2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编09平面向量（全国通用版）含解析

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题09平面向量

一、选择题

1.(2022年全国乙卷理科•第3题)已知向量以「满足质曰,囚=6,而一2否卜3,则££=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2022新高考全国II卷•第4题)已知向量£=(3,4)[=(1,0),"="+正，若<7,)>=<&">,则/=

()

A.-6B.-5C.5D.6

3.(2022新高考全国I卷•第3题)在A/5。中，点。在边N8上，BD=2DA.记9=流丽=万，则赤=

()

A.3而一2万B.-2w+3«C.3而+2万D.2th+3n

4.(2020年新高考I卷(山东卷)•第7题)已知尸是边长为2的正六边形MCOEF内的一点，则万.布的取

值范用是()

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

5.(2020新高考I1卷(海南卷)•第3题)在△力8c中，。是工8边上的中点，则3=()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

6.(2020年高考数学课标HI卷理科•第6题)已知向量a,6满足|“|=5,|b|=6,a.b=-6,则cos(“,a+与=

()

31191719

A.---B.---C.—D.—

35353535

7.(2019年高考数学课标全国n卷理科•第3题)已知方=(2,3),就=(3,/),|法卜1,贝U五鼠前=

()

A.-3B.-2C.2D.3

8.(2019年高考数学课标全国I卷理科•第7题)已知非零向量否满足同=2恸，且(万-B)J.九则,与石

的夹角为()

9.（2019年高考数学课标全国I卷理科•第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐

至足底的长度之比为吏二1

2

（1二1•xO.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是正二L若某人满足上述两个黄金

2

分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

10.（2018年高考数学课标n卷（理）•第4题）已知向量“，6满足|“|=1,ab=-\,则a（2a-b）=

（）

A.4B.3C.2D.0

11.（2018年高考数学课标卷1（理）•第6题）在A48C中,NO为8c边上的中线，E为/。的中点，则丽=

（）

3__1_।___3___?___।।③___

A.-1B一一ACB.-AB--ACC.-1B+-ACD.-AB+-AC

44444444

12.（2017年高考数学课标HI卷理科•第12题）在矩形力88中，Z6=l,AD=2,动点尸在以点C为圆

心且与8。相切的圆上，若万=2茄+〃力，则义+〃的最大值为（）

A.3B.2近C.V5D.2

13.（2017年高考数学课标II卷理科•第12题）已知A48C是边长为2的等边三角形，尸为平面N3C内一点,

则⑸•（而+定）的最小值是（）

c34,

A.-2B.----C.----D.-1

23

14.（2016高考数学课标in卷理科•第3题）已知向量诙=（；,斗瑟=（孚;），则48C=（）

A.30°B.45°.C.60°D.120°

15.（2016高考数学课标II卷理科•第3题）已知向量£=（1,⑼石=（3,-2）,且（Z+B）J,B,则加=（）

A.一8B.一6C.6D.8

16.（2015高考数学新课标1理科•第7题）设D为AABC所在平面内一点瑟=3瓦，则（）

A.AD=--AB+-ACB.AD=-AB--AC

3333

—4—1—4—n

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

17.（2014高考数学课标2理科•第3题）设向量a,b满足何+川=亚，|a-b|=〃，则a・b=（）

A.1B.2C.3D.5

二、多选题

18.（2021年新高考I卷•第10题）已知。为坐标原点，点耳（cosa,sina）,"（cos/?,-sin/?）,

g（cos（a+P）,sin（a+/?））,A（1,0）,贝!]（）

A.|西卜国B.|第=|珂

C.OAOPi=OPXOR,D.O40P.=0^0I]

三、填空题

19.（2022年全国甲卷理科•第13题）设向量Z，B的夹角的余弦值为g,且同=1,例=3,则

（2a+书）.]=.

20.（2021年新高考全国n卷•第15题）已知向量£+5+）=6,同=1，W=同=2,a-b+b-c+c-a=.

21.（2021年高考全国乙卷理科•第14题）已知向量£=（1,3）,B=（3,4）,若0-4）J.B,则4=.

22.（2021年高考全国甲卷理科•第14题）已知向量£=（3,1）[=（1,0%）=2+左3.若则左=

23.（2020年高考数学课标I卷理科•第14题）设为单位向量，且|万+B|=1,贝/）一5|=.

24.（2020年高考数学课标II卷理科•第13题）已知单位向量的夹角为45。，左:与1垂直，则

k=.

25.（2019年高考数学课标m卷理科•第13题）已知"，书为单位向量，且2石=°,若c=2a一回,则

COS〈Q,C〉=

26.（2018年高考数学课标UI卷（理）•第13题）已知向量2=（1,2）,3=（2,—2）,2=（1"）,若"//（2£+与，

则4二.

27.（2017年高考数学新课标I卷理科•第13题）已知向量2）的夹角为60°,同=2,恸=1，则

卜+2q=.

28.（2016高考数学课标I卷理科•第13题）设向量£=（〃?」），6=（1,2）,且B+则

m—_________

29.（2015高考数学新课标2理科•第13题）设向量Z,加不平行，向量4々+石与"+2石平行，则实数

Z=____.

30.（2014高考数学课标1理科•第15题）己知A,B,C是圆O上的三点,若彳万=；（刀+就），则而与%

的夹角为.

31.（2013高考数学新课标2理科•第13题）已知正方形Z8C。的边长为2,E为的中点，则瓦•前

32.（2013高考数学新课标1理科•第13题）已知两个单位向量£,3的夹角为60。，"=扇+（1-而，若否・之=0,

则t=.

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题09平面向量

一、选择题

1.（2022年全国乙卷理科•第3题）已知向量7］满足万口，历卜内,而一2^=3,则"彳=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

解析：•.,但一渐=|512Td3+咽1

又昨Gm-如=3,

•*-9=1-45-6+4x3=13-4a-ft，

•*a-b=1故选：C.

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2022年全国乙卷理科•第3题

2.（2022新高考全国H卷•第4题）已知向量3=（3,4）,坂=（1,0）,"=3+R,若<1,">=<瓦">,则，=

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3/+163+f

解析:c=（3+/,4）,cos5,c=cos6,4，即，解得t=5故选C.

5同

【题目栏目】平面向量,平面向量的综合应用

【题目来源】2022新高考全国II卷•第4题

3.（2022新高考全国I卷•第3题）在AZBC中，点。在边上，BD=2DA.记*=而，9=方，贝4赤=

（）

A.3m-InB.-2m+3nC.3m+2nD.Im+3n

【答案】B

解析：因为点。在边48上，BD=2DA，所以丽=2刀，即CD-C8=2（C4—CD）,

所以赤=3函-2扇=312碗=-2而+3万.故选：B.

【题目栏目】平面向量'平面向量的基本定理

【题目来源】2022新高考全国I卷•第3题

4.（2020年新高考I卷（山东卷）•第7题）已知产是边长为2的正六边形/8CDEF内的一点，则万.万的取

值范用是)

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

荏的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到AP在荏方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，

可知万•在等于9的模与下在次方向上的投影的乘积，

所以方•善的取值范围是(一2,6)，故选：A.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)•第7题

5.(2020新高考II卷(海南卷)•第3题)在△力8C中，。是48边上的中点，则()

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

解析：CB=CA+7B=CA+2AD=CA+2[CD-CA^=ICD^CA

【题目栏目】平面向量'平面向量的概念与线性运算'向量的线性运算

【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)•第3题

6.(2020年高考数学课标IH卷理科•第6题)已知向量a,6满足|“|=5,|b|=6,。•b=-6,则cos(a,a+婕=

()

31191719

A.——B.——C.—D.—

35353535

【答案】D

解析：：忖=5,1同=6,a-b=-6>.*.a-(a+^)=|a|+a-b=5--6=19.

++B|=J(a+B)=yja'+2a-h+b2=-25-2x6+36=7，

_____a-(a+B)1919

因此，cos<a,a+Z>>=pJ=——=—.

+5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计

算，考查计算能力，属于中等题.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2020年高考数学课标III卷理科•第6题

7.(2019年高考数学课标全国II卷理科•第3题)已知方=(2,3),就=(3,小|^^=1,则方•就=

()

【答案】C

【解析】•.•刘=(2,3),AC=(3,t),.•.前=X-而=(1/-3),.•.国="+«_3)2=1,解

得y3,

即前=(1,0),则方.就=(2,3>(l,0)=2xl+3x0=2.

【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法，利用

转化与化归思想解题.本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.学生易

在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量

积.

【题目栏目】平面向量,平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2019年高考数学课标全国II卷理科•第3题

8.(2019年高考数学课标全国I卷理科•第7题)已知非零向量限区满足同=2%且(不一可.，则G与加

的夹角为()

7171275乃

A.一B.——c.—D.——

6336

【答案】B

解析：Lb,：.(a-b\h=a-h-h=Q,：.a-b=b=|S|所以

所以,

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积\平面向量的垂直问题

【题目来源】2019年高考数学课标全国I卷理科•第7题

9.（2019年高考数学课标全国I卷理科•第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐

至足底的长度之比为避二*•

2

（叵口。0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是避二L若某人满足上述两个黄金

2

分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】

答案：B

解析：如图，“0.618,.•.。=0.618b,c=0.6181,

c<26,则［=—^<42.07,a=c+d<68.07,6=—^—<110.15,

0.6180.618

所以身高力=a+6<178.22,

又6>105,所以a=0.6186>64.89,身高〃=a+6〉64.89+105=169.89夕

故〃w(169.89,178.22),故选B.

【题目栏目】平面向量'线段的定比分点问题

【题目来源】2019年高考数学课标全国I卷理科•第4题

1（）.（2018年高考数学课标n卷（理）•第4题）已知向量"，〃满足|“|=1,“•在^，一贝1」比也-勿=

)

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

解析：a-（2a-h）=2\a\2-a-b=2+\=3,故选B.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积,平面向量的数量积运算

【题目来源】2018年高考数学课标II卷（理）•第4题

11.（2018年高考数学课标卷1（理）•第6题）在A48c中,为8c边上的中线，E为ZO的中点，则丽=

（）

3—1—1—3—■3—1—■1—■3—■

A.-AB——ACB.-AB——ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

解析：在AABC中，4）为8c边上的中线，E为/。的中点，

11□1

EB=AB-AE=AB一一AD=JB——CAB+Jc\=^AB一一AC,故选A.

22、,44

【题目栏目】平面向量'平面向量的基本定理

【题目来源】2018年高考数学课标卷1（理）•第6题

12.（2017年高考数学课标IH卷理科•第12题）在矩形488中，AB=\,AD=2,动点尸在以点。为圆

心且与3。相切的圆上，若万=4万+〃而，则2+〃的最大值为（）

A.3B.272C.D.2

【答案】A

【解析】法一：以4为坐标原点，43所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

如下图

则/（0,0）,5（1,0）,0（0,2）,C（l,2）,连结80,过点、C作CE工BD于息E

在R/A5DC中，有BD=dAB2+AD：=#>

S&ACD=；*80*8=；*80*0£即；乂1乂2=；*逐乂砥=匿=言

所以圆。的方程为(x-l),-+(y-2『9=w44

(2-752-75.、

可设P1H----cos。,2H-----sin0

\/

_.-.____(2-J?2-J?、

由ZP=丸48+〃40可得1+—cos6,2+—sin。=(>1,2//)

一2后口

A—1H----COS0

5所以2+〃=24—---cos0+—^―sin6=2+sin（。+夕）

所以《

.75.A

it-1+——sin，

5

其中sine=半，cos<p正

5

所以义+〃的最大值为3,故选A.

法二：通过点C作CE_LBD于E点，由〃8=1,AD=2,可求得=万=J$

又由SAHCD=；xCDxC8=gx8。xCE,可求得=

由等和线定理可知，当点尸的切线（即EH）与。8平行时，几+〃取得最大值

又点/到8。的距离与点。到直线8。的距离相等，均为

而此时点/到直线口的距离为半+2厂=半+2乂竽675

675

AFr*

所以丝=_3==3,所以2+〃的最大值为3,故选A.

AB2<5

另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当尸点在如图所示位置时，九+〃最大，且此时若

AG-xAB+yAD,则有4+〃=x+_y,由三角形全等可得ZD=DF=FG=2,知x=3,y=0,

所以选A.

法三：如图，建立平面直角坐标系

设4(0,D，5(0,0),0(2,1),尸(x,y)

9,4

根据等面积公式可得圆的半径是今，即圆的方程是（X-2）一+/=

y/55

AP=(x,y一1),/8=(0,-1),/O=(2,0),若满足AP=AAB+JJAD

x=2〃xXXX

即4)〃-,A=l-y,所以4+〃=；-y+l,设zu,-y+1,即5-y+l-2=0,

y—i=­A

24|2-z|2

点尸(x,y)在圆(x—2丫+y上，所以圆心到直线的距离，即＜，解得l«z43,

=ydW忑

所以z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故选A.

法四：由题意，画出右图.

设8。与。C切于点E,连接CE.以/为原点，40为x轴正半轴，为丁轴正半轴建立直角坐

标系

则C点坐标为(2,1).•••|CZ)|=1,|8C|=2.:.BD712s=6.•.•8。切。。于点后.

CELBD.CE是RtASCD中斜边8。上的

2-\-\BC\-\CD\

高.乒|=23=_2---------=^=-75

\BD\\BD\#)5

2r-4

即0c的半径为在OC上.二尸点的轨迹方程为(X—2)2+3-1)2=岁

2

x0=2+—V5cos^

设尸点坐标(看,为)，可以设出尸点坐标满足的参数方程如下

yQ=1+—V5sin^

而NP=(Xo，%),^5=(0,1),Z£>=(2,0).

,/AP=AAB+/.lAD=A(0,l)+〃(2,0)=(2〃,4)

u-—xn-1+"-cos0>2=y°=1+=sin8.

2055

两式相加得:

%+〃=1+—75sin+1+-^-cos3

55

=2+J(^^y+2sin(6»+9))

=2+sin(6+夕)<3

（其中sine=夸，cose=半）

TT

当且仅当e=,+2E-8，%eZ时，2+〃取得最大值3.

【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理

【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或

数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

的形式，再通过向量的运算来解决.

【题目栏目】平面向量'平面向量的基本定理

【题目来源】2017年高考数学课标III卷理科•第12题

13.（2017年高考数学课标II卷理科•第12题）已知A48c是边长为2的等边三角形，P为平面Z8C内一点,

则力•（而+1）的最小值是（）

c34,

A.-2B.----C.----D.-1

23

【答案】B

【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算、数量积，意在考查考生

转化与化归思想和运算求解能力

解法二：均值法

VPC+PB=2P0,：.PA-^PC+PB^=2P0-PA

由上图可知：OA=PA-PO-两边平方可得3=（西『+（的『-2万.司

+（PO）2>-iPAPd,：.2P0PA>--

：.莎•（斤+而）=2万•9士-3,.•.最小值为-3

v'22

解法三：配凑法

'：PC+PB=2P0

3

.♦.最小值为

【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通

法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.

【考点】平面向量的坐标运算，函数的最值

【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将

问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化"，即利

用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题,

然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

【题目栏目】平面向量,平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2017年高考数学课标n卷理科•第12题

14.（2016高考数学课标in卷理科•第3题）已知向量或=（；,当及=（曰1）,则48。=（）

A.30°B.45°.C.60°D.120°

【答案】A

_______，占也1

【解析】由题意，得cosNABC=,巴=22+2_2=：叵,所以乙43。=30。,故选A.

-BC|1x12

【题目栏目】平面向量'平面向量的坐标运算

【题目来源】2016高考数学课标in卷理科•第3题

15.（2016高考数学课标II卷理科•第3题）已知向量£=（l,〃z）,5=（3,-2），且（。+5）1•九则m=（）

A.一8B.一6C.6D.8

【答案】D

【解析】由+可得：（Q+/B=O,所以=0，又Q=（1,加）］二（3,—2）

所以3一2加+（32+（-2）2）=°,所以加=8,故选D.

【题目栏目】平面向量'平面向量的坐标运算

【题目来源】2016高考数学课标II卷理科•第3题

16.（2015高考数学新课标1理科•第7题）设D为AABC所在平面内一点肥=3而，则（）

A.AD=--AB+-ACB.AD^-AB--AC

3333

—4—1—4—1

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

3333

【答案】A

解析：由题知通=就+而=%+，比=就+，（就-方）==_，益+刍％,故选A.

3333

考点：平面向量的线性运算

【题目栏目】平面向量'平面向量的基本定理

【题目来源】2015高考数学新课标1理科•第7题

17.（2014高考数学课标2理科•第3题）设向量a,b满足|a+b|=布，|a-b|=V6,则a-b=（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

rrrrr2r2rrrrrrrrrr

解析：因为|a+b|=(a+b)2=a+b+2a-h-lQ,\a-b\-(a-h)2-a2+b2-2a-b=6,

r2r2ii

两式相加得：a+b=8,所以a-b=l,故选A.

考点：（1）平面向量的模；（2）平面向量的数量积

难度：B

备注：常考题

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2014高考数学课标2理科•第3题

二、多选题

18.（2021年新高考I卷•第10题）已知。为坐标原点，点＜（cosa,sina）,6（cos£,-sin/?）,

6(cos(a+£),sin(a+£)),4(1,0),则()

A.|西卜函B.函=|西

C.OAOP}=O^O^D.OAOP^O^O^

【答案】AC

解析：A：OP[=(cosa,sincr),OP2=(cos/?,-sin,所以|0片|==1»

|OR,|=7(cos/7)2+(-sin/?)2=1,故|西|=|砒正确；

B：APX=(cosa-I,sina),AP2=(cosp-1,-sin/?)>所以

|AF\|=J(cosa-+sin?a=>/cos2a-2coscr+1+sin2a=J2(l-cosa)=卜sin?%=2|siny|,同理

M—|=J(cos4一I)?+sin~夕=21sin，|,故6|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-0P3=1xcos(a+y3)+0xsin(a+/?)=cos(a+/?),

OP}OP2=cosa-cos£+sina•(-sin£)=cos(a+£)，正确；

D：由题意得：OAOP{=\xcoscr+0xsincr=cosa，

OP2•0P3=cospxcos(a+»)+(-sin夕)xsin(a+0)

=cosacos24一sinasin/?cos夕一sinasin/?cos/?-cosasin2/7

=cosacos2^-sin(7sin2/?=cos(«+2/7),错误；

故选AC.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年新高考I卷•第10题

三、填空题

19.(2022年全国甲卷理科•第13题)设向量Z，B的夹角的余弦值为:，且同=1,收=3,则

(2々+坂)•坂=.

【答案】11

解析：设£与B的夹角为6,因为£与坂的夹角的余弦值为:，即cos6=；,

又忖=1,"=3,所以a,B=|aFWcose=lx3x；=l,

所以(2a+B=2a.BB=2a%+°|=2xl+32=ll.

故答案为：11.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的夹角问题

【题目来源】2022年全国甲卷理科•第13题

20.（2021年新高考全国II卷,第15题）已知向量q+B+c=6,忖=1,W=卜卜2,++-

9

【答案】-f

解析:由已知可得（a+A+c）+5~+J+2（a・B+B・c+c/）=9+2（a*+=c+c-a）=0,

一一一一一_99

因此，a-h+b,c+c-a=—.故答案为：—.

22

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年新高考全国n卷•第15题

21.（2021年高考全国乙卷理科•第14题）已知向量£=（1,3）,B=（3,4）,若（£—4杨J.5,则4=.

3

【答案】-

解析：因为£一4=。,3）_4（3,4）=（1—34,3—41）,所以由（：一"）_L：可得,

3（1-32）4-4（3-42）=0,解得；1=2.

3

故答案为：—.

5

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=（%,%）1=（*2，%），

。_1_瓦=。花=0=xtx2+yxy2=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算

【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第14题

22.（2021年高考全国甲卷理科•第14题）已知向量£=（3,1）［=（1,0%）=2+左3.若则左=

・田上、10

【答案】一一.

3

解析：•.•3=（3,1）,5=（1,0）,；1=万+左5=（3+左,1）,

:G_LE,.,.H=3（3+左）+lx1=0,解得左=一¥，

故答案为：----.

3

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

万=（%，必），4=（看,%）垂直的充分必要条件是其数量积石々+凹72=0.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第14题

23.（2020年高考数学课标I卷理科•第14题）设6为单位向量，且|万+印=1,贝修）一5|=.

【答案】V3

【解析】因为£,3为单位向量，所以自=M=1

所以卜+可=J（a+*）~=J，~+赤石+=A/2+2a-b=1

解得：2a.5=-1

所以［Iq=J仅—叶=桐2一方$十斤=行

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

【题目栏目】平面向量'平面向量的综合应用

【题目来源】2020年高考数学课标I卷理科•第14题

24.（2020年高考数学课标n卷理科•第13题）已知单位向量1工的夹角为45。，左）-7与之垂直，则

k=.

【答案】①

2

解析：由题意可得：a-b—1x1x00845°—.

2

由向量垂直的充分必要条件可得：（力—力）：=0,

-2——y/2V2

即：kxa-a-b=k-----=0»解得：k=—•

22

故答案为：X2.

2

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的数量积运算

【题目来源】2020年高考数学课标II卷理科•第13题

25.（2019年高考数学课标HI卷理科•第13题）已知Z,行为单位向量，且£石=°,若c=2a一回,则

COS〈Q,C〉=

【答案】

3

【解析】因为c=2。-J豆，ab=O>所以4.0=2,石=2，

_______a-c22

|c|2=4|a|2-4V5a-Z>+5|6|2=9,所以|曰=3,所以以《依$=同同=诟=§.

【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化

思想得出答案.

【题目栏目】平面向量'平面向量的数量积、平面向量的夹角问题

【题目来源】2019年高考数学课标山卷理科•第13题

26.（2018年高考数学课标Ill卷（理）•第13题）已知向量2=（1,2）,6=（2,-2）,c=（l,A）,若工//（2）+3）,

则八.

【答案】-

2

解析：依题意可得力+3=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,又1=（1㈤,c//（2a+S）

所以4x；l-2xl=0,解得2=1.

2

【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算

【题目来源】2018年高考数学课标HI卷（理）•第13题

27.（2017年高考数学新课标I卷理科•第13题）已知向量Z）的夹角为60°卜2,恸=1，则

.

【答案】2G

2

【解析】法一：|£