高数重点知识

1/1第一讲极限、无穷小与连续性xx=f(x))n+1n②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限)．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．imxAlimyBABNnNxyn)wn)wnn)wn)wn)wn)wnn)wn)wn)n)w使得当n＞N时有x＞0．设limx=A，且存在自然数N，当n＞N时有x≥0，则A≥0．n)wnnn)w0x)x00x)x0δ＞0，使得当0<x一x＜δ有f(x)＞g(x)．设limf(x)=A，limg(x)=B，且存在δ＞000x)x000，使得当0＜|x－x|＜δ时f(x)≥g(x)，则A≥B．02．有界或局部有界性性质设limx=A，则数列{x}有界，即存在M＞0，使得|x|≤M(n=1，2，3，…)．n)wnnn)wM00x)x0使得当0＜|x－x|＜δ时有|f(x)|≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．00x)x0x)x00xx)x00limf(x)g(x)=AB；limf(x)=A(B士0)．x)x0x)x0g(x)B0x)xx)x0wwlimf(x)=w，limg(x)=B，则lim[f(x)士g(x)]=w.limf(x)=w(g(x)士0)又B≠0，x)x0x)x0x)x0x)x0g(x)0000x)x0设limf(x)=w，当x→x时|g(x)|局部有正下界，(即δ＞0，b＞0使得0＜|00x)x0x－x|＜δ时|g(x)|≥b＞0)，则lim[f(x)g(x)]=w．00x)x00x)x0000x)xx)000x－x|＜δ时f(x)g(x)＞0，则lim[f(x)+g(x)]=w．x)x)x04°设limf(x)=0，x→x时g(x)局部有界，则lim(f(x)g(x))=0(无穷小量与0000x)x0002．幂指函数的极限及其推广limfxAlimgxBlimfxgx=AB．000x)xx)00000x)x000x)x00x)x00000x)xl+w(B<0)limx)xl+w(B<0)0x)xx)xx)xl+w(A>1)x)xx)xx)xl+w(A>1)000w用相消法求或用相消法求或型极限w利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形，分别求limx与limx的情形n)+w2n-1n)+w2n1．无穷小、极限、无穷大及其联系(1)无穷小与无穷大的定义(2)极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系limaxfxAo(1)，x)x).0x)x00o(1)表示无穷小量．1在同一个极限过程中，u是无穷小量(u≠0)是无穷大量．反之若u是无穷大量，u1则是无穷小量．u2．无穷小阶的概念(1)定义同一极限过程中，(x)，(x)为无穷小，ax)=o(b(x))(极限过程)限过程中(x)，(x)均为无穷小，(x)为基本无穷小，若存在正数k在正数k与常数l使得lim=l丰0称(x)是(x)的k阶无穷小，特别有lim=l丰0x)x(x-x)k000(x)是(x－x)的k阶无穷小．0(2)重要的等价无穷小12(3)等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中2°~=+o()03°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换0性概念(1)连续的定义：函数f(x)满足limf(x)=f(x)，则称f(x)在点x=x处连续；f(x)满足x)x000limf(x)=f(x)(或limf(x)=f(x))，则称f(x)在x=x处右(或左)连续．x)x+x)x+x)x-00若f(x)在(a，b)内每一点连续，则称f(x)在(a，b)内连续；若f(x)在(a，b)内连续，且在x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称f(x)在[a，b]上连续．(2)单双侧连续性f(x)在x=x处连续0(3)间断点的分类：f(x)在x=x处既左连续，又右连续．0设f(x)在点x=x的某一空心邻域内有定义，且x是f(x)的间断点．00若f(x)在点x=x处的左、右极限f(x－0)与f(x+0)存在并相等，但不等于000函数值f(x)或f(x)在x无定义，则称点x是可去间断点；若f(x)在点x=x处的0000左、右极限f(x－0)与f(x+0)存在但不等，则称点x是跳跃间断点：它们统称为第000若f(x)在点x=x处的左、右极限f(x－0)与f(x+0)至少有一个不存在，则00002．函数连续性与间断点类型的判断：若f(x)为初等函数，则f(x)在其定义域区间D上连续，即当开区间(a，b)D，则f(x)在(a，b)内连续；当闭区间[c，d]D，则f(x)在[c，d]上连续．若f(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算，反函数运算与复合运算)来判断．当f(x)为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分判断f(x)的间断点的类型，就是求极限limf(x)．00最大值和最小值定理：设f(x)在闭区间[a，b]上连续，则存在ξ和η[a，b]，使得有界性定理：设f(x)在闭区间[a，b]上连续，则存在M＞0，使得|f(x)|≤M，(a≤x≤b)介值定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任意一个数c，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=cb)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0xab和最大值，若m＜M，则f(x)在[a，b]上的值域为[m，M]．第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用这部分的重点是②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括：初等函数，幂指数③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率．．1．可导与可微的定义及其联系||||||f,(x)x=Q(y)0limf(x)-f(x0)=x)xx-x00f(x+Ax)-f(x)000limf(x0+Ax)-f(x0)=f,(x)Ax)0Ax0000J000Jf(x)在x=x的微分f(x)=AAx=f,(x)Ax=f,(x)dxfxxxx00f(x))处切线的斜f,(x)是曲线y=f(x)在点(f(x))处切线的斜0该切线上纵坐标的df(x)=f,(x)Ax是相应于x该切线上纵坐标的0x=x00003．单侧导数与双侧导数f(x)在x=x可导一f'x)，f'(x)均存在且相等．0+0-0此时f,(x)=f'(x)=f'(x)f'()=lm0f(x0A)-f(x0)，f'(x)=limf(x0+Ax)-f(x0).+0Ax)0+Ax-0Ax)0-Ax求导法xyyxyy且() (dx)设函数f(x)在[a，b]上连续，则F(x)=jxf(t)dt在[a，b]上可导，且aF(x)=f(x)，(a≤x≤b)v(x)F(x)=f(u(x))u(x)一f(v(x))u(x)，(a≤x≤b)分段函数求导法Vabxfx导．“因f(3)=2x+一x=3x=3ffa由连续性+一f=f(3－0)即9=3a+b，b=－9”x=3必须先由连续性定出3a+b=9，在此条件下就可得f(3)=a一(eax+b)(n)=aneax+b(sin(ax+b))(n)=ansin(ax+b+nπ)2bn2第三讲一元函数积分学一、知识网络图①不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质．②两个基本公式：牛顿—莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式．计算．定积分的概念及性质：(1)定义．若F(x)的导函数F(x)f(x)在某区间上成立，则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx． (2)原函数与不定积分的关系．若已知F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)dxF(x)(3)求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即(f(x)dx)f(x)或df(x)dxf(x)dx(4)不定积分的基本性质：kfxdxkfx)dx(常数k0)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx(1)定义．设ax＜x＜x＜…＜xb，令xxx，max{x}，若对任何012niii11iniii1i0iii1在bf(x)dxlimnf()xa0iii1aaaaab(2)可积性条件．可积的必要条件：若f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上有界．可积函数类(可积的充分但非必要的条件)：1°f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积；2°f(x)在[a，b]上有界且仅有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积．(3)定积分的几何意义：a特别，若f(x)在[a，b]上连续且非负，则jbf(x)dx表示x轴，曲线y=f(x)以及a(4)定积分有以下性质：aaa2°对积分区间的可加性：若f(x)在由a、b、c三数构成的最大区间上可积，则aac3°改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值．fxgxabfxg(x)在[a，b]上成立，则aa进一步又有：若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且f(x)≤g(x)，f(x)=g(x)aaaaa3．变限积分，原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式：(1)变限积分的连续性：若函数f(x)在[a，b]上可积，则函数Φ(x)=jxf(t)dt在a(2)变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，则函数a(3)不定积分与变限积分的关系．由原函数存在定理可得．若f(x)在[a，b]上连jfxdxjxftdt+C，其中x[a，b]为一个定值，C为任意00x0(4)牛顿—莱布尼兹公式：设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的任一aaaa推广形式：设函数f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)在(a，b)内的一个原函(5)初等函数的原函数4．周期函数与奇偶函数的积分性质：(1)周期函数的积分性质：fxTjaTf(x)dx=jTf(x)dx(a为a0任意实数)2°jxf(t)dt以T为周期一jTf(x)dx=003°jf(x)dx(即f(x)的全体原函数)为T周期的一jTf(x)dx=00(1)若limjAf(x)dx3，称j+wf(x)dx收敛，并记A)+waaj+wf(x)dx=limjAf(x)dx否则称j+wf(x)dx发散．aA)+waa若limjbf(x)dx3，称jbf(x)dx收敛，并记B)_wB_wjbf(x)dx=limjbf(x)dx否则称jbf(x)dx发散．_wB)_wB_w若jaf(x)dx，j+wf(x)dx均收敛，称j+wf(x)dx收敛_wa_w_w_wa_w称jbf(x)dx收敛，并记ac)0+a+caa若jcf(x)dx，jbf(x)dx均收敛，称jbf(x)dx收敛．且acabfxdxjcfxdxjbfxdxjbfxdxaaca(3)几个重要的反常积分．ax入l发散(入≤1)0aa(x_a)入l发散(入≥1)2_的的几何应用2.一元函数积分学的物理应用(数一，数二)第四讲一元函数微分学中的基本定理及其应用①罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用．④利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数，证明函数不等式等．费马定理：设f(x)在x=x取极值，f,(x)存在f,(x)=0000罗尔定理：设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，且1．函数为常数的条件与函数恒等式的证明2．函数的单调性与极值点(1)函数的单调性的充要判别法．设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，则2°在(a，b)的V子区间上f(x)0．(2)函数取极值的充分判别法．设f(x)在x=x连续，在(x6，x+6\){x}可导，当x(x6，x)时000000f(x)＞0(＜0)．x(x，x+6)时f(x)＜0(＞0)，则x=x是f(x)的极大(小)值点．000设f(x)=0，f(x)＞0(＜0)，则x=x是f(x)的极小(大)值点．0003．函数的凹凸性与拐点(1)函数的凹凸性的充要判别法．设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(x)在[a，b]是凸(凹)的：00000(曲线y=f(x)(a＜x＜b)在V点处的切线除该点外总在曲线的上方(下方))．一f(x)在(a，b)是单调减(增)函数．≤0(≥0)，x(a，b)，又在(a，b)的V子区间上f(x)0．(2)拐点的充分判别法与必要条件．设f(x)在x邻域连续，在x=x两侧凹凸性相反，称(x，f(x))是曲线y=f0000(x)的拐点．充分判别法1°设f(x)在x=x邻域连续，在x=x空心邻域二阶可导，且f(x)在x=x两000侧变号，则(x，f(x))为y=f(x)的拐点．002°f(x)=0，f(3)(x)0，则(x，f(x))为y=f(x)的拐点．000必要条件设(x，f(x))为y=f(x)的拐点，则f(x)=0或f(x)不存在．000第五讲泰勒公式及其应用n!n!二、重点考核点0会用泰勒公式求某些0型板限，并确定无穷小的阶，会用泰勒公式证明某些不等式并会用适当阶数的泰勒公式解决与某阶导数中间值有关的命题．设f(x)在x=x处有n阶导数，则0其中T()f(xn)f其中T()f(xn)f(x0)(xx)f(n)(x0)(xx)n，n01!0n!0R(x)0((xx)n01!0n!0n00设f(x)在含x=x的区间(a，b)内有n+1阶导数，在[a，b]有连续的n阶导数，0则对x[a，b]，f(x)T(x)＋R(x)，其中T(x)f(x)nf(x)(xx)f(n)(x0)(xx)n，f(n1)()(x0x)n1n!0n(n1)!0，000x=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式．03．五个基本初等函数的麦克劳林公式：xx2xxx2n1!2!n(n1)!(1)n1n1!2!n(n1)!(1)n1x2n1R(x)(2n1)!2nnsinxxx3x5n3!5!R(x)=o(x2n)(x0)，2nRxncosxxn(＜x＜2!4!(2n)!2n+1cosxxxn2!4!(2n)!2n+1R(x)=o(x2n+1)(x0)，2n+12n+1(2n+2)!2n+1(2n+2)!ln(1+x)=xx2+x3+…+(1)n1xn+R(x)23nnR(x)=o(xn)(x0)nnxnn+1(1+9x)n+1(1+x)a=1+ax+a(a1)x2+…+a(a1)…(an+1)xn+R(x)．1!2!n!nR(x)=o(xn)(x0)，nR(x)=a(a1)…(an)(1+9x)an1xn+1(1＜x＜1)n(n+1)!这五个公式是求其他初等函数泰勒公式的基础，应当牢记并会写出它们的余项．1、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法2．带拉格朗日余项的泰勒公式的求法1．带皮亚诺余项的泰勒公式的应用2．带拉格朗日余项的泰勒公式的应用第七讲常微分方程②掌握列方程的常用方法．根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件．性质．④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用．(注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍)微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程，称为微分方程．当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程．微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程则称方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解．定解条件，通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件．y(x)=y，y(x)=y，y(x)=y，…，y(n1)(x)=y，0001020n1其中x，y，y，y，…，y都是给定的常数．0012n－1求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题．(1)变量可分离方程变量可分离方程的常见形式是dy=f(x)g(y)，dxg(y)g(y)g(y)g(y)若存在y使g(y)=0，直接验算可知常值函数y=y也是原方程的一个解．更一般的变量可分离方程是M(x)更一般的变量可分离方程是M(x)P(y)dx+N(x)Q(y)dy=0．当N(x)P(y)0时，经分离变量，方程可改写成Q(y)若y是函数P(y)的一个零点，则y=y也是方程的一个解．如果不限定自变量是x，未00知函数是y，且x是函数N(x)的一个零点，则常值函数x=x也是方程的一个解．在求解00变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解．如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来．(2)齐次微分方程齐次微分方程的标准形式是dy=f(y)，作变换u=y一y=ux,由于dy=udx+xdu，dxxx代入方程可得u+xdu=f(u)一xdu=f(u)u，这是关于u与x的可分离变量方程．dxdx00(3)一阶线性微分方程一阶线性方程的标准形式是y,+P(x)y=Q(x)，其中P(x)与Q(x)是已知函数．当Qx通解公式中的第二项e一jp(x)dxjQ(x)ejp(x)dxdx是非齐次线性方程的一个特解．一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点．除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解．即用函数ejp(x)dx(称为方程的积分因子)同乘方程两端，按乘积的导数公式有(yejp(x)dx),=Q(x)ejp(x)dx，两端再积项后就得出了通解公式．右端项f(x)是已知函数．当f(x)三0时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的．二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若y是方程L[y]=f(x)的一个解，y1112是方程L[y]=f(x)的一个解，A，B是两个常数，则Ay+By就是方程22122二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程L[y]=f(x)的通解是y=Cy+Cy+y*．112212121212方线线性无关二解特征根212(2)非齐次方程一个特解的求法：当f(x)是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时，可根据f(x)的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解．若f(x)=P(x)erx，其中P(x)是mmm12222Q(x)erxmxQ(x)erxmx2Q(x)erxmf(x)P(x)erxmP(x)erxmP(x)erxmmmf(x)=erx(Mcosx+Nsinx)，其中M，N，r，ω都是实数，且ω＞0．特解的取法如且r=0的特殊情形即可．另外，无论系数M与N中是否有等于零的，在特解y*中仍应当假一、利用定积分的几何意义列方程二、利用导数的几何意义列方程五、利用牛顿第二定律列方程(数一，数二)六、利用微元法列方程(数一，数二)第八讲多元函数微分学数，隐函数，变量替换下方程的变形及初等函数等)．题)．③几何应用(求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面)(只对数一)④求方向导数和梯度(只对数一)．这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数．xyyxf(x,y)．这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关，它成立的条件是这些混合偏导yx00数连续．对一般的n(n≥2)元函数的m(m≥2)阶连续混合偏导数相应的结果也成立．必须熟练掌握多元复合函数求导的链锁法则和一阶全微分的形式不变性．?z?f??f??z?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y上述公式称为链锁法则(或链式法则)，对各种其它形式的多元复合函数也可得到类似可微，则有全微分公式dz=fdu+fdvuud)利用一阶全微分的形式不变性以及全微分的四则运算法则d)vv2第九讲二重积分①掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算及分块积分法和简化计算机的若干方法．Dy)d(defy)d(def0iii0iid编(的直径,而d=max{d}.(飞,n)是在小块编(中任取的点(i=1，2，...，n)．i