第六章随机信号相关和功率谱

第6章随机信号的相关和功率谱分析6.1随机信号基本概念6.2信号的幅值域分析

6.3相关分析及其应用6.4功率谱分析及其应用▼▼▼▼6.1随机信号的基本概念

1.样本函数、样本记录、随机过程随机过程与样本函数对随机信号按时间历程所作的各次长时间的观测记录称作样本函数，记为xi(t)在同等试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，记作{x(t)}在有限区间内的样本函数称作样本记录

2.集合平均和时间平均随机过程与样本函数随机过程的某个统计参数，如均值、方差、均方值和均方根值等，是按随机过程{x(t)}中所有样本函数xi(t)在ti时刻的观测值进行运算再取其平均的方法，称为集合平均。随机过程中t1时刻的均值在t1时刻的均方值随机过程与样本函数计算随机过程对某个统计参数时，仅利用随机过程{x(t)}中第i个样本函数xi(t)，当观测时间T→∞时，对所有观测值进行运算再取其平均的方法称为时间平均。随机过程第i个样本的均值随机过程第i个样本的均方值3.随机信号的主要特征参数描述各态历经随机过程的主要特征参数有均值、

均方值、方差——描述信号在幅值域中强度方面的特征概率密度函数——描述信号在幅值域中的特征；自相关函数——描述信号在时延域中的特征；功率谱密度函数——描述信号在频域中的特征描述两个或两个以上各态历经随机信号之间的相互依赖程度：(1)联合概率密度函数；(2)互相关函数；(3)互谱密度函数和相干函数。4.随机过程的分类平稳随机过程非平稳随机过程各态历经随机过程非各态历经随机过程随机过程6.2信号的幅值域分析

1.统计特征参数均值

均方值均方根值方差均值、方差和均方值之间的关系A0t均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。均值

方差：反映了信号绕均值的波动程度。tx(t)方差2.均值、均方值和方差的估计均值

均方值方差p(x)的计算方法

概率密度

概率

3.概率密度函数

以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。2.概率分布函数

概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。6.3相关分析及应用

1.相关的概念相关：指两变量之间的线性关系人的身高和体重的关系确定性信号：两个变量t、y之间用函数关系来描述y=10sin(2πƒt+φ0)(a)(b)(c)波形相似程度分析四种仪波形每的相着似比寻较如果Q=医0，则棍两信显号波评形完忧全相田等；如果Q的数酱值小伍，表毯示两然个信执号波内形差妹别不课大而轰相似独；如果Q的数馅值大荒，表览示两拘个信盖号波左形差订别大融而不莲相似们。R的数早值大福，Q就小亦，其冈意义计表示咏两个淹信号被的相懂似性腥较好每，反嘉之则炊相似长性差骄。波形夹相似衰程度方分析R的数肃值大飘，Q就小请，其告意义徒表示圈两个堂信号忽的相交似性训较好践，反勾之则卧相似茎性差难。2.相关极函数武和相竹关系仓数随机顿变量x(t)和y(t)在不同罢时刻的乘灵积平米均来腔描述灭它们君之间案的线性运相关使程度，称诸为相关怕函数，表陆示为希：式中苦，τ∈魔(-桐∞,真∞睡)，表订示时算间位果移，正或时所延，缺为连暴续变沈量，与t无关。(3堤-1求)(1胡).相关槐函数x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t+τ)x(t)y(t+τ)积分器

Rxy(τ)用相关亲系数表示城两个占变量x、y之间节的相乘关程抬度(3-2)|ρxy|≤够1当ρxy=±董1时，叛则随减机变愈量x、y具有奇理想寸的线牲性关学系当ρxy=0时，身两随励机变桐量x、y完全细不相萝关xyxyxyxy例如肠，玻赛璃管阔温度广计液病面高灶度(Y残)与环赴境温恭度(x堵)的关镜系就桃是近根似理苦想的无线形体相关核，在瓜两个疾变量骄相关剥的情潜况下深，可喜以用烦其中怒一个定可以辜测量捏的量队的变灿化来炭表示遣另一鸦个量拼的变浆化。(2钢).相关谋系数设y(t疲+τ)是y(t)时延τ后的怠样本映，对岸于x(t)和y(t舟+τ)的相驾关系基数简写朋为ρxy(τ)(3-1)(3-2)(3太).相关左函数握和相窜关系校数的宁关系(3-3)推导(3-4)设x(t)是各态扮历经随机先过程箱的一荡个记录补样本，而x(t+τ)是x(t)时移τ后的充样本宁。令x(t)汪←x(t)，y(t+τ)凉←x(t+τ)，则性得到x(t)的自区相关偶函数Rx(τ)自相佩关函许数：拜描述卷随机泪过程阳一个唇时刻偿的幅钉值与腿另一精个时梳刻幅值冒之间的依赖躬关系。或密者说旱，现挪在的鉴波形究与时开间坐贝标移草动了斩之后静的波形哲之间衰的相伏似程半度。3.自相霜关函表数(3-1)(3-3)自相播关系怀数ρx(τ)(3-5)(3-6)(1早).自相落关函悉数的缓性质1）Rx(τ)的值父限制悠范围箱为(3-7)2)Rx(τ)为偶但函数t+τ←t(3-4)(3-6)(3-2)自相遥关函此数的踏性质d(挖t+亲τ)=d(t)(3-8)3）当时习延τ=眯0时，Rx(0认)达到厅最大径值。潜即Rx(0撑)兵≥|Rx(τ)|(3-4)(3-5)(3-9)(3-10雹)自相话关函鞭数的即性质x(t)在同懂一时划刻的票记录管样本完全雨成线辅性4）当τ→饮∞时，x(t)和x(t+τ)之间能不存忘在内妙在联择系，培彼此状无关(3-4)(3-5)如果明均值μx=0，则Rx(τ)质→0。(3-11景)(3-12投)自相嫌关函乎数的筒性质x(t)与x(t＋∞）彼领此无给关5）当信既号x(t)为周社期函慌数时腔，自湾相关土函数Rx(τ)也是写周期养的，且周期驱相同若周炎期函资数为x(t)=x(t+n树T)，则宰其自逮相关捎函数阀为(3-4)(3-13动)t←t+n岔T例6-省1：求添正弦晚函数x(t)＝x0Si鸭n(努ωt+φ)的自障相关秃函数恰。(3-14埋)保留你幅值岛和频研率信惊息，驶丢失茶初始搂相位职信息推导自相糠关函丧数Rx(τ)的应奔用可根渔据自可相关忧图的妙形状代来判缸断信喇号的势性质由性叔质5）知，插周期相信号第的自土相关乌函数养仍为彩周期怨信号腿，τ→丙∞时，Rx(τ)不衰卵减且昨周期粉与原牧周期撞一致铁；而秘对随拔机信佛号，当τ→同∞时，Rx(τ)衰减→0(μx=0总)。利用懂自相励关函珠数进钩行机受械设纠备的概故障徒诊断(3赠-1梨3)a)正弦子波加邮随机锻噪声驶信号b)正弦联波加透随机宝噪声姨信号桂的自基相关房诚函数四种企典型访信号致及其替自相恳关函满数自相吧关分仙析测伞量转旋速理想渐信号干扰导信号实测午信号自相甜关系本数提取扁周期慎性转很速成杰分。自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。Ra化(t)呈周灾期性分析福造成是机械半加工换表面邀的粗小糙度主的原似因4.互相辱关函意数对于各态总历经随机斑过程给，两创个随但机信朝号x(t)、y(t)的互趋相关侦函数定定义洲为互相始关函尤数Rxy(τ)—节—描述蕉一个烤系统套中的烟一处巨测点熟上所坦得的烂数据x(t)与同一棒系统的另虽外一恳测点牢数据y(t)互相竖比较附得出谋它们啊之间鞠的关手系。吼也就腊是说遵，Rxy(τ)是表甩示两装个随粥机信箱号x(t)、y(t)相关无性的裹统计碰量。(3-15浓)x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t+τ)x(t)y(t+τ)积分器

Rxy(τ)互相刚关系烧数(3-16鹿)|ρxy(τ)|≤干1当ρxy(τ)=傲±1时，鉴则随偷机变棉量x、y具有忽理想猎的线梦性关寻系当ρxy(τ)=0时，尖两随持机变寇量x、y完全拦不相骑关xyxyxyxy1）互相茂关函晓数的畅限制余范围低为μxμy-σxσy≤Rxy(τ)教≤μxμy＋σxσy|ρxy(τ)|蚀≤姥1(3-16归)(3-18羊)(3-17理)互相梢关函暑数的运性质(1夕).互相腔关函桨数的拘性质2)互相馒关函掠数是可正艺、可额负的都实函身数x(t)和y(t)均为脖实函踢数，Rxy(τ)也应根当为记实函箩数。毕在τ=0时，就由于x(t)和y(t)可正叔、可阁负，柿故Rxy(τ)的值奇可正振、可基负3)互相遇关函腥数非奇案函数鱼、非刷偶函板数，而尿是Rxy(τ)=Ryx(-τ)(3-19阻)互相悲关函古数的艳对称则性(3-15柄)令t-部τ←td(首t-腥τ)=d(t)4)Rxy(τ)的峰值不在τ=0处，掉其幅趟值偏竭离原黑点的样位置娇反映堵了两如信号嚼时移倾的大眯小，茂相关舒程度佩最高湖，在τ0时，Rxy(τ)出现蚕最大所值，闭它反疯映x(t)、y(t)之间堡主传蓝输通锹道的滞后雅时间。互相鸽关函肯数的牛性质峰值氏点5）两个不同溉频率的周家期信桨号，搁其互挖相关乔函数迁为零x(t)＝x0Si桑n(摊ω1t+θ)，y(t)＝y0Si盈n(塔ω2t+θ-筋φ)不同罚频率诸不相搭关推导(3-20蜓)6）两个同频而率正弦寺函数驶的互拣相关者函数Rxy(τ)：求x(t)=x0Si喷n(鹅ωt+θ)，y(t)=y0si亭n(亦ωt+θ-饶φ)互相库关函可数Rxy(τ)互相陈关函异数不纤仅保苹留了哨两个微信号拴的幅塔值x0、y0信息烂、频目率ω信息党，而田且还司保留示了两亏信号管的相辩位差φ信息同频偏率正腰弦相剑关推导(3-21包)7）周期委信号霜与随免机信宋号的豪互相自关函河数为零由于斜随机委信号y(t+τ)在时阵间t→t+τ内并筐无确酬定的瓦关系舞，它院的取孤值显虑然与弓任何址周期筋函数x(t)无关淡，因拉此，Rxy(τ)=援0。8）两个浆统计闷独立形的随川机信煤号，静当均斗值为顷零式镰，则Rxy(τ)=吩0将随碧机信陈号x(t)和y(t)表示选为其告均值绩和波烈动部软分之攀和的却形式呈，即当μx=μy=0时，Rxy(τ)=公0(3-23胜)相关她函数宏的性颗质（1）自椅相关妨函数遗是送的偶与函数帜，RX(临)=揪Rx(-鲜柏)；（2）当傲=0时，自相拒关函王数具闻有最向大值踩。（3）周域期信绿号的谊自相到关函歉数仍你然是茫同频洁率的救周期鹊信误号宰，但必不保困留原粥信号郊的相附位信厅息。（4）两种周期谢信号雪的互稍相关器函数药仍然滋是同旷频率搭的周零期信号，工且保公留原款了信握号的条相位俊差信房诚息。（5）两晶个非斑同频艇率的铁周期娘信号军互不情相关伞。（6）随塔机信服号的抬自相俩关函烫数将乓随疫的增予大快检速衰题减。(2夏).互相巾关函惕数Rxy(τ)的工需程应谨用1)确定振信号捕通过辛一给歼定系亲统所腰需要垄的时夏间一个吴信号x(t)经过勇测试羽系统陵后输皇出y(t)的时句间τ0，这径个时费间就踢是由Rxy(τ)的互婚相关爽图中萄峰值远的位援置来虽确定利用脊互相扁关分呆析确慕定信嫩号通害过系啊统的歌时间互相滩关函哥数的辅性质2）消除虏噪声牌影响笑，提斩取有脊用信册息利用悠互相菠关分班析仪吼消除倾噪声伶的工著作原薪理图a)正弦考波加吩随机屡噪声蔬信号b)正弦葛波加元随机宿噪声培信号述的自柿相关锡函数3）对复封杂信削号进释行频收谱分村析利用检互相慕关分笋析仪无分析裂信号尾频谱魔的工剃作原国理图x(t)＝x0Si具n(涉ωt+θ)，y(t)＝y0si妖n(予ωt+θ-繁φ)的互裹相关绞函数x(t)＝x0Si乓n(茂ω1t+θ)，y(t)＝y0Si巾n(失ω2t+θ-炭φ)的互称相关甚函数(3-21可)(3-20主)4）地下恭输油刑管道记漏损甘位置徒的探监测S1暮-S济2=vτmS1片-S胶2=访2S12S1S2传输洽通路悼分析5)寻找凤振源——故障证诊断▲1.巴塞格伐尔(Pa派se烤va充l)定理在时域中计圣算的丧信号锯总能灾量，宽等于晓在频域中计缘瑞算的报信号途总能天量，(3-24阁)6.祸4功率殿谱分泰析及友应用沿频菜率轴赛的能面量分壶布密流度2.自谱漏和互遭谱(1微).自谱魂定义Sx(jf)包含早着Rx(τ)的全疗部信合息。Rx(τ)为实细偶函院数，Sx(jf)也为带实偶货函数连。(3-25奋)(3-26羊)(2唐).互谱傲定义Sxy(jf)保留项了Rxy(τ)的全闸部信副息Rxy(τ)为非匙奇非海偶函职数，奸因此Sxy(jf)具有驼虚、够实两颜部分(3-27伸)(3-28顾)(3-26睛)(3-29事)所以信号x(t)的功垫率(3-30轰)无数粒不同套频率普上的捉功率闲密度1）(3-31厕)(3-4)(3辛).自谱彻的物东理意职义Sx(jf)自功凳率谱侦密度葛函数(3-25墙)自功碰率谱接密度扁函数裕是偶函点数，它傻的频闭率范端围是(-随∞,膜∞膛)，又梢称为双边功率够谱密接度函悼数。单边朴谱和熄双边径谱可用臂在(0早,炒∞)频率峡范围摄内的单边功率丙谱密叛度函彼数来民表示慈信号吗的全珍部功偿率谱叛，即(3级-3选2)2）3)自功屋率谱匀密度杏函数Sx(jf)和幅畏值谱X(jf)的关披系信号谱的平蓝均功婆率(3亦-2剑4)(3爱-3跪1)(3愿-3钻2)(3钉-3锐3)(3旅-3鄙4)直接鱼对时妖域信厌号作形傅立号叶变闪换来老计算桥功率铃谱1)求系丧统幅弹频特侄性|H(jf)|理想吐单输走入、方输出落系统Y(jf)=H(jf)猛·X(jf)Sy(jf)=渗|H(jf)猎|2·Sx(jf)Gy(jf)=云|H(jf)避|2·Gx(jf)Sxy(jf)=H(jf)市·Sx(jf)可以碌证明(3-35灵)(3-36弱)(3-37罩)式(3成-3众5)和(3废-3克6)表明吨：通过踩输入扰、输棕出的自谱分析饭，就规能得丛出系恐统的燃幅频府特性苏，不惨能得剧到系输统的袄相频堂特性由式(3幼-3首7)可知皆：从输兆入的死自谱肆和输服入、夏输出恩的互谱就可非以得眉到系天统的蓝频率尺响应端函数所得浊到的H(jf)不仅护含有幅频傲特性而且剖含有相频侧特性(3痰).功率湾谱的迷应用2)互谱趴排除桂噪声业影响受外翼界干桥扰的少系统系统旦的输平出y(t)为输入x(t)和噪梦声n’1(t兄)、n’2(t贡)和n3(t想)是独卡立无截关的互相货关函眉数勒、真和陶均第为零所以式中片，H(jf)=H1(jf)·H2(jf)(3-38娘)输入x(t)和输柳出y(t)的互念相关通函数朝为(3-39犬)(3-40洋)(3-41种)评价歇测试犯系统适的输唐入信辛号与抛输出糊信号缝之间券的因搁果关玩系，判断览系统锤中输踏出信右号的功率斥谱中有孟多少挽是所革测输训入信联号所厅引起捡的响插应用相楚干函遣数表局示(3-42熊)γ2xy(jƒ)=疏0：输乓出、嗓输入挤信号姥不相扰干γ2xy(jƒ)=裁1：输晴出、水输入初信号融完全课相干γ2xy(jƒ)英∈[0，1]：有盘如下馅三种绵可能①测试颤系统炊有外敲界噪兽声干略扰；②输出y(t)是输区入x(t)和其备它输乎入的场综合结输出观；③联系x(t)和y(t)线性圣系统片是非刘线性述的.3.相干话函数若系固统为盆线性立系统(3-41抢)Sy(jf)=肌|H(jf)全|2·Sx(jf)(3-35伴)(3-42束)表明魄：对裹于线井性系蒸统，涂输出社完全黑是由丽输入笔引起后的响昌应船用区柴油页机润聪滑油小泵压贩油管哨振动临和压屑力脉昆动间陈的相败干分贿析油压携脉动抬自谱油管考振动赚自谱相干头函数肢的应摆用▲设y(t灾+τ)是y(t)时延τ后的笨样本榜，对段于x(t)和y(t仆+τ)的相盾关系撞数简写尚为ρxy(τ)(3-1)(3-2)相关置函数拌和相间关系燃数返回例1：求权正弦螺函数x(t)＝x0Si员n(贼ωt+φ)的自滩相关很函数描。正弦搏函数正弦度函数凳的自秧相关懒函数(3-14胆)它保敬留了柔变量x(t)的幅古值信睛息x0和频零率ω信息呜，但网缺丢婆掉了泄初始朱相位φ信息注。自相浙关函州数的存性质返回5）两个不同谊频率的周清期信娱号，盐其互纱相关完函数脸为零x(t)＝x0Si仗n(容ω1t+θ)，y(t)＝y0Si窗n(兽ω2t+θ-术φ)互相异关函踢数Rxy(τ)的性善质返回(3-20握)两个同频戏率正弦副函数伏的互泊相关羽函数Rxy(τ)：求x(t)＝x0Si腰n(尼ωt+θ)，y(t)＝y0si续n(统ωt+θ-线φ)互相再关函销数Rxy(τ)互相吼关函英数不泛仅保今留了悉两个镰信号渠的幅较值x0、y0信息握、频哈率ω信息也，而婶且还匹保留捆了两较信号商的相避位φ信息返回(3-21椅)6)两个同频愤率正辞余弦函数不相黄关x(t)＝x0Si届n(组ωt)，y(t)＝y0co挂s(颈ωt)返回(3-22祖)自相针关函命数互相拘关函剥数(3-43拖)(3-44橡)自相爸关函拼数互相椒关函介数有限程时间锐内观宗测得习到的吩样本厕函数描的平康均值有限道长采体样的肢序列薪点N的数景字信狠号(3-45暂)(3-46岸)相关旺函数婆估计1）根据组原始奸信号幻玉计算态相关健函数何，然欲后进逢行傅密立叶贸变换(3-25轻)(3-27肺)2）模拟鼻方法(3-33盟)中心敲频率戚为ƒ、带页宽为B的带物通滤馆波器贞滤波杨后的哗时域专信号乓：(3-31朝)因此颂，进时行功坊率谱肯估计呆时：自谱学的模绸拟分册析原臣理框杰图互谱延估计(3-32映)(3-47炸)3）数学