2022-2023学年江西省赣州市油石中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年江西省赣州市油石中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A．9 B．3 C．17 D．﹣11参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数；等差数列的性质．【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同，所以要讨论x的三种不同情况．【解答】解：设这个数字是x，则平均数为，众数是2，若x≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x=，x=3，若x≥4，则中位数为4，2×4=，x=17，所有可能值为﹣11，3，17，其和为9．故选A．【点评】本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．2.已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由，，，和，，，均由2个和2个排列而成，记S=?+?+?+?，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（）①S有3个不同的值；②若⊥，则Smin与||无关；③若∥，则Smin与||无关；④若||=2|，Smin=4，则与的夹角为．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意得到所有的S值判断①，利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断②③④，则答案可求．【解答】解：由题意可知，S=?+?+?+?有三个值，分别为、、．∴①正确；∵﹣=，﹣=，∴．若⊥，则Smin=0与||无关，∴②正确；若∥，则Smin=，与||有关，∴③错误；若||=2|，Smin=4，则cos＜＞=，与的夹角为，故④正确．∴命题中正确的个数为3个．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查平面向量的数量积运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．3.已知函数，其中为常数,那么“”是“为奇函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C4.双曲线?y2=1的焦点坐标是(

)A.(?，0)，(，0) B.(?2，0)，(2，0) C.(0，?)，(0，) D.(0，?2)，(0，2)参考答案：B∵，∴双曲线的焦点坐标是，.5.右图所示的程序框图中的输出结果是(

)A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：C略6.在下列各数中，最大的数是（

）A．

B．C、

D．参考答案：B7.已知函数f(x)的图象如图所示，是函数f(x)的导函数，且是奇函数，给出以下结论:①；

②；③；

④.其中一定正确的是(

)A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：B8.设函数是的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数都有对称中心，其中满足.已知函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，故选D.考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过“三次函数都有对称中心”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称性和的.9.已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，，选C．10.在中，

,，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在实数集上的奇函数始终满足，且当时，，则等于

．参考答案：12.二项式的展开式中，含的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）参考答案：1013.执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8

B．5C．3

D．2参考答案：C14.若i为虚数单位，则复数＝________．参考答案：15.已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=

．参考答案：﹣，x∈（﹣1，0]【考点】反函数．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据反函数的定义，用y表示出x，再交换x、y的位置，即可得出f﹣1（x）．【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），∴y+1=x2，又﹣1≤x＜0，∴0≤y＜1，∴x=﹣；交换x、y的位置，得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]．故答案为：﹣，x∈（﹣1，0]．【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，是基础题目．16.某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人．为了调查他们的身体情况，用分层抽

样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=

．参考答案：3617.已知向量，，且与的夹角为，若，则实数的取值范围是．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）参考答案：解析：证明：必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则bn+1–bn=(an+1–an+3)–(an–an+2)=(an+1–an)–(an+3–an+2)=d1–d1=0所以bnbn+1

(n=1,2,3,…)成立。又cn+1–cn=(an+1–an)+2(an+2–an+1)+3(an+3–an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{cn}为等差数列。充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bnbn+1

(n=1,2,3,…)∵cn=an+2an+1+3an+2

①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4

②

①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2(an+1–an+3)+3(an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2∵cn–cn+2=(cn–cn+1)+(cn+1–cn+2)=–2d2

∴bn+2bn+1+3bn+2=–2d2

③

从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2d2

④④-③得（bn+1–bn）+2(bn+2–bn+1)+3(bn+3–bn+2)=0

⑤∵bn+1–bn≥0,

bn+2–bn+1≥0,

bn+3–bn+2≥0,∴由⑤得bn+1–bn=0

(n=1,2,3,…)，由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…)则an–an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1–3d3从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3

，两式相减得cn+1–cn=2(an+1–an)–2d3因此(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{an}公差等差数列。19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.

参考答案：证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以.

..............4分又平面，平面，所以平面.

..............6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面.

..............8分而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面.

.............12分又面，所以面面.

..............14分

20.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．

①若，求圆的方程；②若是l上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．参考答案：21.某班名学生在2011年某次数学测试中，成绩全部介于80分与130分之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100）…第五组[120，130]，下表是按上述分组方法得到的频率分布表：

分组频数频率[80,90）0.04[90,100）9[100,110）0.38[110,120）170.34[120,130]30.06(1)求及分布表中的值；（2）校长决定从第一组和第五组的学生中随机抽取2名进行交流，求第一组至少有一名学生被抽到的概率；（3）设从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩分别记为，求事件“”的概率．参考答案：解：(1)

（2）设第5组的3名学生分别为,第1组的2名学生分别为，则从5名学生中抽取两位学生有：，共10种可能．

其中第一组的2位学生至少有一位学生入选的有：，共7种可能，所以第一组至少有一名学生被校长面试的概率为.（3）第1组中有2个学生，数学测试成绩设为第5组[120，130]中有3个学生，数学测试成绩设为

则可能结果为共10种使成立有共4种

所以即事件“”的概率为.略22.设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）先假设存在点M（m，0）（）满足条件，由点斜式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断．【解答】解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），代入+=1可得，y0=，因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，所以，由题意得，a=b，代入上式解得：a=、b=，故所求椭圆方程为．