2023年初高中数学衔接知识点及习题

数学亲爱的2023届平冈学子：ﻩ恭喜你进入平冈中学!你们是高中生了，做好了充足的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力,认真做题,善于总结归纳，持之以恒,相信你一定能成功。ﻩ从２02３年开始,广东省高考数学试题使用全国I卷,纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提高。打铁还需自身硬,因此,让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的爱好。你们一定要运用好暑假，做好充足的准备工作。这里给大家几个学数学的建议:2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达成：能从反面入手进一步理解对的东西；能由果朔因把错误因素弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。3、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达成了自动化或半自动化的纯熟限度。4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。5、阅读数学课外书籍与报刊,参与数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题,加大自学力度，拓展自己的知识面。７、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。8、经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否尚有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。９、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位,通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。初高中数学衔接呼应版块1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“１”的涉及不多,并且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。３.二次根式中对分子、分母有理化初中不作规定，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4．初中教材对二次函数规定较低,学生处在了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作规定,此类题目仅限于简朴常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程互相转化被视为重要内容，6．图像的对称、平移变换,初中只作简朴介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。７．具有参数的函数、方程、不等式,初中不作规定，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考察常成为高考综合题。8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。9．角度问题，三角函数问题。在初中只涉及36０°范围内的角,而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。10.高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。此外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目录1.１数与式的运算1.1.1绝对值1.1．2.乘法公式１.１.3．二次根式1.１.４．分式1．2分解因式2．１一元二次方程2．1．1根的判别式２.１.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数２．2.1二次函数ｙ=ax2＋bｘ＋c的图像和性质２.２.2二次函数的三种表达方式2.２.3二次函数的简朴应用2.3方程与不等式２．３.１二元二次方程组解法２.3．2一元二次不等式解法1.1数与式的运算1.1．1．绝对值一、概念:绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的自身,负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表达它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义:表达在数轴上,数和数之间的距离．二、典型例题： 例1解不等式：ﻩ解法一:由,得;①若,不等式可变为，即,得,又x＜1,∴x＜-3;②若，不等式可变为，即又∴综上所述，原不等式的解为或。1Ax-3CxP|x－1|图1．1－1D5解法二：如图1．１-１，表达x轴上坐标为x1Ax-3CxP|x－1|图1．1－1D5所以的几何意义即为|PA|＞４．可知点P在点Ｃ(坐标为-3)的左侧、或点P在点Ｄ（坐标5）的右侧. ∴或。练习A1．填空:(1）若,则x=＿________；若，则ｘ=___＿__＿＿_.（２）假如,且，则b＝________;若,则c＝_＿____＿_.２．选择题:下列叙述对的的是（)（A）若,则（B）若,则(C)若,则(D）若,则练习B3.解不等式:4、化简:|x-5|－|2x－13|（ｘ＞５).1.1.2.乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1）平方差公式;(2)完全平方公式.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:（1）立方和公式;必须记住(２)立方差公式;必须记住(3)三数和平方公式；(4)两数和立方公式；(5)两数差立方公式．对上面列出的五个公式,有爱好的同学可以自己去证明.二、典型例题例１计算：.解法一：原式===.解法二：原式==＝.例2已知,,求的值.解:．练习A1．填空:（1）（）;(2);(3）.2.选择题:（１）若是一个完全平方式，则等于（）(A)(B)(C)(Ｄ）（2)不管,为什么实数，的值(）（A)总是正数(B)总是负数(Ｃ)可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.１.3.二次根式一、概念:一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下具有字母、且不可以开得尽方的式子称为无理式.例如,等是无理式，而,，等是有理式.1.分母（子）有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子）有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个具有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不具有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如与,与，与，与，等等.一般地，与,与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式，然后通过度母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．二次根式的意义二、典型例题例１将下列式子化为最简二次根式:(1);(2）；（3)．解:(1）;(2);(3).例2计算：.解法一:＝＝===．解法二:===＝=．例3试比较下列各组数的大小:（1)和；(2)和.解：(1）∵,，又，∴＜．(2)∵又4>２eｑ\r(2)，∴eq\r（6)＋4＞eq＼r(6)＋2ｅｑ＼r(２),∴<.例4化简:．解：＝＝=＝.例5化简:（1)；（2).解:(1）原式=.（2)原式=，∵，∴，所以，原式=．练习A1．填空:(１)＝_____；(2)若，则的取值范围是_____；（3）_＿___；(4）若，则_______＿．ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩ(提醒先简化后代入)２．选择题:等式成立的条件是（)(Ａ)(B）(C)（D）练习Ｂ3.若,求的值.４.比较大小:2－eq\r(3)eq\ｒ(5）－eq＼r(4)(填“＞”，或“＜”)．1.1．4.分式一、概念：１.分式的意义形如的式子,若B中具有字母,且,则称为分式．当Ｍ≠0时，分式具有下列性质：；.上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式像,这样,分子或分母中又具有分式的分式叫做繁分式．二、典型例题：例１若,求常数的值．解:∵，∴解得.例2(1)试证:(其中n是正整数）；（2）计算：;．(1）证明:∵，∴（其中n是正整数）成立.（２）解:由(1）可知＝．(3）证明：∵＝=,又n≥2,且n是正整数，∴eq\f(１,n＋1)一定为正数，∴＜eq\f(1,2).例３设，且e＞1，2c2-5ａc+2a2＝0,求e的值．解:在2c２－5ac+2a2=0两边同除以ａ2，得2e2-5e＋2＝0,∴(2e-１)（e－2）=０，∴e＝ｅq\ｆ(１,2）<1,舍去;或e=２．∴e=2．练习A1.填空题：对任意的正整数ｎ,();２.选择题：若，则＝()(A)１(Ｂ）(C）（D)3.正数满足，求的值．４.计算．习题１．１A组１．解不等式:2．已知,求的值.３.填空：(1）＝_＿__________＿__＿___；(2)若,则的取值范围是__＿____＿_＿__＿＿___＿__;（3）___＿___＿＿_____＿＿____.４.填空:,，则__＿_＿__＿_＿___＿___＿;５.已知：,求的值.B组1.选择题：(1）若，则(）(A）（B）（C）（D）（２）计算等于()（Ａ）(B)（C）(D)２．计算:.１.2分解因式一、复习引申:因式分解的重要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,此外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：(1）x2-3x+２；(2)x２+4x-１2；（３）；(4）．解：（1）如图1．２-1，将二次项ｘ2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成-1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-３x，就是x2-3x+2中的一次项,所以,有ｘ２-３x＋2＝(x－1)（ｘ-２)．－1－1－2xx图1．2－1－1－211图1．2－2－2611图1．2－3－ay－byxx图1．2－4－11xy图1．2－5说明：此后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图１.2－１中的两个x用１来表达(如图1．２-2所示）．（2)由图１．２-３，得x2+４x-12=(ｘ－2)(ｘ＋6）．(3）由图1．2－4,得＝(4)＝ｘy+(x－y)-1=(x－1)（y+１)(如图1．2-５所示）．２.提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1)；(2).解:(1)===．或=＝=＝=.二次项一次项常数项（２）＝x+y2x-y2x+y2x-y2-3=.3．关于ｘ的二次三项式ax２+bｘ+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程的两个实数根是、,则二次三项式就可分解为.例3把下列关于x的二次多项式分解因式:(1);(2）．解:(1）令＝0，则解得，,∴＝=.(2）令=０,则解得，,∴＝．二、练习Ａ１.选择题:多项式的一个因式为(）（A）（B)(C）(D）２．分解因式:(1)x2＋6ｘ+8；（2)8a3－b3;(3）x2-2x-１；（4）.练习B组１．分解因式：（1）；（２）；(3）；2．在实数范围内因式分解：（1）；（２）；（3）；3.分解因式：x2＋x－(a2－ａ).2.１一元二次方程2.１.1根的判别式一、概念：我们知道,对于一元二次方程ａx2+bx＋c＝0(a≠0）,用配方法可以将其变形为.①由于ａ≠0，所以,４a2＞0．于是(1）当ｂ2－4ac>０时,方程①的右端是一个正数，因此,原方程有两个不相等的实数根x１，２=;(2)当b2-４aｃ＝0时，方程①的右端为零,因此,原方程有两个相等的实数根x１=x2＝－；（３)当ｂ2-4ac＜0时,方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b２－4ac来鉴定,我们把ｂ2－4ac叫做一元二次方程aｘ2+bx＋c=0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表达．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx+ｃ＝0(ａ≠0)，有当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝;(2)当Δ＝０时，方程有两个相等的实数根x1＝x２＝-;(3）当Δ<０时，方程没有实数根.二、典型例题：例1鉴定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),假如方程有实数根，写出方程的实数根.(1）x２-3x＋3=０；（2）x2-ax－1＝0;（3)ｘ２－ax+(ａ-1)=0;(4）ｘ2-２x+ａ=０.解:（１)∵Δ＝３2－4×1×3＝－３＜０,∴方程没有实数根．（２）该方程的根的判别式Δ＝a２-4×１×(－1）＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根，.(３）由于该方程的根的判别式为Δ=a２－4×1×（a-１)＝a２－4a+4＝(a-2)2,所以,ﻩ①当a=2时,Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1=x2＝１； ②当ａ≠2时，Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a-1.(4）由于该方程的根的判别式为Δ=22-4×１×a=4－４ａ＝４（1－a),所以①当Δ＞0,即４（1－a)>０,即a<1时，方程有两个不相等的实数根,；ﻩ②当Δ=０,即ａ=1时，方程有两个相等的实数根x１＝ｘ２=1； ③当Δ<0，即a>1时，方程没有实数根.说明:在第３,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是,在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在此后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系(韦达定理)一、概念:1、若一元二次方程ａx2+ｂｘ＋ｃ＝0（a≠0）有两个实数根,,则有ﻩ；. 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 假如ax２＋bx＋ｃ=0(ａ≠０)的两根分别是x１，x2,那么ｘ1＋x2＝,x１·x2＝.这一关系也被称为韦达定理．ﻩ2、特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x２+px+q=0，若ｘ1，x2是其两根,由韦达定理可知ｘ1＋x2=-p，x１·x2=q， 即p＝－（x１+x2),q＝x1·ｘ2,ﻩ所以,方程x2＋pｘ+q＝0可化为x2-(x1+ｘ2)ｘ＋x1·ｘ２=0，由于ｘ1，ｘ2是一元二次方程x2＋ｐx+q=0的两根,所以,x1，ｘ2也是一元二次方程x２-(x１+x2)x+x1·x2＝０的两根,因此有以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为１）是x２－（ｘ1＋x２)x+x1·x２＝0．二、典型例题：例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及ｋ的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值,再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以运用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以运用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一:∵2是方程的一个根,∴５×22+k×2-６=０，∴k＝-7.所以,方程就为５x2-7x-6＝0,解得x1=2，x2＝－．所以,方程的另一个根为-，k的值为－7.解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，∴x１=-.由（-）+2=－，得k=-7.所以，方程的另一个根为-,k的值为－7．例3已知关于x的方程ｘ2＋2(m－2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大２1，求m的值.分析:ﻩ本题可以运用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程,从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理,得x1＋x2=－2(m-2),x1·x2＝m2＋4．∵x１2＋x22-x1·x2＝２1,∴(x1＋x2）2-3x1·x2＝２1,即[－2(ｍ-2)]2－３(m2+4)＝21，化简，得ｍ２－１6m-1７＝０,解得ｍ=-１，或m＝17.当m=-1时，方程为x2＋６x＋５=0,Δ>0，满足题意；当m=17时，方程为x2+3０x+２93＝０,Δ＝302-4×1×293<0，不合题意,舍去.综上，m＝-1．说明：（1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所相应的m的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大2１”求出m的值，取满足条件的m的值即可．(★）在此后的解题过程中,假如用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．由于，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4已知两个数的和为4，积为-12，求这两个数.分析:我们可以设出这两个数分别为x,ｙ，运用二元方程求解出这两个数.也可以运用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一:设这两个数分别是x,y,则ｘ＋y=4，①xy=－12．②由①，得y=4-ｘ，代入②，得x(４-x)=-12，即ｘ2－4ｘ-12＝0,∴x１=－2,x2＝6.∴或因此,这两个数是-2和6．解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程,得x１=－2,x2＝6． 所以，这两个数是-2和6. 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接运用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例5若ｘ1和x２分别是一元二次方程2ｘ２+５x-3=0的两根． （1)求｜x1-x2｜的值;(2）求的值；(3）ｘ１３+ｘ23.ﻩ解：∵x１和ｘ２分别是一元二次方程２ｘ2＋５x-3＝０的两根，∴,． （１)∵|x１－x２|２＝x1２+ｘ22-２x1x２＝（x1+x２)2－4ｘ1x2=＝+6=,∴|x1-x2｜=． (2）． （3)x1３+x23＝（x1+x2）(x12－x１x2+x22）=(x1+ｘ２)［(x1+x２）2-3x1ｘ2］=(－)×［(-)2－3×(）]=－.注意:说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，此后我们经常会碰到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律:设x1和x2分别是一元二次方程ａｘ2+bx+c=0(a≠０),则，，∴|x1-x2|=.于是有下面的结论：若ｘ1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+ｃ＝0（a≠0)，则｜ｘ1-x2|=（其中Δ=b2-4ac)．此后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接运用上面的结论．例6若关于x的一元二次方程x2-ｘ+a－４＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解:设x1，ｘ2是方程的两根，则ｘ1x2＝a－4＜０，①且Δ＝(-1)2-４（a－4)＞０.②由①得a＜4,由②得ａ＜eq\f(17，4).∴a的取值范围是a＜4.练习A１．选择题：（1）方程的根的情况是（)（A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C）有两个相等的实数根(D)没有实数根(2）若关于x的方程mx2＋（2m+1)x＋ｍ＝0有两个不相等的实数根,则实数ｍ的取值范围是()(Ａ)ｍ＜(Ｂ）m＞-（C)m<，且m≠0（D）m＞-，且ｍ≠0(3)已知关于x的方程x２＋kx-2＝０的一个根是1,则它的另一个根是（)(A)-3(B)３（C)-2(Ｄ）2（4)下列四个说法:①方程x2+2x-7＝０的两根之和为－２,两根之积为－7;②方程ｘ2-２x＋7＝0的两根之和为-2，两根之积为7；③方程3x2-7=0的两根之和为0，两根之积为；④方程3ｘ２+2x=0的两根之和为-2，两根之积为0．其中对的说法的个数是(）(A）1个(B）２个(C）3个（D)4个（５）关于x的一元二次方程ax２-５x＋ａ2+a＝０的一个根是0，则ａ的值是（)(Ａ）0（B）１(C)-1(Ｄ)0，或－12.填空:(1)若方程x2-3x－1＝0的两根分别是ｘ1和x２，则=．(2）方程mx2+x-２ｍ＝0(ｍ≠0）的根的情况是．(3)以-3和1为根的一元二次方程是．(4）方程kx2+4x－1=0的两根之和为－2，则k＝．（5)方程2x2－x－4＝0的两根为α，β,则α2+β2＝.(６)已知关于ｘ的方程x2-ax－３a＝0的一个根是-2，则它的另一个根是．（7)方程２x2＋２x－1＝０的两根为x1和x2,则|x1-x2|=.3．已知，当k取何值时，方程kｘ2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根?4.已知方程x2－3x-１＝0的两根为x1和x2,求（x1－3）(x2-3)的值.5.试鉴定当m取何值时,关于x的一元二次方程m2ｘ2-(2ｍ＋１)ｘ＋1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根？没有实数根？6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－７x－１＝0各根的相反数．练习B组１．选择题:若关于x的方程x２＋(k2-1）x+k+１=０的两实根互为相反数,则k的值为（）(A）１，或－1(Ｂ)1（C）－1(Ｄ）0２．填空:(１）若m，n是方程ｘ2+2０23x－1=０的两个实数根，则m2ｎ＋ｍｎ2-mn的值等于．(2）假如a,b是方程x２＋x-1=0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b+aｂ2+b３的值是．3.已知关于x的方程x2-ｋx-2=0.（1)求证：方程有两个不相等的实数根;(2）设方程的两根为x1和x2,假如２(x１+x２)>ｘ1ｘ2,求实数k的取值范围.４.一元二次方程aｘ2+bx+c＝0（a≠0)的两根为ｘ１和x2.求:（1）|x１－x2|和;(２）x1３+x23．５.关于ｘ的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足｜x1－ｘ2｜＝2,求实数m的值．2．2二次函数2.2.1二次函数y=ax2＋ｂx＋ｃ的图像和性质一、复习引申：问题1函数y=aｘ2与y＝x2的图象之间存在如何的关系?为了研究这一问题,我们可以先画出y＝2x２，ｙ=ｘ2，ｙ＝－2ｘ2的图象,通过这些函数图象与函数y=x２的图象之间的关系,推导出函数y＝aｘ2与y=x2的图象之间所存在的关系.先画出函数y=x2，ｙ＝2x2的图象.先列表：x…－３-2-10123…x2…９41014９…2x２…1８8２０2818从表中不难看出,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数ｙ=x2,y=2x２的图象(如图2－1所示)，从图２-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=２x2的图象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为本来的两倍得到.y＝x2y＝2x2图2.2-1xOy同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y=x2，y＝x2y＝2x2图2.2-1xOy通过上面的研究，我们可以得到以下结论：1、二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由ｙ=x2的图象各点的纵坐标变为本来的a倍得到.在二次函数y＝ax2（a≠0）中,二次项系数ａ决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2+k与ｙ=ax2的图象之间存在如何的关系？同样地，我们可以运用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝２(x＋１）２+1与ｙ=2ｘ2的图象（如图２-2所示）,从函数的同学我们不难发现,只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝２(x+1)２+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y＝-3x２,y＝－３(x－1)2＋１的图象,研究它们图象之间的互相关系．图2.2-2x图2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋12、二次函数ｙ=ａ（x+h)2＋k(a≠0）中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移，并且“h正左移,h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，并且“k正上移,k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数ｙ＝ax2＋bx+c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax２+bｘ+c＝a（x2＋)＋c＝a(ｘ2+＋）＋c-,所以,y＝ａｘ2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝aｘ2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是，二次函数y＝ax2＋bｘ＋c（ａ≠0)具有下列性质:３、（1）当a＞０时，函数y=ax2＋bx＋c图象开口向上;顶点坐标为,对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着ｘ的增大而减小;当x>时，ｙ随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y=．(2）当a<0时，函数y=ax２+ｂx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时,y随着x的增大而增大;当x>时，y随着x的增大而减小;当ｘ=时,函数取最大值ｙ＝.xyxyOx＝－A图2.2-3xyOx＝－A图2.2-4二、典型例题：例1求二次函数y＝-3x２－6x＋１图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当ｘ取何值时，ｙ随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.解:∵y=－3x2－6x＋１=－３(x+1)2＋４,xOyxOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图2.2－5对称轴是直线ｘ＝-１；顶点坐标为（-1,４）;当ｘ=－1时，函数ｙ取最大值ｙ=4；当x＜－１时，ｙ随着ｘ的增大而增大;当x＞-1时，ｙ随着x的增大而减小;采用描点法画图，选顶点A(-1,4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D（０，１），过这四点画出图象（如图2－5所示).说明：从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x（元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示:x/元１301501６５y／件70５０3５若日销售量y是销售价x的一次函数，那么,要使天天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元?此时天天的销售利润是多少？分析:由于天天的利润＝日销售量y×(销售价ｘ－１２0）,日销售量ｙ又是销售价x的一次函数，所以，欲求天天所获得的利润最大值,一方面需规定出天天的利润与销售价x之间的函数关系,然后，再由它们之间的函数关系求出天天利润的最大值．解:由于ｙ是x的一次函数,于是，设ｙ=ｋｘ+b将x＝130，y＝70;ｘ=15０，y＝5０代入方程，有解得k=-1,b=200．∴y＝-x+20０.设天天的利润为z(元），则ｚ＝（－x＋200)(x－120)=-x２+３20x－2400０＝-(x-160）2＋1６00,∴当x=160时,z取最大值1６00.答:当售价为１６０元/件时，天天的利润最大，为1６0０元.例3把二次函数y＝x2+ｂx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求b，c的值.解法一：y=x２＋bx+ｃ=(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移４个单位,得到的图像,也就是函数y=x２的图像，所以,解得b＝－8,ｃ=１４． 解法二：把二次函数y=ｘ2+bx＋c的图像向上平移２个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移２个单位，再向右平移４个单位,得到函数y＝x2＋bx+c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移２个单位,再向右平移４个单位,得到函数y＝(x-4)2＋2的图像,即为y=ｘ2-8x+14的图像，∴函数ｙ＝x２-８x＋１4与函数y=x2＋ｂx＋c表达同一个函数，∴ｂ＝-8，c=14.说明:本例的两种解法都是运用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接运用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大；而解法二，则是运用逆向思维,将本来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.此后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题.三、练习A1.选择题：(1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()（Ａ)y＝2x２（B）ｙ＝2x2-４x＋2（Ｃ)y=2x２－1（D）ｙ＝2ｘ２-4x（２)函数y＝2(ｘ-1）2+２是将函数y＝2x２（)(A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B)向右平移２个单位、再向上平移1个单位得到的（Ｃ)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(Ｄ)向上平移２个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题(1)二次函数y＝２x2－ｍx+ｎ图象的顶点坐标为(1,－２），则m＝,ｎ=.（2)已知二次函数y＝x2+（m-2)ｘ-2ｍ,当ｍ＝时,函数图象的顶点在y轴上；当m=时,函数图象的顶点在x轴上;当m＝时,函数图象通过原点．（3）函数y＝-３(x＋２)2+5的图象的开口向,对称轴为，顶点坐标为；当x=时,函数取最值ｙ＝;当ｘ时,y随着x的增大而减小．3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小）值及y随x的变化情况，并画出其图象.（1）y=ｘ2－2x－3;（2）y=1＋6ｘ－ｘ2.2．2.2二次函数的三种表达方式一、复习引申：通过上一小节的学习,我们知道，二次函数可以表达成以下两种形式：1.一般式:ｙ＝aｘ2+bｘ+c(ａ≠0);2.顶点式:y＝a（x＋h)2＋ｋ(a≠０),其中顶点坐标是(－h,k).除了上述两种表达方法外，它还可以用另一种形式来表达．为了研究另一种表达方式,我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点个数．当抛物线y=ａｘ2＋bｘ+ｃ(ａ≠0）与x轴相交时,其函数值为零，于是有ａx2+bｘ+c＝0．① 并且方程①的解就是抛物线y=ａx2＋bｘ＋c（ａ≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现,抛物线y=aｘ2＋bｘ+c(a≠０）与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2-４ａc有关，由此可知，抛物线ｙ＝ax２＋bx＋ｃ(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝ｂ2－４ａc存在下列关系:（１）当Δ>0时，抛物线y＝ax2+bｘ+c(ａ≠0）与x轴有两个交点;反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）与ｘ轴有两个交点，则Δ＞0也成立.（２）当Δ＝0时，抛物线y=ax2＋bｘ+c（a≠0）与ｘ轴有一个交点(抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠０）与x轴有一个交点,则Δ＝０也成立．（３）当Δ＜0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点；反过来,若抛物线ｙ=ａx2+bx＋ｃ(a≠０）与ｘ轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是,若抛物线y＝ax2＋bｘ+ｃ(a≠０)与x轴有两个交点A(ｘ１，0)，B（x2,0）,则ｘ1,ｘ2是方程ａx２+bx+c＝0的两根,所以x1＋ｘ2=，x１x2=,即＝－(x1+x2),＝ｘ1x2.ﻩ所以,y=ａx2＋bx＋c=ａ()=a[x2－(x１+x2)ｘ+x1x2]＝a(x－ｘ1)（x－x２).由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0)与x轴交于A(x1，０)，Ｂ(x2，0)两点，则其函数关系式可以表达为y=ａ(ｘ－x1）(x-ｘ2)(a≠０).ﻩ这样，也就得到了表达二次函数的第三种方法:3．交点式：y=a(x－ｘ1)（x－ｘ2)（a≠0)，其中x１，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.此后,在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.二、典型例题:例1已知某二次函数的最大值为２，图像的顶点在直线y＝x＋1上,并且图象通过点（3，-1)，求二次函数的解析式.分析：在解本例时,要充足运用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数ａ．解:∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线ｙ＝x＋1上,所以，2=x+１,∴x=１．∴顶点坐标是（1，2).设该二次函数的解析式为,∵二次函数的图像通过点（3，－１）,∴，解得a＝．∴二次函数的解析式为,即y＝说明：在解题时,由最大值拟定出顶点的纵坐标,再运用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充足挖掘题目所给的条件,并巧妙地运用条件简捷地解决问题．例2已知二次函数的图象过点（－3，0）,(１，0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点事实上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一:∵二次函数的图象过点(-3,０）,（１,0）,∴可设二次函数为ｙ=ａ(x＋3)(ｘ-1）（a≠0),展开,得ｙ=aｘ２+２ax-3ａ,顶点的纵坐标为，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴｜-4a｜=２，即ａ=．所以,二次函数的表达式为y＝,或y=-. 分析二：由于二次函数的图象过点(－3,０)，(1，0），所以,对称轴为直线ｘ=－1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2，或-2，于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再运用图象过点（－3，0)，或(1,０），就可以求得函数的表达式.ﻩ解法二：∵二次函数的图象过点(－3,０),(1,0)，∴对称轴为直线x=－1．又顶点到x轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或-2.于是可设二次函数为y＝a(x＋１）2+２,或y＝a(x＋1)2－2,由于函数图象过点（1，０)，∴0=a(1＋1）2+2,或0＝ａ(1＋１)2-2．∴a＝－，或ａ＝．所以,所求的二次函数为y＝－(x+1)2＋２，或y=(x+１)２－２. 说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,运用交点式和顶点式来解题，在此后的解题过程中,要善于运用条件,选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(－1,-２2),（0，－8)，（2，8)，求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y=ａx２+bｘ+ｃ(a≠０).由函数图象过点(-１，-22),(0，-8),(2,８),可得解得ａ=－2,b=1２，c=-８．所以，所求的二次函数为y＝-2x2＋1２x-８．通过上面的几道例题,同学们能否归纳出：在什么情况下，分别运用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?三、练习Ａ1．选择题:（1)函数y=-x２＋ｘ-1图象与x轴的交点个数是()（Ａ）0个(B）１个(C）2个(Ｄ)无法拟定（2）函数y＝－eq\f(１,２)(x＋1)２+2的顶点坐标是()(Ａ)(1，2）(B)(1,－2)(C）(-1,2）（D)(－1,－2)2．填空:（1）已知二次函数的图象通过与x轴交于点(-1，０)和(2，０),则该二次函数的解析式可设为y＝a(ａ≠0)．(2）二次函数y＝-ｘ2+２eq＼r（3)x+１的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3.根据下列条件，求二次函数的解析式.（1）图象通过点(1,－2),(0，－3),(-1，-6);（2)当ｘ=３时，函数有最小值5，且通过点(１，1１);（3）函数图象与x轴交于两点(1-eq\r(2),０)和（1+eｑ\ｒ(2)，0)，并与y轴交于(0,-2).２.２.3二次函数的简朴应用 一、函数图象的平移变换与对称变换ﻩ１.平移变换 问题1在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以如何来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时,只需运用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.ﻩ例1求把二次函数y＝ｘ2－4ｘ＋3的图象通过下列平移变换后得到的图象所相应的函数解析式：ﻩ(1）向右平移２个单位，向下平移1个单位； (2)向上平移３个单位,向左平移2个单位． ﻩ分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数),所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项）,所以，一方面将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所相应的解析式．ﻩﻩ解:二次函数ｙ＝2ｘ２－４ｘ－3的解析式可变为y＝2（ｘ－1)2－1,ﻩﻩ其顶点坐标为(１,－１)． ﻩ（1)把函数y＝2(x-1）２－1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,－2），所以,平移后所得到的函数图象相应的函数表达式就为y=2（x-3)2－2．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)图2.2－7xyOxyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)图2.2－7xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)图2.2－8ﻩ 2.对称变换 问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点?依据这一特点，可以如何来研究二次函数的图象平移?ﻩﻩ例2求把二次函数y＝２x2-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象相应的函数解析式:ﻩ（1)直线x=-1;ﻩ（2)直线ｙ＝１.ﻩ 解：（1）如图2.2－7，把二次函数y＝2x2－4ｘ＋1的图象关于直线ｘ=－1作对称变换后,只改变图象的顶点位置，不改变其形状. 由于y＝2x２-４x+１=2（x－1）2-１，可知，函数y=2x２-４ｘ+１图象的顶点为A(1，-1），所以，对称后所得到图象的顶点为A１（－３，-1)，所以,二次函数y=2x2-4x＋１的图象关于直线x=-１对称后所得到图象的函数解析式为y=２(ｘ+3)2-1,即y=２x2+1２x＋1７.ﻩﻩ（２)如图2．2－8,把二次函数y＝2x2-4x＋1的图象关于直线y=-1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状.ﻩﻩ由于y＝２ｘ２－4x＋1＝2（x－1）２－1，可知，函数y=2x２-４x＋1图象的顶点为A(１，-１),所以，对称后所得到图象的顶点为B(1,3),且开口向下，所以，二次函数y=2x２-4x+1的图象关于直线y＝１对称后所得到图象的函数解析式为ｙ=－２(x－1)2+3,即ｙ＝－2x2＋４ｘ+1．二、分段函数 一般地，假如自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数.ﻩ例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资８0分，超过20g不超过４0g付邮资1６0分,超过４0g不超过6０g付邮资24０分,依此类推，每封xg(0<x≤1００)的信应付多少邮资（单位:分）?写出函数表达式,作出函数图象. 分析:由于当自变量ｘ在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以,可以用分段函数给出其相应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当ｘ在各个小范围内(如２0＜x≤４0）变化时,它所相应的函数值(邮资)并不变化（都是160分).ﻩ解:设每封信的邮资为y(单位:分），则y是x的函数.这个函数的解析式为x(克)yx(克)y(分)O图2.2－92040608010040032024016080 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2.２-9所示.三、配方法及其应用1、同学们知道，在求二次函数的图象的顶点坐标或求最大(小)值时需用到变形：,这种变形的过程就叫配方。具体过程为 ﻩﻩ 用配方来解决最大(小)值等问题的方法叫作配方法,这是高中数学最重要的方法之一，望同学们给予足够的重视,在上高中之前务必先学会并掌握配方。例1、将下列二次函数式配方:(1) ﻩ （2)（３) ﻩﻩ (4）解：（1)（2)（３）（４)例2、求下列二次函数的最大（或最小)值：（1)ﻩ ﻩ(2）(3)ﻩﻩﻩﻩ（４）解：(1）∴当时ｙ取最小值(2)∴当x=3时，ｙ取最大值10(3)∴当x=-2时,y取最小值-1(4）∴当ｘ＝－２时，ｙ取最大值-３思考:1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？２、你是否已概括出了配方的几个环节？(注:最佳不要用公式去套）四、练习A组将下列二次函数配方 ﻩ ﻩ(１）ﻩ ﻩﻩ ﻩ（2）ﻩ ﻩ (3)ﻩ ﻩﻩ ﻩ(4) ﻩ ﻩ（5) ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（6）ﻩ ﻩﻩ （7） ﻩ（8）ﻩ ﻩ ﻩ（9）ﻩ ﻩ (10)ﻩ ﻩ ﻩ(1１) ﻩ ﻩ （1２） ﻩ ﻩ(13）ﻩﻩ ﻩﻩﻩ(１4） ﻩﻩﻩ（15) 2．３方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法一、概念：方程是一个具有两个未知数,并且具有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中,，叫做这个方程的二次项,，叫做一次项,6叫做常数项.我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.下面我们重要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．二、典型例题：①②例1解方程组①②分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程,于是，可以运用该方程消去一个元,再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②，得ｘ=2y＋2，③把③代入①,整理,得8y２＋8ｙ＝０,即y(ｙ+1)＝0．解得y1＝0,y2=-1.把y１＝0代入③,得x1＝２;把y2=－1代入③,得x２=0.所以原方程组的解是说明：在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2解方程组①②①②解法一：由①，得③把③代入②,整理，得解这个方程，得．把代入③,得；把代入③，得.xO－23y＝xO－23y＝x2－x－6yy＞0y＞0y＜0图2.3－1解法二:对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求.这个方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程,得,或.所以原方程组的解是三、练习A１.下列各组中的值是不是方程组的解?（)（1)（2)(3)(4)2.解下列方程组:（1)(2)(3)（4)２.3.2一元二次不等式解法一、引入：二次函数y＝x2-x－6的相应值表与图象如下：x-３－2-1012３4y60－4-6-6－40６由相应值表及函数图象(如图2.3－１)可知当x＝-２,或x＝3时,y＝０,即x2－x-6=0;当x<-2,或x＞3时,y＞0,即x2－x－6＞0;当-2＜x＜3时，y<0，即ｘ２－x－6＜0.这就是说，假如抛物线y=x2－x-6与x轴的交点是(－２，０）与(3，０），那么一元二次方程x2－ｘ-6=０的解就是x１=-2,x2＝3;同样，结合抛物线与ｘ轴的相关位置,可以得到一元二次不等式ｘ2－x-6>0的解是x<－2,或x＞3；一元二次不等式x2-x-６<０的解是-2<x＜3.上例表白:由抛物线与x轴的交点可以拟定相应的一元二次方程的解和相应的一元二次不等式的解集. 那么,如何解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0)呢?ﻩ我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y＝ax2+bｘ＋c(ａ≠0)的图象来解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0).为了方便起见,我们先来研究二次项系数a>０时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程ax２+bx+c＝0（ａ>0),设△=ｂ2-4ac,它的解的情形按照△＞0,△=０，△<0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解,相应地,抛物线y＝ax２+ｂx＋ｃ(ａ＞0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3-２所示），因此,我们可以分下列三种情况讨论相应的一元二次不等式ａｘ2＋ｂx+c＞０(a>0）与ａx2＋ｂx+ｃ<０（a>0)的解． (1）当Δ>0时，抛物线y=ａx2+bx+ｃ（a>0）与x轴有两个公共点(ｘ1,０)和（ｘ2,0),方程ax２＋bx＋c=0有两个不相等的实数根x１和x2(x1<x2）,由图2.３-２①可知xxyOx1x2xyOx1=x2yxO图2.3－2②③①不等式ax2＋bx＋ｃ>0的解为x＜x１,或x＞ｘ2；不等式ax２＋bｘ＋c＜０的解为ｘ1＜x＜x2．（2）当Δ=０时，抛物线y=ａx2＋bx+c（a＞0)与x轴有且仅有一个公共点,方程aｘ2＋bx+ｃ＝0有两个相等的实数根x１＝x2=－eｑ\f(b，2a)，由图2．3－2②可知不等式ａx2+bx+ｃ>0的解为x≠－ｅq＼f(ｂ,2a);不等式aｘ2＋ｂx＋c<0无解． (3）假如△<0,抛物线y＝ａx2＋bx＋c（ａ＞0）与x轴没有公共点，方程ａx2+bｘ＋c=0没有实数根,由图2.3－2③可知不等式ax2+bｘ＋c＞0的解为一切实数;不等式aｘ2+bｘ+c＜0无解.ﻩ此后,我们在解一元二次不等式时，假如二次项系数大于零，可以运用上面的结论直接求解;假如二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再运用上面的结论去解不等式． 二、典型例题:例3解不等式：（1）x２+2x-3<0；（2)x－x2+６＜０;(3)４ｘ２＋4x+１≥０；(4)x２－６ｘ+9≤0;(5)－4+x－x２＜０．解:（１）∵Δ＞０,方程x2＋2x-3=0的解是x１＝－３,x2＝１.∴不等式的解为－3<x<１．(2)整理,得x2－ｘ-6>0．∵Δ>0，方程x２－x-6＝0的解为x1=－2,x2＝3．∴所以,原不等式的解为x<-2,或x>3．（3)整理,得(２x＋１)2≥0.由于上式对任意实数x都成立,∴原不等式的解为一切实数.（４）整理,得(x-3）2≤0.由于当x=3时,（ｘ-3）2＝0成立;而对任意的实数x,（x-3)2<０都不成立，∴原不等式的解为ｘ=3．（5）整理，得ｘ2－x+