第二十六章 二次函数（单元重点综合测试）

第二十六章二次函数单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023秋·上海崇明·九年级校考阶段练习）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年级假期作业）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A． B． C． D．3．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023·上海·一模）二次函数图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．5．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（

）A．2 B． C．4 D．6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023·上海·九年级假期作业）二次函数的开口方向是．8．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线的对称轴是．9．（2023·上海·一模）抛物线与y轴交点的坐标为．10．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是．11．（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为．12．（2023·上海奉贤·统考二模）如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．13．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：．（填“”、“”或“”）14．（2023·上海·九年级假期作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为．15．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．16．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数，当时，函数y的最大值为．17．（2023·上海·九年级假期作业）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是．18．（2023·上海·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则；若，则m的取值范围是．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023·上海·九年级假期作业）用配方法把下列函数解析式化为的形式．(1)；(2)．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数的图象经过点．(1)求b的值；(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．21．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点．(1)试确定该二次函数的解析式；(2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由；(3)求的面积．22．（2023·上海·九年级假期作业）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．23．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…0123…y…m1n1p…(1)当时．①求这个二次函数的解析式；②当抛物线下降时，求x的取值范围；(2)如果m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．24．（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，其顶点为C．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)求的正切值；(3)点P在第一象限的抛物线上，且，求点P的坐标．25．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，连接，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．

(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接，求的值；(3)点在直线上，且，直接写出点的坐标．

第二十六章二次函数单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023秋·上海崇明·九年级校考阶段练习）抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的顶点坐标为：，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知抛物线的三种表示形式是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解．【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．3．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．【详解】解：当时，；当时，；当时，；∵二次函数的图象开口向上，∴，∴∴．故选：C．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．4．（2023·上海·一模）二次函数图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．【详解】解：由图可知：抛物线开口向下，，故A错误，不符合题意；抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故C错误，不符合题意；对称轴为直线，，即，故D正确，符合题意；，，，故B错误，不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．5．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令，则和，解得或或或，不妨设，∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，

∴与原点关于点对称，∴，∴或（舍去），∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为(

)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由图象可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则图象与轴的交点为正半轴，则，由此可知，故①错误，由图象可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，计算出函数图象与轴的另一交点为设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为，变形为：有两个相等的实数根，，则，将，，代入得：，因为，则，则，结合以上结论可判断正确的项．【详解】解：由图象可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则故②正确，图象与轴的交点为正半轴，，则，故①正确，由图象可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，由图象可知函数与轴交点为，对称轴为将，故函数图象与轴的另一交点为，设函数解析式为：，将交点坐标代入得：，故化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确，变形为：有两个相等的实数根，则，将，，代入得：，因为，则，则，，故④不正确则①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023·上海·九年级假期作业）二次函数的开口方向是．【答案】向上【分析】根据函数解析式中a的值直接解答．【详解】解：∵，∴图象开口方向是向上，故答案为：向上．【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．8．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线的对称轴是．【答案】直线【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，故答案为：直线．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．9．（2023·上海·一模）抛物线与y轴交点的坐标为．【答案】【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点．【详解】解：当时，抛物线与轴相交，把代入，求得，抛物线与轴的交点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．（2023春·上海普陀·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是．【答案】【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．【详解】解：∵的对称轴为直线，关于的对称点为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．11．（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为．【答案】【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，∴与之间的函数关系式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．12．（2023·上海奉贤·统考二模）如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．【答案】【分析】根据二次函数平移前后的形状和开口方向不变，即二次项系数不变进行求解即可．【详解】解：∵平移后的二次函数解析式为，∴原二次函数解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．13．（2023秋·上海普陀·九年级校考阶段练习）已知点、都在二次函数的图象上，那么、的大小关系是：．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】先分别求出的值，再进行比较即可得到答案．【详解】解：点、都在二次函数的图象上，当时，，当时，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，是解题的关键．14．（2023·上海·九年级假期作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为．【答案】【分析】由题意令，得到的值即为水管的长．【详解】解：在中，令，得，水管的长为故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值．15．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数，当时，函数y的最大值为．【答案】5【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴是：，∵，∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，由图象可知：在内，时，y有最大值，，∴函数y的最大值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．17．（2023·上海·九年级假期作业）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是．【答案】【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为，则，利用勾股定理结合得到，解得，则，可设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出．【详解】解：在中，令，则，∴，在中，令，则，解得或，∴，∴，设点D的坐标为，则∴，∵，∴，解得，∴，∵抛物线经过A、B，∴可设抛物线的解析式为，∴，解得，∴抛物线的解析式为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求出点D的坐标是解题的关键．18．（2023·上海·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则；若，则m的取值范围是．【答案】或【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，①∵，∴点P、Q关于对称轴对称，∴，解得；②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，∴与关于对称轴对称，当对称轴在y轴右侧时，，∵，∴，且，解得；当对称轴在y轴左侧时，，此时，P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，∵，∴，解得；∴综上，m的取值范围是或．故答案为：；或．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023·上海·九年级假期作业）用配方法把下列函数解析式化为的形式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方公式的特点结合配方法的步骤进行计算即可；（2）利用完全平方公式的特点结合配方法的步骤进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数化为顶点式，掌握配方法分步骤以及配方得：是解本题的关键．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数的图象经过点．(1)求b的值；(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入二次函数解析式即可求出b的值；（2）根据轴对称的性质可得抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴把点代入得，解得：；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为，∵抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴所得抛物线解析式为，即．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．21．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点．(1)试确定该二次函数的解析式；(2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由；(3)求的面积．【答案】(1)(2)在，理由见解析(3)6【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）将代入解析式，得，即可得出结论；（3）令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）设二次函数为，把，、，、，代入二次函数解析式，得：，解得．∴二次函数的解析式为：；（2）把代入解析式，可得：，所以点，在函数图象上．（3）当，，解得：，∴，又，，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（2023·上海·九年级假期作业）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【答案】(1)；(2)时有最大值．【分析】（1）根据矩形的面积公式直接列得函数解析式；（2）将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质得到最大值．【详解】（1）∵边长为m，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴边长为，∴；（2）函数化为顶点式，即得，可知时，有最大值．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．23．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考阶段练习）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…0123…y…m1n1p…(1)当时．①求这个二次函数的解析式；②当抛物线下降时，求x的取值范围；(2)如果m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．【答案】(1)①；②当时，y随x的增大而减小；(2)【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得．【详解】（1）解：①由题意得，解得，∴二次函数的表达式是；②∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小；（2）∵和时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线，∴是顶点，和关于对称轴对称，若在m,n,p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，∵，∴，∴二次函数为，∴，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出是解题的关键．24．（2023·上海浦东新·校考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，其顶点为C．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)求的正切值；(3)点P在第一象限的抛物线上，且，求点P的坐标．【答案】(1)