数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第33课平面向量的数量积

第33课平面对量的数量积【自主学习】第33课平面对量的数量积(本课时对应同学用书第89~91页)自主学习回归教材1.(必修4P81习题2改编)向量a与向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=，那么向量a和向量b的数量积a·b=.【答案】3【解析】a·b=2××=3.2.(必修4P88练习4改编)向量a=(1，1)，b=(2，x).假设a·b=1，那么实数x=.【答案】1【解析】由于a·b=2x=1，所以x=1.3.(必修4P89习题2改编)向量a，b的夹角为120°，=1，=3，那么=.【答案】7【解析】先求的平方，再开方.4.(必修4P88练习4改编)向量a=(1，2)，b=(x，4)，且a·b=10，那么|ab|=.【答案】【解析】由于a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以ab=(1，2)，所以|ab|=.5.(必修4P81习题13改编)假设|a|=2，|b|=4，且(a+b)⊥a，那么a与b的夹角为.【答案】【解析】设a与b的夹角为θ.由于(a+b)⊥a，所以(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.由于cosθ===，所以θ=.1.两个向量的数量积两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|b|·cosθ称为向量b在a方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2.两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量，θ是a与b的夹角.(1)假设a与b同向，那么a·b=|a||b|；假设a与b反向，那么a·b=|a||b|.特殊地，a·a=|a|2.(2)a·b=0a⊥b.(3)cosθ=.3.数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b=a·(λb).(3)安排律：(a+b)·c=a·c+b·c.【要点导学】要点导学各个击破利用向量的数量积求向量的模和夹角例1(1)(2016·苏北四市期中)|a|=1，|b|=2，a+b=(1，)，那么向量a，b的夹角为.(2)假设两个向量e1，e2，满意|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，假设向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【思维引导】模长和夹角是数量积的两个要素，解题时要充分关注它们之间的转化.(1)【答案】【解析】设向量a与b的夹角为θ，那么由题知(a+b)2=a2+b2+2a·b=1+4+2a·b=3，所以a·b=|a|·|b|·cosθ=1，所以cosθ=，由θ∈[0，π]，知θ=.(2)【解答】由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，所以2t+(2t2+7)e1·e2+7t<0.又由于|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，所以e1·e2=2×1×cos60°=1，所以2t×22+(2t2+7)+7t<0，即2t2+15t+7<0，解得7<t<.又当2te1+7e2与e1+te2共线时，=，解得t=(正根舍去)，所以实数t的取值范围是∪.【精要点评】第(1)题利用向量的数量积公式和向量夹角的范围求得；第(2)题肯定要关注共线时的状况，由于(2te1+7e2)·(e1+te2)<0反映的是夹角为钝角或平角.变式(1)假设向量a=(1，2)，b=(1，1)，那么2a+b与ab的夹角为.(2)假设a，b，c均为单位向量，且a·b=0，(ac)·(bc)≤0，那么|a+bc|的最大值为.(3)两个单位向量e1，e2的夹角为，假设向量b1=e12e2，b2=3e1+4e2，那么b1·b2=.(1)【答案】【解析】2a+b=(3，3)，ab=(0，3)，设向量2a+b与ab的夹角为θ，那么cosθ===，故夹角为.(2)【答案】1【解析】由于向量a，b，c都是单位向量，所以a2=1，b2=1，c2=1，由a·b=0，及(ac)·(bc)≤0，可知(a+b)·c≥c2=1.由于|a+bc|2=a2+b2+c2+2a·b2a·c2b·c，所以|a+bc|2=32(a·c+b·c)≤1，故|a+bc|≤1.(3)【答案】6【解析】由题设知|e1|=|e2|=1，且e1·e2=，所以b1·b2=(e12e2)·(3e1+4e2)=32e1·e28=32×8=6.例2假设向量a=(1+cosx，1+sinx)，b=(1，0)，c=(1，2).(1)求证：(ab)⊥(ac)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值.【思维引导】(1)要证(ab)⊥(ac)，只需证(ab)·(ac)=0，可以计算(ab)·(ac)；(2)要求|a|的最大值，可以求出|a|的表达式，通过求函数(三角函数)的最值进行.【解答】(1)由于ab=(cosx，1+sinx)，ac=(cosx，sinx1)，(ab)·(ac)=(cosx，1+sinx)·(cosx，sinx1)=cos2x+sin2x1=0，所以(ab)⊥(ac).(2)|a|===≤=+1.当sin=1，即x=+2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值+1.向量数量积的应用微课10●典型例如例3(2015·徐州、连云港、宿迁三检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为线段OP，OQ的中点，A为上任意一点，那么·的取值范围是.(例3)【思维导图】【答案】【标准解答】方法一：如图(1)，以点O为坐标原点，OQ所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么M，N(1，0)，由题意可设点A(2cosθ，2sinθ)，其中0≤θ≤.(例3(1))所以=，=(12cosθ，2sinθ)，所以·=(12cosθ)+(2sinθ)=cosθsinθ=2cos，其中0≤θ≤.由于0≤θ≤，所以≤θ≤，所以≤cos≤1，2≤2cos≤1，≤2cos≤，即·的取值范围是.方法二：如图(2)，连接OA，设∠AOQ=α，那么∠AOP=α，其中0≤α≤，(例3(2))·=()·()=···+=1×1×cos2cosα2cos+4=2cosα2=cosαsinα=2cos，其中0≤α≤，由于0≤α≤，所以≤α≤，所以≤cos≤1，2≤2cos≤1，≤2cos≤，即·的取值范围是.【精要点评】对于求平面对量数量积的问题，常规思路一是通过建立平面直角坐标系求解，思路二是利用平面对量内的同一组基底来求解.一般地，对于特殊的图形往往通过前者求解.●总结归纳解决此类问题的步骤如下：(1)选择适当的两向量作为基底(基底一般选择长度的向量、相互垂直的向量、夹角的向量)→利用平面对量根本定理把题中全部向量用基底表示→用向量的数量积公式；(2)建立平面直角坐标系(图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系)→写出全部点的坐标→代入数量积的坐标公式求解.●题组强化1.(2015·湖北卷)向量⊥，||=3，那么·=.【答案】9【解析】依据题意作出图形，如下图.设向量，的夹角为θ，那么·=||||cosθ.(第1题)由于⊥，所以||cosθ=||，所以·=||2=9.2.(2015·南京三模)在△ABC中，假设∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，那么·=.【答案】【解析】由题意得·=(+)·(+)=·=·=·=+·+=×9+×2×3×cos120°+×4=.3.O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，假设=x+y，且2x+10y=5，那么cos∠BAC=.【答案】【解析】由题设知·=x·+y，由于O是△ABC的外心，所以·=，所以×102=x·6·10cos∠BAC+y·102.又由于2x+10y=5，所以10y=52x，所以50=60xcos∠BAC+10(52x)，所以cos∠BAC=.4.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作圆交AD于点F.假设P为劣弧上的动点，求·的最小值.(第4题)【解答】方法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么D(0，2)，C(2，2)，设P(cosθ，sinθ)，0≤θ≤，那么·=(cosθ，2sinθ)·(2cosθ，2sinθ)=52cosθ4sinθ=52sin(θ+φ)≥52.方法二：设∠PAB=θ，·=()·(+)=2·+4·+1=52cosθ4sinθ(下同法一).1.假设单位向量a与b的夹角为，那么=.【答案】1【解析】由题设知|a|=|b|=1，所以==1.2.向量a与b的夹角为60°，且a=(2，6)，|b|=，那么a·b=.【答案】10【解析】由题意得|a|=2，设向量a与b的夹角为θ，所以a·b=|a||b|cosθ=2××=10.3.(2015·山东卷)菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，那么·=.【答案】a2【解析】由于·=·=(+)·=+·=a2+a2cos60°=a2.4.(2015·宿迁一模)如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是BC的中点，假设向量=+m，且的终点M在△ACD的内部(不含边界)，那么·的取值范围是.(第4题)【答案】(2，6)【解析】以AB，AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，从而直线AD的方程为y=x，直线BC的方程为y=x+4.由=+m得M(1，4m).由于点M在△ACD的内部，所以解得<m<.又由于·=(1，4m)·(3，4m)=16m23，所以·∈(2，6).5.向量=(λcosα，λsinα)(λ≠0)，=(sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点.(1)假设αβ=，λ=1，求向量与的夹角；(2)假设||≥2||对任意的实数α，β都成立，求实数λ的取值范围.【解答】(1)当λ=1时，=(cosα，sinα)，故||==1，||==1.又·=cosα·(sinβ)+sinαcosβ=sin(αβ)=sin=，设向量与的夹角为θ，所以cosθ==.由于θ∈[0，π]，所以θ=.(2)==(λcosα+sinβ，λsinαcosβ)，由||≥2||对任意实数α，β都成立，即(λcosα+sinβ)2+(λsinαcosβ)2≥4对任意的实数α，β都成立.整理得λ2+1+2λsin(βα)≥4对任意的实数α，β都成立.由于1≤sin(βα)≤1，所以或解得λ≥3或λ≤3.所以实数λ的取值范围为(∞，3]∪[3，+∞).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第65~66页.【检测与评估】第33课平面对量的数量积一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，那么·的最小值为.2．向量a，b满意|a|=1，|b|=3，a，b之间的夹角为60°，那么a·(a+b)=.3．两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1t)b.假设b·c=0，那么实数t=.4．(2015·四川卷)四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4．假设点M，N满意=3，=2，那么·=.5．(2015·苏州调查)如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点，Q是线段AP上靠近点A的三等分点，且·=4，那么·=.(第5题)6．(2015·苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB=，AD=1，且·=，那么·=.(第6题)7．(2015·苏州期末)如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，假设F为DE的中点，那么·的值为.(第7题)8．(2015·重庆卷)假设非零向量a，b满意|a|=|b|，且(ab)⊥(3a+2b)，那么a与b的夹角为.二、解答题9．向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2．(1)求|a+b|；(2)求|3a4b|；(3)求(a2b)·(a+b).10．e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a=3e12e2，b=2e13e2．(1)求a·b；(2)求a+b与ab的夹角.11．向量a=，b=，且θ∈.(1)求的最值；(2)是否存在实数k，使得|ka+b|=|akb|?三、选做题12．(2015·福建卷)⊥，||=，||=t，假设点P是△ABC所在平面内一点，且=+，那么·的最大值为.13．(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，那么·的最小值为.【检测与评估答案】第33课平面对量的数量积1．1【解析】由题意得B(0，1).设P(x，ex)，那么=(1，1)，=(x，ex)，所以·=x+ex.令f(x)=exx，那么f'(x)=ex1．令f'(x)=0，得x=0，求得最小值为f(0)=1．2．【解析】a·(a+b)=a2+a·b=1+|a||b|cos60°=1+1×3×=.3．2【解析】由b·c=0，得b·[ta+(1t)b]=0，即tab+(1t)b2=0，所以+1t=0，解得t=2．4．9【解析】=+==+，所以·=(4+3)·(43)=(169)=×(16×369×16)=9．5．24【解析】由于·=·(+)==4，所以=12，因此·=(+)·===3612=24．6．【解析】由题知===+，==()，所以·=·()=，所以·=.7．4【解析】方法一：记方向上的单位向量分别为a，b，那么a2=b2=1，a·b=，=4a，=6b，从而=2a，=2b，=(+)=a+b，==b3a，==2b2a，所以·=(b3a)·(2b2a)=2b2+6a28a·b=2+64=4．方法二：取CE的中点G，连接BG.设BG的中点为M，连接FM，那么=，且FM⊥BM，所以·==BM2=DE2=22=4．方法三：以A为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，那么A(0，0)，B(4，0)，C(3，3)，从而D(2，0)，E(1，)，F，所以=，=(1，)，所以·=+=4．8．【解析】设向量a，b的夹角为θ，那么由题知(ab)·(3a+2b)=3a2a·b2b2=0，即3|a|2|a||b|cosθ2|b|2=0，所以3×cosθ=2，解得cosθ=.又由于0≤θ≤π，所以θ=.9．由题知a·b=|a||b|cos120°=4×2×=4．(1)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=12，所以|a+b|=2.(2)|3a4b|2=9|