高中数学-2.4平面向量的坐标课件-北师大版必修4

§4平面向量(xiàngliàng)的坐标第一页，共46页。问题引航1.向量是怎样用坐标表示的？2.向量的加、减、数乘怎样用坐标表示?3.向量的平行怎样用坐标表示？第二页，共46页。1.平面(píngmiàn)向量的坐标表示(1)向量a的坐标：________.(2)全体有序实数对与坐标平面(píngmiàn)内的所有向量之间的关系是_________的.a=(x,y)一一对应第三页，共46页。2.平面向量(xiàngliàng)线性运算的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则类别坐标运算语言表述向量的加法坐标表示a+b=____________向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的________向量的减法坐标表示a-b=____________实数与向量积的坐标表示λa=___________

实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的_____(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)和与差(λx1,λy1)乘积(chéngjī)第四页，共46页。类别坐标运算语言表述有向线段的坐标表示设A(x1,y1)，B(x2,y2),则=_______-_______=____________

一个向量的坐标等于____________________________________(x2,y2)(x1,y1)(x2-x1,y2-y1)其终点(zhōngdiǎn)的相应坐标(zuòbiāo)减去起点的相应(xiāngyīng)坐标第五页，共46页。3.向量平行的坐标(zuòbiāo)表示(1)公式：设a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔__________.若y1≠0且y2≠0，则上式可表示为a∥b⇔.(2)文字语言：定理1：若两个向量(与坐标(zuòbiāo)轴不平行)平行，则它们相应的坐标(zuòbiāo)_______.定理2：若两个向量相对应的坐标(zuòbiāo)_______，则它们平行.x1y2-x2y1=0成比例(bǐlì)成比例(bǐlì)第六页，共46页。1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)位置不同的向量的坐标一定不一样.()(2)一个(yīɡè)向量的坐标等于其起点相应坐标减去终点的相应坐标.()(3)对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，则x1x2－y1y2=0.()第七页，共46页。2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若向量(xiàngliàng)a=(5,－2)，则向量(xiàngliàng)a的相反向量(xiàngliàng)的坐标是______.(2)若向量(xiàngliàng)a=(1,－1),b=(3,),则a－2b=______.(3)若向量(xiàngliàng)m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n,则x=______.第八页，共46页。【解析】1.(1)错误.当位置不同的向量是相等向量时坐标一样.(2)错误.一个向量的坐标等于其终点相应坐标减去起点(qǐdiǎn)的相应坐标.(3)错误.对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，则x1y2－x2y1=0.答案：(1)×(2)×(3)×第九页，共46页。2.(1)若向量(xiàngliàng)a=(5,－2)，则向量(xiàngliàng)a的相反向量(xiàngliàng)－a=(－5,2).答案：(－5,2)(2)若向量(xiàngliàng)a=(1,－1),b=(3,),则a－2b=(1,－1)－2(3,)=(－5,－2).答案：(－5,－2)(3)若向量(xiàngliàng)m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n,则2x－2×(－1)=0,解得x=－1.答案：-1第十页，共46页。【要点探究】知识点1向量的坐标表示1.对平面向量坐标表示的三点说明(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关(yǒuguān),而与它们的具体位置无关.(2)向量确定后,向量的坐标就被确定了.第十一页，共46页。(3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法：一种是几何法,即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法,即用一对有序实数(shìshù)表示.有了向量的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决.第十二页，共46页。2.点的坐标与向量(xiàngliàng)坐标的区别与联系(1)区别①表示形式不同，向量(xiàngliàng)a=(x,y)中间用等号连接，而点的坐标A(x,y)中间没有等号.②意义不同，点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量(xiàngliàng)的大小，也表示向量(xiàngliàng)的方向，另外(x,y)既可以表示点，也可以表示向量(xiàngliàng)，叙述时应指明点(x,y)或向量(xiàngliàng)a=(x,y).第十三页，共46页。(2)联系(liánxì)当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.第十四页，共46页。【微思考】(1)如果已知向量的坐标，能否(nénɡfǒu)确定向量的位置？提示：不能.已知向量的坐标，向量的两个端点的坐标不能确定，因此向量的位置不能确定.(2)相等向量的坐标、端点坐标之间有什么关系？提示：相等向量的坐标相同,但是端点坐标不一定相同.第十五页，共46页。【即时(jíshí)练】1.若点A(1,1),B(0,2),则=_______.2.已知=(2,4)，若点M(－3,2)，则点N的坐标为_______.3.已知a=(2,0)，b=(x－1,y+1)，若a=b，则x=_______,y=_______.第十六页，共46页。【解析(jiěxī)】1.若点A(1,1),B(0,2),则=(－1,1).答案：(－1,1)2.已知=(2,4)，若点M(－3,2)，设N的坐标为x,y,则解得则N(－1,6).答案：(－1,6)第十七页，共46页。3.若a=b,则解得答案(dáàn)：3-1第十八页，共46页。知识点2向量共线的坐标表示(biǎoshì)两个向量共线的表示(biǎoshì)形式已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)当b≠0时，a=λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.第十九页，共46页。(2)x1y2-x2y1=0.这是代数(dàishù)运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数(dàishù)化的特点，程序化的特征.(3)当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.第二十页，共46页。【微思考】(1)向量平行的坐标表示有何特征?提示：交叉坐标乘积之差等于零.(2)对于平行向量如何(rúhé)根据其坐标判断两向量是同向还是反向？提示：根据向量的坐标，由(x1,y1)=λ(x2,y2),当λ>0时，两向量同向，当λ<0时，两向量反向.第二十一页，共46页。【即时练】1.若向量a=(1,－2)，b=(,－1)，则向量a,b的关系(guānxì)是_______.2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,则a,b满足的关系(guānxì)式为_______.第二十二页，共46页。【解析】1.1×(－1)－(－2)×=－1+1=0.答案(dáàn)：平行2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,则2a+b=0.答案(dáàn)：2a+b=0第二十三页，共46页。【题型示范】类型(lèixíng)一平面向量的坐标表示及其线性运算【典例1】(1)(2014·北京高考)已知向量a=(2,4)，b=(-1,1)，则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)第二十四页，共46页。(2)向量a,b,c在正方形网格(wǎnɡɡé)中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则=_______.第二十五页，共46页。【解题探究】1.题(1)中求向量2a-b的坐标的运算(yùnsuàn)顺序是什么？2.将向量坐标表示的前提是什么？【探究提示】1.将a,b的坐标代入求解.2.先建立适当的坐标系将向量用坐标表示.第二十六页，共46页。【自主解答】(1)选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).(2)以向量a,b的交点为原点，原点向右的方向(fāngxiàng)为x轴正方向(fāngxiàng)，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系，则a=(－1,1),b=(6,2),c=(－1,－3)，根据c=λa+μb得(－1,－3)=λ(－1,1)+μ(6,2)，即解得λ=－2,μ=－,所以答案：4第二十七页，共46页。【方法技巧】平面(píngmiàn)向量坐标的线性运算方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.第二十八页，共46页。【变式训练(xùnliàn)】已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A，B，C三点共线，则k=______.【解析】=(4-k,-7),=(-2k,-2).因为A，B，C三点共线，所以-2(4-k)-(-2k)(-7)=0，解得k=-.答案：-第二十九页，共46页。【补偿训练】设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，且求D点的坐标(zuòbiāo).【解题指南】设出D点坐标(zuòbiāo)，将向量用坐标(zuòbiāo)表示即可.第三十页，共46页。【解析(jiěxī)】设D(x,y)，因为A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，所以=(3，1)，=(1，-4)，=(x+1,y-2).又因为所以(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14).所以解得所以D(2,16).第三十一页，共46页。类型(lèixíng)二平面向量平行的坐标表示及其应用【典例2】(1)(2013·陕西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．－B.C.－或D.0第三十二页，共46页。(2)如图所示，已知点A(4,0),B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点(jiāodiǎn)P的坐标.第三十三页，共46页。【解题探究】1.题(1)中a∥b如何用坐标表示？2.题(2)中点O,P,B；A,P,C的关系(guānxì)分别是什么？【探究提示】1.表示为:1·2-m·m=02.分别是共线关系(guānxì).第三十四页，共46页。【自主(zìzhǔ)解答】(1)选C.因为a=(1,m),b=(m,2),且a∥b,所以1·2=m·m⇒m=±.(2)方法一：设P(x,y)，则=(x,y),=(4,4).因为共线，所以4x-4y=0.①第三十五页，共46页。又=(x-2,y-6),=(2,-6),且向量共线，所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成(zǔchénɡ)的方程组，得x=3,y=3，所以点P的坐标为(3，3).第三十六页，共46页。方法二：设=t(4,4)=(4t,4t),则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)，=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由共线(ɡònɡxiàn)的条件知(4t-4)·6-4t·(-2)=0，解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3),所以点P的坐标为(3，3).第三十七页，共46页。【延伸(yánshēn)探究】在本题(1)中，若向量a,b同向，则应该选哪个答案？【解析】选B.由本题(1)的解答可知,m=-或,当m=-时,b=-a反向；当m=时，b=a同向，故m=.第三十八页，共46页。【方法技巧】利用向量共线的条件求值的处理思路①是利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解(qiújiě)，②是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解(qiújiě).第三十九页，共46页。【变式训练(xùnliàn)】已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b与b共线,则实数n的值是()A.6B.9C.3+2D.3-2【解析】选B.2a-b=(2,6)－(3,n)=(－1,6－n)，因为2a-b与b共线，则-n-3(6-n)=0,解得n=9.第四十页，共46页。【补偿训练】已知向量(xiàngliàng)a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)，若向量(xiàngliàng)λa＋b与c共线，则实数λ的值为()A.-2B.-C.-1D.-【解析】选C.λa＋b=(λ+2,2λ)，又向量(xiàngliàng)λa＋b与c共线，则(λ+2)×(－2)－2λ=－4λ－4=0，解得λ=－1.第四