<x<—<x<l.

V7222

1;，，上单调递减.

所以g(x)在-00,----，--(1,+0。)上单调递增，在

2

当x=l时，g(x)取得极小值g(l)=e.

因为e>n，且当x<0时，g(x)>0.

所以a的取值范围是

解法二：因为/(x)有两个零点，所以方程/(x)=0有两个不同的根,

即关于x的方程x/=2a有两个不同的解.

当x=L时，方程不成立，所以x/L,

22

令g(x)=xe',A1,0j,P(X。,飞泊),设直线4与函数g(x)的图象切于点P.

则上力==(X。+1)*.

1

或=—

2XQ-X0—1=0.X0=1

11-1

2

当天=1时，kPA-2e；当玉)二万时，kpA--e

1-1

结合函数的图像可知0<2a<-e2或2a>2e.

2

・'・0<a<—产或a>e.

4Ve

22.解：(1)由直线/的参数方程可得直线/的普通方程为Jix+y=6.

将x=pcos0,y-psin。代入得J§pcos6+psmO-20cos[0-^\=6

故直线/的极坐标方程为pc