第四章积分变换法

第四章积分变换法4.1傅立叶变换的概念和性质4.2傅立叶变换的应用4.3拉普拉斯变换的概念和性质4.4拉普拉斯变换的应用定义：假设I

是数集(实数或者复数)，K(s,x)为上的函数,这里[a,b]为任意区间。如果

f(x)在区间[a,b]有定义,且K(s,x)f(x)为[a,b]上可积函数,则含参变量积分定义了一个从f(x)到F(s)的变换,称为积分变换,K(s,x)为变换的核。常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。

4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换

记作：假设f(x)

在上有定义，在上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限个第一类不连续点，则函数称为f(t)的傅立叶变换。即是区间上，核为的积分变换

4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶逆变换定义为：记作：当f(x)满足上述条件时，有傅立叶积分定理：

t是连续点t是第一类间断点特别的，当f(x)连续时

4.1傅立叶变换的概念和性质傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质：设f,g是绝对可积的函数，为数

2)微分运算性质

4.1傅立叶变换的概念和性质3)对傅立叶变换后的函数求导数4)卷积性质设f(x)，g(x)

在上绝对可积,定义卷积：

4.1傅立叶变换的概念和性质5)乘积运算

傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。6)平移性质

4.1傅立叶变换的概念和性质思考：对于u(x,y),若以y

为参数,对x

作傅立叶变换由傅立叶变换的线性性质同理,是参数

4.1傅立叶变换的概念和性质4.2傅立叶变换的应用例用积分变换法解方程：解：由自变量的取值范围，对x进行傅立叶变换，设那么方程转变为

4.2傅立叶变换的应用解得为了求出原方程的解,下面对关于进行傅立叶逆变换.t是参数！

4.2傅立叶变换的应用例用积分变换法解方程：解：作关于的傅立叶变换。设方程变为

4.2傅立叶变换的应用可解得而则上式两边关于x作逆傅立叶变换，得

4.2傅立叶变换的应用

4.2傅立叶变换的应用例赴用积沈分变烤换法米求解张初值赛问题来：解：生作关逝于x的傅户立叶黑变换耻。设t是参斯数4.充2傅立岭叶变寒换的馒应用于是攻原方璃程变拳为满足捕初始松条件4.水2傅立舰叶变馅换的升应用的通串解为由初芦始条省件ω是参户数解常附微分吧方程判：4.责2傅立防叶变摔换的例应用取傅输立叶田逆变隙换，来得其中盈：注意燃到而4.康2傅立建叶变赌换的再应用所以取傅立叶逆变换，得t是参强数4.跃2傅立落叶变洁换的涛应用所以取傅立叶逆变换，得t是参刑数4.尼2傅立狭叶变滔换的没应用4.青3拉普南拉斯丛变换星的答概唱念和骂性质拉普亚拉斯秧变换傅立叶变换要求函数f

在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间t

为自变量的函数在区间也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为（单挥边）迅拉普挠拉斯棋变换愈：4.钻3拉普附拉斯雀变换底的概华念和腹性质在复参数p

的某个区域内收敛。（单边）拉普拉斯变换对函数f(t)的要求：定理：若函数f(t)满足下列条件：在任意有限区间上分段连续的增长速度不超过一个指数函数，即则：的Laplace变换在半平面存在。4.丹3拉普踢拉斯统变换杨的概寺念和甜性质基本蜻性质绍：1)基本灶变换:4.秤3拉普鹿拉斯边变换就的概缴念和角性质2)线性恰性质3)微分济性质若则4.搭3拉普凑拉斯堆变换辨的概陕念和细性质4)积分耍性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导4.亚3拉普棚拉斯饭变换览的概眯念和娇性质8)卷积性质应用：拉毙普拉探斯变泄换既止适用雾于常劲微分斩方程(如P3踏8),也适邪用于响偏微妈分方酬程。4.舟3拉普轨拉斯抽变换相的概勿念和蛛性质例解常宾微分爆方程浊的初段值问粉题:解：对t进行刻拉普蔽拉斯器变换,设则原帝方程谨变为4.途3拉普页拉斯平变换女的概和念和组性质对p进行叔拉普工拉斯某逆变鼠换,考虑果到有4.缩慧3拉普奇拉斯如变换购的概访念和烛性质例隶设桂，呜求解宝常微月分方近程的忠初值迟问题:解拢对僚进行牢拉普微拉斯挡变换,设,则4.植3拉普寺拉斯塘变换屋的概卧念和籍性质于是降原方复程变赞为由上鹿式得:对断进醋行拉先普拉术斯逆终变换,得4.仙3拉普悦拉斯胃变换音的概烈念和搬性质拉普大拉斯雀变换插的反察演公浅式：4.苗3拉普路拉斯谋变换创的概榆念和堡性质利用走留数找基本味定理为，可滩得4.孙3拉普菊拉斯建变换冈的概检念和爪性质4.陕3拉普仍拉斯惯变换顺的概眯念和亭性质4.替3拉普摧拉斯仔变换忘的概宾念和酬性质4.赢4拉普隐拉斯炒变换忆的应举用例：设x>0,半y礼>0,求解蛛定解鲜问题解：对y进行挎拉普答拉斯拌变换今。设则方盐程变炭为：4.似4拉普涂拉斯赠变换豪的应扶用而变为

解OD遮E:对p取拉太普拉胞斯逆封变换误，得4.哪4拉普个拉斯味变换坑的应惯用解默问题接归结姥为求念解下派列定丢解问延题:例靠一撕条半逢无限砌长的脑杆，微端点房诚温度怀变化胜已知查，杆畏的初羽始温劝度为0，求勺杆上落温度晌分布树规律攀。对t进行断拉普适拉斯伶变换怎么卖变换与？为什邻么？知道的值了4.唉4拉普裂拉斯业变换交的应臂用分析由于姑，故踢不能瓶用傅膨立叶波变换历，而伐要用头拉普潜拉斯兴变换卫。如念果对御进行司拉普名拉斯况变换省，由炮于方隔程中技出现泥了,在变君换中柿需要奶知道哪以及堤的值碰；如氏果对进行挂拉普济拉普肝拉斯盟变换扮，由离于方炸程中羽出现葵了屡，在跑变换罪中需针要知休道会。荒因此虹，我膝们对透进行虑拉普响拉斯蒜变换。4.智4拉普屑拉斯拔变换块的应咬用对t进行晕拉普猾拉斯嘴变换骂，设于是雀方程架变为这是改二阶虽常微唯分方颂程的葵边值爽问题圣，它范的通皆解为二阶赔方程园，但惜是仅心有一类个边殊界条赏件！冤需要跪引入茎自然满边界葵条件.4.蓝1傅立围叶变遵换的敌概念校和性恳质4.梅4拉普消拉斯损变换棕的应覆用考虑鲜到具柴体问尊题的幼物理茎意义帜：u(x,贫t)表示或温度内，从而D=生0.再由边值条件可知，C=F(p).

为求债出u(x,凯t),在上弱式中姐对p进行侦拉普殃拉斯闭逆变断换4.档4拉普蹈拉斯伴变换姑的应塑用由拉考普拉伟斯变扇换表岩知，4.谋4拉普傍拉斯闷变换伪的应堪用4.午4拉普谜拉斯示变换体的应冰用积分魄变换蒙法求粗解定肺解问目题的深原则邪和步仙骤：1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是，拉普拉斯变换要求取值范围是3)注意定解条件的形式。假如对x进行拉普拉斯变换，而原方程是关于为x的k

阶方程，则定解条件中必须出现2）傅结立叶税变换逃要求僚原象桑函数表在R上绝萄对可脚积,许多洁函数愿不能茅作傅自立叶跌变换数学心物理扣方程+定解巧条件解常微累分方找程+定解松条件解积分凤变换逆变吗换选取哭恰当亦的积他分变示换，近对某颗个（