2022-2023学年天津市河北区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市河北区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.直线3x+2y+6=0的斜率为A,在y轴上的截距为6,则有（）

22

A.%=—2,/）=3B.k=—3,b——2

22

C.k——2,b=-3D.k——3,b=-3

【答案】C

【分析】把直线的一般式方程化为斜截式方程尸丘+6,即可找出直线的斜率左及与夕轴的截距6即

可.

3、

0r（Cy=--X—J

【详解】方程3》+2产6=°变形为：.2,

k=--

.・.此直线的斜率2,直线在卜轴上的截距b=-3.

故选：C.

【点睛】本题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键.

2.圆/+”+4.・6了-3=0的圆心和半径厂分别为（）

A.（4—6）,厂=16B.GT,厂=4

C.（々3）,厂=4D.（々3）,r=16

【答案】C

【分析】利用配方法进行求解即可.

【详解】Y+/+4X-6y-3=°n（x+2y+&-3）2=16,

所以该圆的圆心为（-2,3）,〃=4,

故选：C

x2P2,

----1----=1

3.椭圆2516的离心率是

3453

A.5B.5C.3D.4

【答案】A

【解析】由椭圆方程得出可求出离心率.

［详解］由椭圆石+讳=,可得0=5,6=4,贝|jc=J/_/=3

x2y2—c_3

所以椭圆五+正一的离心率为a5

故选：A

片-己=1

4.双曲线916的渐近线方程是

,9,16

A.16B.-9D.4

【答案】C

一_/=

V=±—x

【详解】.所以双曲线916-的渐近线方程是3.选c.

5.抛物线/=2x的准线方程是（）

11

x——y=—

A.2B.2C.尸-1D,尸=-1

【答案】A

【分析】由抛物线的方程直接求解准线方程即可.

1

2n

【详解】解：由抛物线y=2x,可得其准线方程是X=2-.-

故选：A.

6.在等比数列也｝中，若4=4,则公比9的值等于（）

A.2B.&C,2D.4

【答案】C

【分析】由等比数列通项公式求解即可.

【详解】在等比数列"J中,

1

因为％=《/=4,，

所以/=8ng=2,

故选：C.

j_2_

1

7.等比数列1,5,…的前〃项和为（）

2--5-j-1

2-

A.2eB.，-FC.2"D.F

【答案】D

【分析】由条件求出等比数列的公比夕，利用等比数列求和公式求其前”项和.

a.=-^=—=1

【详解】设该数列为｛qJ,数列S'的公比为"，由己知-2,所以《2

所以数列｛""｝的前"项和"17=2-击

故选：D.

片+J1e=』

8.若双曲线C与椭圆4924有公共焦点，且离心率4,则双曲线C的标准方程为（）

2

X2[

V------/--=J1----y=1

A.169B.169C.4

【答案】A

【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可.

£+r-iI一

【详解】由4924可知，该椭圆的焦点在y轴，且半焦总巨为‘49-24=5,

士E

=\（a>0,b>0）

设双曲线的方程为：£,所以该双曲线的半焦距为。=5

55_5___________

4=",所以=Vc2-a2=A/25-16=3,

因为该双曲线的离心率4,所以有a

/_£=1

因此双曲线C的标准方程为169

故选：A

9.如图，长方体圈CQ中,"4=2AB=2BC=2f则异面直线AB与AD］所成角的余弦

值为（）

37104

A.10B.5C.5D.5

【答案】D

【分析】连接48,BC\,4G,根据题中条件，得到/48G为异面直线48与""所成角或其补

角，结合题中数据，即可求出解.

连接"乃，g,4G,

在长方体ABCD-A\B\C\D\中，易知AD、HBC,,

所以4RG为异面直线4B与AR所成角或其补角,

又在长方体ABCD~AB'C'D]中AA^=2AB=2BC=2

所以48=BC、=>/5,4G=y[2,

cosZ.ABC=--『——-j==—

在中，由余弦定理得}X2xj5xj55.

fo.fl

因为异面直线所成的角的取值范围是I2」，

4

所以异面直线48与所成角的余弦值为《

故选：D.

【点睛】思路点睛：

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归

为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角：

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是〈2」，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为

两条异面直线所成的角.

22二+J1

10.若直线/：九》+沙=4和圆°:x+y=4没有交点，则过点尸（见〃）的直线与椭圆94的交

点个数为（）

A.0个B.至多有一个C.1个D.2个

【答案】D

【分析】根据题意得到苏+〃2<4,求得点0（犯〃）是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点,

根据圆/+〃2=4内切于椭圆，得到点尸（〃?，〃）是椭圆内的点，即可求解.

【详解】因为直线/：s+〃y=4和圆。:_+/=4没有交点，

1。+,。+4|〉2

可得yjm2+n2,gpm2+n2<4,

所以点是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点，

x2y2

--+--=]

又因为椭圆94，可得a=3,b=2,

x2y1

--+---1

所以圆苏+〃2=4内切于椭圆，即点尸（见〃）是椭圆94内的点，

所以点尸（叽〃）的一条直线与椭圆的公共点的个数为2

故选：D.

二、填空题

1a=1___—

11.在数列｛""｝中，（"22）,则数列｛4,｝的第5项为

【答案】5

【分析】根据可及递推公式计算可得结果.

1a=1__—

【详解】因为“=吗，"%（〃22）,

所以一4

=1---=1---=---

%34

5

4

故答案为：5.

12.已知两点々（9,4）,£（3,6）,则以线段66为直径的圆的标准方程为.

【答案】06尸+（k5"1°

【分析】根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可

得结果.

（65）gj（9_3>+（4_6）2=」a=而

【详解】依题意可得圆心坐标为（'人半径为22,

所以以线段片舄为直径的圆的标准方程为：（x-»+（y-5f=10

故答案为：（x_»+（y_5）2=io

13.及+1与3-1的等比中项是.

【答案】±1

【分析】利用等比数列的定义即可求解.

【详解】设及+1与&-1的等比中项是X,

贝产3+21）,

即月=1,

解得：X=±l,

故答案为：±1

三、双空题

14.已知倾斜角为45。的直线/经过抛物线『=4x的焦点尸，且与抛物线交于A,B两点,则焦点

尸的坐标为;线段43的长为.

【答案】（】，°）8

【分析】①根据焦点坐标公式即可求解；②根据弦长公式即可求解.

【详解】①因为V=4x,

所以2P=、

所以。=2,

2,（-,0）

V=©的焦点为2,

即为(1,0).

②倾斜角为45。的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F,

所以直线的方程为V-0=l(x-D,

y=x-\

联立l「=4x,

所以Y-6X+1=0,

所以玉+%=6,西3=1,

|/用=Jl+公J(X［—4X1.々=Jl+/A2-4=8

故答案为：(1,0)8

15.已知数列S"｝的前«项和公式为S，=3"-2,则q=.数列｛«„｝的通项公式M=

0,〃=1

n,，

【答案】1.［2-3-,/I>2,neN

【分析】利用代入法，结合/与‘之间的关系进行求解即可.

［详解］在*=3"_2中，令〃=［中，得［=耳=3'_2=1；

当〃22,〃eN,时，％=遣-%=3"-2-尸+2=2-31,显然《=1不适合，

因此数列｛"”｝的通项公式i2-3'i,〃22,〃€N.,

故答案为：1;l2.3"->>2,/;eN-

四、解答题

16.已知等差数列也｝中，%=2,-20

(1)求首项4和公差d：

(2)求该数列的前10项的和5。的值.

【答案】(1卢=-6，d=4；

⑵120.

【分析】（1）根据等差数列通项公式进行求解即可;

（2）根据等差数列前〃项和公式进行求解即可.

【详解】（1）因为在等差数列｛""｝中，%=2,%+4=20,

a,+2d=2

=>a.=-6,d=4

q+3d+q+5d=20

所以有

（2）因为在等差数列血｝中，q=-6,"=4,

Slo=lOx(-6)+1xlOx9x4=12O

所以

17.已知椭圆/+①的-个顶点为‘（°』），离心率为2,过点8（°，-2）及左焦点

耳的直线交椭圆于C、°两点,右焦点设为名.

（1）求椭圆的方程：

（2）求A8k的面积.

-2.

—+V=1

【答案】（1）2-

⑵9

【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率直接求解即可;

（2）写出直线C。的方程，利用弦长公式可求得|cq,并可计算点亮到直线。的距离a,故

S=^\CD[d

二十且=1Z\

【详解】⑴解：•••椭圆a?b2~的一个顶点为"（°』），二6=1,

_c_I.b2V2

又离心率为a\a2,；"=2,

x~21

---Fy—1

，椭圆的方程为2•.

（2）解：,,超（T°）,尸2（叫.•.直线班的方程为y=-2x-2,

（y=-2x-2

lx2

------------by2=]

由12.，消去V,得9x+16x+6=0,

/.A=162—4x9x6=40>0

所以直线与椭圆有两个公共点,

设为。(冷弘>。(马,力),

’16

玉+x2=-—

2

则13,

\CD\=Jl+(—2)2\X}-x2|=Vs-J(X|+%)2-4斗6

_[2+0+2|475

又点招到直线8月的距离V^+275,

故Sc*=，|8|M二k

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜

率、三角形的面积等问题.

18.如图，在长方体/80°一48cA中，"4=42=2,/8=2及，4C与町交于点N,

C。的中点为M.

(1)求证：4NJ.平面BMN；

(2)求直线℃与平面/8N所成角的正弦值;

(3)求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析：

(2)直线0C与平面N8N所成角的正弦值为6.

巫

(3)平面C8N与平面/8N夹角的余弦值为3.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明丽,两，前1丽，结合线面垂直判定定理

证明平面8MN；

(2)求直线D'C的方向向量和平面ABN的法向量，利用向量夹角公式求直线%与平面ABN所成角

的正弦值；

(3)求平面CBN的法向量，利用向量夹角公式求平面CBN与平面N8N夹角的余弦值.

【详解】(1)如图，以点A为原点，/及/°,44为x/,z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为

/4=44=2,AB=2y/2,4c与明交于点N,

co的中点为〃，

所以7(0,0,0),B@&0,0),A/g,2,0)4(0,0,2)C@&,2,0)N伊,1,1)

所以而=2,1,1)547=(-72,2,0)丽=Q力」1),

所以丽・瓦奇=-2+2+0=0,丽•丽=-2+1+1=0,

所以前，丽，丽1.丽，即NN_LBM,NN_LBN又BMC\BN=B,BM,BNu平面BMN,所

以4V_£平面BMN.

4__

“J

4

⑵由⑴，。02,2),所以麻JA?=(V2,1,1)而=@也0,0)

设平面/8N的法向量为〃।=(x，%z),则马ZN=0

，n.AB=0，

所以应x+y+z=0,2而=0,取尸1,可得x=0,z=-l,

所以向量〃|=（0'1'T）为平面N8N的一个法向量,

I/_____VI2c•勺2

sinfC,叶阿丁派访

设直线℃与平面/BN所成角为0,则V

V6

所以直线℃与平面Z8N所成角的正弦值为6；

⑶由（1）,''=6""），8c=（0,2,0）,设平面C8N的法向量为"2=G，S，。,

则〃2，BN=0,M2-5C=0J所以_&r+s+l=0,25=0,取r=],贝*=。"=0,所以

%=（1,0,3）为平面C8N的一个法向量,

又向量4=（°J，一1）为平面/8N的一个法向量,

I/--\|>/2

cosa=〃「闻百