【例题讲解】平面基本性质的应用

α分析：推论2B∈AB,C∈AC直线AB、BC、CA共面BACB∈α,C∈α,BC⊂α线线相交线线共面直线AB、AC相交确定平面α例.求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.  已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C.求证:直线AB、BC、CA共面.平面基本性质的应用αBAC证明：∵ 直线AB和AC相交于点A∴

直线AB和AC确定一个平面α(推论2)∵

B∈AB,C∈AC∴

BC⊂α∴

直线AB、BC、CA共面αBAC核心思路:通过直线AB和AC相交于点A证明了直线AB和AC共面，由题目条件知，直线BC也在该平面内.例.求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.  已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C.求证:直线AB、BC、CA共面.平面基本性质的应用分析：a//b确定平面αAB⊂α，AC⊂αa,b及直线AB，AC共面CaBAbα线线平行线线共面推论3A∈a，

B∈b，

C∈b例.a//b，

A∈a，B∈b，

C∈b. 求证：a，b及直线AB，AC共面.平面基本性质的应用证明：∵

a//b∴

a，b确定一个平面α

∵

A∈a，

B∈b，C∈b∴

A∈α，B∈α，C∈α

∴直线AB⊂α，直线AC⊂α∴

a，b，AB，AC共面核心思路:通过a//b ，证明了直线a和b共面，由题目条件知，直线AB和AC也在该平面内.CaBAbα例.a//b，

A∈a，

B∈b，

C∈b. 求证：a，b及直线AB，AC共面.平面基本性质的应用αβαβabcdABC分析：确定平面βa//b确定平面αb//c证明平面α和平面β重合线线平行推论3线线共面例.一条直线和三条平行线都相交，求证：这四条直线共面.

已知：a//b

//c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C.求证：a、b、c、d共面.平面基本性质的应用证明：∵a//b∴

直线a与b确定一个平面，设为α∵d∩a=A，d∩b=B∴

A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α而A∈d，B∈d由基本事实1可知：d⊂α∵b//c∴直线b与c确定一个平面、设为β同理可知d⊂β∴平面α和平面β都包含直线b与d，且d∩b=B由推论2可知平面α和平面β重合∴直线a、b、c和d共面αβαβabcdABC核心思路:通过a∥b，b∥c证明了直线a和直线b共面、直线b和直线c共面.由题目条件知，两平面重合.其中关键是证明两个平面重合.例.一条直线和三条平行线都相交，求证：这四条直线共面.

已知：a//b

//c,a∩d=A,b∩d=B,c∩d=C.求证：a、b、c、d共面.平面基本性质的应用证明若干点、直线共面的常用方法：先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合.现有部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内.方法小结平面基本性质的应用分析：a//b构造辅助平面β创造了新的线面关系运用基本事实2直线b与平面α必有一个公共点αβabA线线平行推论3线线共面例.已知直线a//b，直线a与平面α相交于点A，求证：直线b与平面α必有一个公共点.平面基本性质的应用证明：∵ a//b

∴ 可设直线a、b确定一个平面β又∵

a∩α=A且a⊂β∴

A∈β由基本事实2可知，α∩β＝c, 即有a、b、c⊂β在平面β内，∵

a//b，a∩c=A

∴

b与c必相交于一点，设为B又∵

c⊂α∴

B∈α，∴

b与α有一个公共点BαβabABc核心思路:解决直线与平面的交点问题，首先要通过题目条件确定一个新的平面β，再通过基本事实2，α∩