《自动控制原理简明教程》第五章 频率响应法

第五章频率响应法5.1频率特性5.2典型环节和开环频率特性5.3奈奎斯特判据5.4稳定裕度5.5闭环频率特性EndA(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。

基本概念（物理意义）5.1

频率特性在正弦输入信号的作用下，线性定常系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。

例子R1C1i1(t)

幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。

常用于描述频率特性的几种曲线

对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线），其横坐标采用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作dB，对数相频曲线的单位是度。

对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。

一典型环节

比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0

5.2

典型环节和开环频率特性积分环节：1/s微分环节：s振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<15.2.1幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制

二典型环节的频率特性及开环系统频率特性的绘制方法（1）在熟练掌握典型环节频率特性的基础上，绘制开环系统幅相频率特性的一般步骤为：①写出开环系统的幅频特性、相频特性及实频特性和虚频特性；②利用幅频特性和相频特性求出和时的幅值和相角，确定幅相频率特性的起点③利用实频特性和虚频特性求出幅相频率特性与实轴和虚轴的交点（包括交点对应的频率），特别是与实轴的交点对于系统稳定性的判别有重大意义。

④按顺时针方向，从起点开始，中间通过几个关键点到达终点。

开环幅相曲线的绘制（2）绘制开环系统对数频率特性的一般步骤为：①将系统的开环传递函数分解为若干典型环节相乘的形式；②画出每个典型环节的对数频率特性曲线和；③分别对它们进行代数相加，即可得到开环系统的对数频率特性曲线和。

比例环节k

j0图比例环节K的幅相曲线·

0020lgK

(dB)(o)ωω111010图

比例环节的

对数频率特性曲线比例环节的频率特性是G(jω)=K比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0

相应曲线如上图。积分环节0

ω

图积分环节的幅相曲线

j

图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω积分环节的对数幅频特性是L(ω)=-20lgω,而相频特性是φ(ω)=-90o。jω

ω=0

0图5.7微分环节幅相曲线微分环节

G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

一阶微分环节G(s)=Ts+1

G(s)=1/(Ts+1),惯性环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T图5.91+jT和1/(1+jT)的对数坐标图

(o)90-9000.1110ω-1/Tjp0(a)θjω+1/T图5.8

惯性环节极点—零点图(a)和幅相曲线(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T

(b)Kω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

G(s)=Ts+1，振荡环节

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)图5.10一阶微分环节的极点—零点图(a)和幅相曲线(b)G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]图5.11振荡环节的幅相曲线采用描点法作出振荡环节的幅相频率特性曲线如图5-12所示。可见，当ω由0→∞时，振荡环节的幅频特性A(ω)从1→0,相频特性φ(ω)由0°→-180°。另外，当ω=ωn时，A(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-90°。说明当ω=ωn时，曲线与负虚轴相交，且阻尼比ζ越大，交点越靠近原点。

由于阻尼比ζ的取值范围不同，A(ω)将会表现出不同的特点，如图5-13所示。ω<<ωn时L(ω)≈0

ω>>ωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)10110图5.12

振荡环节的对数坐标图ω/ωn

0.1(dB)1040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20(a)(b)系统开环对数频率特性图的绘制系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式，即G(s)H(s)=G1(s)G2(s)...Gn(s)

系统的开环频率特性为则系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为(3)绘制起始段0<ω<ω1的开环对数幅频特性。(4)绘制其他频段的开环对数幅频特性，从低频段画起,每遇到一个转折频率对数幅频特性曲线转折一次。绘制步骤如下：(1)将开环频率特性写成典型环节相乘的形式,并求出各典型环节的时间常数。(2)从小到大按顺序计算各环节的转折频率1/Ti，若T1>T2>T3>...,则有ω1<ω2<ω3<...。惯性环节：-20dB/dec；振荡环节：-40dB/dec；一阶微分：+20dB/dec二阶微分环节：+40dB/dec。(5)绘制对数相频特性曲线。逐个作出各典型环节的对数相频特性曲线并进行叠加就可以得到系统开环对数相频特性曲线。当然，也可以直接计算φ(ω)。通常采取求出几个特定值的办法，如φ(0),φ(1),φ(10),φ(∞)等，从而得到相频特性曲线的概图。20根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线例5.1

系统开环传函为,试绘制系统的Bode曲线。一般的近似对数幅频曲线有如下特点：

1.最左端直线斜率为-20ν·dB/dec,这里ν是积分环节数。2.在ω等于1时，最左端直线或其延长线(当w<1的频率范围内有交接频率时)的分贝值是201gK，最左端直线(或延长线)与零分贝线的交点频率，数值上等于K1/ν。

3.在交接频率处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类.在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec解：例5.2已知单位反馈系统的开环传递函数试绘制该系统开环对数频率特性曲线。已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。例5.35.2.3最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。

最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。例5.4系统开环特征式和闭环特征式的关系闭环系统的稳定性取决于闭环特征根在s平面的分布。要由开环频率特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性和闭环特征式的关系。以单位负反馈系统来讨论，如果系统开环传递函数为G(s)，那么该系统的闭环传递函数为5.3

奈奎斯特判据其中，N(s)及［N(s)+M(s)］分别为开环和闭环的特征式。以二者之比构造辅助函数：由于F(s)与开环传递函数G(s)只相差常量1，因此F(jω)=1+G(jω)的几何意义为：［F(jω)］平面的坐标原点就是［G(jω)］平面的(-1,j0)点，如图所示。F(s)的分母和分子均为s的n阶多项式，也就是说，特征函数F(s)的零点和极点的个数是相等的。

特征函数F(s)的极点就是系统开环传递函数的极点，特征函数F(s)的零点则是系统闭环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的条件，要使闭环控制系统稳定，特征函数F(s)的全部零点都必须位于s平面的左半部分。不同的s值对应不同的特征函数F(s)的值。特征函数F(s)的值是一个复数，可以用复平面上的点来表示。用来表示特征函数F(s)的复平面称为F平面，如图(b)所示。从图可以看出，在s平面上的点或曲线，只要不是或不通过F(s)的极点[如是，则F(s)为∞]，就可以根据式求出对应的F(s)，并映射到F平面上去，所得的图形也是点或曲线。2．幅角原理和公式N＝P-Z在图(a)的s平面上任取一条封闭曲线C，并规定封闭曲线C不通过F(s)的任何零点和极点，但包围了F(s)的Z个零点和P个极点[如图(a)的(i＝1,2，…，Z)和(j＝1，2，…，P)，图(a)中的和是不被封闭曲线C包围的F(s)的n-Z个零点和n-P个极点，则曲线C在F平面上的映射是一条不通过坐标原点的封闭曲线，我们用来表示，如图(b)所示。当s平面上的变点s(见图(a))从封闭曲线C上的任一点(设为A点)出发，沿曲线按顺时针方向移动一圈时，矢量和的幅值和相角都要发生变化。F平面上对应的映射点F(s)也将从某一B点出发[见图(b)]按某种方向沿封闭曲线移动并最终又回到B点。F平面上的映射曲线——封闭曲线按什么方向(顺时针还是逆时针方向)包围坐标原点，以及包围原点的次数是多少?这是要研究的问题。

在F平面上，从原点到曲线上的点B作矢量F(s)，如图(b)所示，则上述问题可根据幅角原理对下列F(s)的表达式进行计算而得到解答由上式可求得矢量F(s)的幅角是

当变点s在s平面上沿封闭曲线C顺时针方向移动一圈时，被曲线C包围的每个零点和每个极点到变点s的矢量和的幅角改变量均为3600(顺时针改变的角度为正)，而所有其他不被曲线c包围的零点和极点的矢量和的幅角改变量均为00，所以矢量F(s)的幅角改变量为

式中P——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的极点数；

Z——被封闭曲线C包围的特征函数F(s)的零点数。

矢量F(s)的幅角每改变3600(或-3600)，表示矢量F(s)的端点沿封闭曲线按顺时针方向(或逆时针方向)环绕坐标原点一圈。而上式表明，当s平面上的变点s沿符合前述条件的封闭曲线C按顺时针方向绕行一圈时，F平面上对应的封闭曲线将按顺时针方向包围原点(Z-P)次。这就是上面提到的要研究的问题的解答，这一重要性质可概括为如下的公式N＝Z—P

式中N——F平面上封闭曲线包围原点的次数；

P——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的极点数；

Z——s平面上被封闭曲线C包围的F(s)的零点数。当N＞0时，表示F(s)端点按顺时针方向包围坐标原点；当N＜0时，表示F(s)端点按逆时针方向包围坐标原点；当N＝0时，是F(s)端点的轨迹不包围坐标原点的情况。上式也可改写成Z＝P+N上式表明，当已知特征函数F(s)的极点[也即已知开环传递函数G(s)H(s)的极点]在s平面上被封闭曲线C包围的个数P及已知矢量F(s)在F平面上包围坐标原点的次数N，即可求得特征函数F(s)的零点(也即闭环传递函数的极点)在s平面被封闭曲线C包围的个数。式Z＝P+N

是奈氏判据的重要理论基础。

3．奈氏轨迹及其映射为了使特征函数F(s)在s平面上的零、极点分布及在F平面上的映射情况与控制系统稳定性分析联系起来，必须适当选择s平面上的封闭曲线C。为此，我们选择这样的封闭曲线C：使封闭曲线C包围整个右半s平面。因此式Z＝P+N

中的P值就是位于右半s平面上的开环传递函数的极点个数，而由此式计算得到的Z值就是位于右半s平面上的闭环传递函数的极点个数，对于稳定的控制系统来说，显然Z值应等于零。包围整个右半s平面的封闭曲线如下图5—17所示，它是由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成。变点s按顺时针方向移动一圈，这样的封闭曲线称为奈奎斯特轨迹。奈奎斯特轨迹在F平面上的映射也是一条封闭曲线，如图5—18所示。对图5—17的整个虚轴，因为s＝jω，所以变点在整个虚轴上的移动相当于频率ω从-∞变化到+∞，它在F平面上的映射就是曲线F(jω)(ω从-∞→+∞)。对于不同的开环传递函数G(s)H(s)及其开环频率特性G(jω)H(jω)，就有不同的F(jω)曲线[F(jω)＝l十G(jω)H(jω)]。在图5—18中，对应ω＝0→∞的曲线用实线表示，对应于ω＝-∞→0的曲线以虚线表示，它们对实轴是对称的。对于图5—18s平面上半径为∞的右半圆，映射到F平面上的特征函数F(s)为F(∞)＝l十G(∞)H(∞)因为一般开环传递函数G(s)H(s)的分子阶数m小于分母阶数n(即)，所以G(∞)H(∞)常为零或常数,所以F(∞)＝1或常数。这表明，s平面上半径为∞的右半圆，包括虚轴上坐标为j∞和-j∞的点，它们在F平面上的映射都是同一个点，即如图5—18上的点D。综上所述，判别闭环系统是否稳定的方法可以这样来描述：s平面上的奈氏轨迹在F平面上的映射F(jω)，当ω从-∞变到+∞时，若逆时针包围坐标原点的次数N等于位于右半s平面上的开环极点个数P，即Z＝P+N＝0，则闭环系统是稳定的，因为Z＝0意味着闭环系统的极点没有被封闭曲线(奈氏轨迹)包围，也即在右半s平面没有闭环极点，所以闭环系统是稳定的。F平面上的曲线F(jω)如果整个地向左平移1个单位，便可得到GH平面上的G(jω)H(jω)曲线，这就是系统的奈氏曲线图，

F(jω)向量对其原点的转角相当于G(jω)曲线对(-1,j0)的转角。因此，奈奎斯特稳定判据可表述为：若系统开环传递函数有p个右极点，则闭环系统稳定的充要条件为：当ω由-∞→∞时，开环幅相特性曲线G(jω)逆时针包围(-1,j0)点p次；否则，闭环系统不稳定。若p=0，则仅当G(jω)曲线不包围(-1,j0)点时闭环系统稳定。如果当ω由-∞→+∞时，开环幅相特性曲线G(jω)包围(-1,j0)点N次（顺时针包围时，N>0；逆时针包围时，N<0），则系统闭环传递函数在右半s平面的极点数为Z=p+N

要使系统闭环稳定，即F(s)的零点必须全部位于s平面的左半部，也就是说Z=0。如果开环传递函数G(s)中含有ν个积分环节，则应从绘制的开环幅相特性曲线上ω=0+对应点处逆时针方向作ν90°、无穷大半径圆弧的辅助线，找到ω=0时曲线G(jω)的起点（见图5-22），才能正确确定开环幅相特性曲线G(jω)包围(-1,j0)点的角度。图5-22有积分环节时的开环幅相特性曲线(a)ν=1;(b)ν=2;(c)ν=3例5.4

判断以下系统的闭环稳定性。从=0+开始，逆时针补画90°、半径为无穷大的圆弧。(1)（a）、（b）、（e）3个系统的开环幅相曲线包围(-1,