演示文稿一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计

演示文稿一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计当前第1页\共有33页\编于星期四\3点（优选）一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计当前第2页\共有33页\编于星期四\3点1.建立一级倒立摆数学模型

图1.一级倒立摆模型

注意：后面建立倒立摆数学模型过程中忽略了空气阻力和弹性形变等。当前第3页\共有33页\编于星期四\3点首先对摆杆进行受力分析，如图2所示。其中H表示摆杆受到的水平方向力，N表示摆杆所受的竖直方向的力，摆杆所受的旋转摩擦力矩用表示，则得到摆杆平面运动微分方程。

图2.摆杆受力分析图当前第4页\共有33页\编于星期四\3点（1）水平方向：摆杆质心的水平位移摆杆受到的水平方向力（2）竖直方向摆杆质心的竖直位移：摆杆受到的竖直方向力

（3）绕质心的转动

当前第5页\共有33页\编于星期四\3点根据以上方程可得消去H和N可得

由则得当前第6页\共有33页\编于星期四\3点根据系统最终的控制方式，给系统施加的控制量是车体的加速度，因此选择加速度为系统的输入，从而可得倒立摆系统的运动学方程：根据以上系统方程可以看出倒立摆模型是非线性的。为了应用线性系统理论，可在倒立摆平衡位置附近对系统进行线性化，取，令并忽略高次项，可得如下方程：

当前第7页\共有33页\编于星期四\3点可以用线性系统理论对倒立摆系统进行控制，选择状态变量x。则状态空间表达式可表示为：当前第8页\共有33页\编于星期四\3点倒立摆系统参数如下当前第9页\共有33页\编于星期四\3点代入数据计算得状态空间表达式：当前第10页\共有33页\编于星期四\3点2.倒立摆数学模型分析（1）稳定性分析根据特征方程的根来判断系统的稳定性，由计算得特征根为知系统是不稳定的。当前第11页\共有33页\编于星期四\3点（2）可控性分析由知系统是完全能控的，满足特征值可任意配置的极点配置定理。当前第12页\共有33页\编于星期四\3点（3）可观测性分析由可知系统完全能观，满足全维观测器极点配置条件。当前第13页\共有33页\编于星期四\3点3.状态反馈对于系统的状态方程状态反馈的基本结构为：K为状态反馈增益阵。当前第14页\共有33页\编于星期四\3点状态反馈闭环系统的状态空间表达式为：

状态反馈实际上是通过状态反馈增益阵K的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。反之，可以根据系统所要求的性能来确定闭环系统的特征值，进而确定K的值（对应于极点配置的内容）。当前第15页\共有33页\编于星期四\3点4.极点配置假设系统要求超调量不超过10%，调整时间为2s，根据公式

经计算取，可得系统特征方程为主导极点为当前第16页\共有33页\编于星期四\3点对于倒立摆系统，选取其余n-2=2个期望的闭环极点（选取的闭环极点应远离主导极点）。则取为因此得期望的闭环特征多项式为：

当前第17页\共有33页\编于星期四\3点对于原被控系统，引入反馈后闭环系统特征多项式为

比较可求得当前第18页\共有33页\编于星期四\3点解得则反馈增益阵为状态反馈通过调整K能任意配置闭环系统的极点，有效地改善系统的性能。同时，系统解耦、镇定、渐近跟踪以及最优控制等都离不开状态反馈。但状态反馈的前提条件是必须得到系统内部的各个状态变量，而系统的状态变量往往比较难获取，甚至是无法测量，因此需要设计状态观测器来重构系统的状态。当前第19页\共有33页\编于星期四\3点4.状态观测器设计状态观测器的定义：设系统的状态x不能直接检测，构造一个动态系统，以的输入u和输出y为输入量，能产生一组输出量渐进与x，使则称为的状态观测器。当前第20页\共有33页\编于星期四\3点状态观测器的方程为：虚线框为状态观测器，状态逼近的速度取决于G的选择和A-GC的配置。当前第21页\共有33页\编于星期四\3点倒立摆系统状态观测器的设计：根据观测器综合原则，可取期望的观测器特征值为-20，-20，，采用极点配置算法可计算得观测器增益矩阵G为计算当前第22页\共有33页\编于星期四\3点带状态观测器的状态反馈系统为当前第23页\共有33页\编于星期四\3点5.仿真分析基于全维状态观测器下的倒立摆控制系统仿真：当前第24页\共有33页\编于星期四\3点仿真结果当前第25页\共有33页\编于星期四\3点状态估计值与系统状态比较从仿真结果看，控制性能满足系统要求的性能指标。当前第26页\共有33页\编于星期四\3点全维观测器状态跟踪误差仿真结果：当前第27页\共有33页\编于星期四\3点降维观测器设计在实际工程实践中，系统的输出是能够测量的，因此可以考虑用输出量直接产生响应的部分状态变量，其余状态变量则通过构造观测器来实现，所构造的观测器为降维观测器。本实验的倒立摆系统采用P变换方法设计降维观测器。当前第28页\共有33页\编于星期四\3点（1）由rank(C)=2,对于C取如下非奇异阵P

则

（2）取期望的特征值为，则特征多项式为，解方程得当前第29页\共有33页\编于星期四\3点进一步计算

综合得到降维状态观测器为当前第30页\共有33页\编于星期四\3点基于