数学建模讲座B题

数学建模竞赛案例选讲重庆邮电大学主讲：鲜思东mathxian@CUMCM-2007B赛题分析应用数学与数学建模-----建模及建模竞赛的意义竞赛评阅标准-----一般原则及主要问题优化模型的创新-----2007B题分析数学知识数学技巧数学应用数学发现……应用数学数学技术数学实验……随机数学代数与几何微积分……数学美学数学哲学数学精神数学素质数学文化数学：几个层次的理解应用数学与数学建模-----建模及建模竞赛的意义数学建模：实际与数学之间的桥梁实际问题数学MathematicalModeling

现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)数学建模的全过程美国MCM+ICM竞赛规模我国CUMCM竞赛规模学生欢迎：“一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同企业界的认同／赞助教育改革同行的认同：“成功范例”国际同行的认同竞赛的反响IBM中国研究中心-招聘条件Positiontitle:BusinessOptimization(BJ)

1．Backgroundinindustrialengineering,operationsresearch,mathematics,ArtificialIntelligence,managementscienceetc.

2.Knowledgeinnetworkdesign,jobscheduling,dataanalysis,simulationandoptimization

3.Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus

4.Experienceinindustryisaplus

5.Experienceineclipseorprogrammingmodel/architecturedesignisaplus

--Feb.18,2006,/cn/ibm/crl/careers/condition.shtml竞赛的反响（一例）CUMCM评阅标准清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领

表达严谨、简捷，思路清新格式符合规范，严禁暴露身份创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度；好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的合理性：关键假设；不欣赏罗列大量无关紧要的假设竞赛评阅标准-----一般原则及主要问题CUMCM评阅标准:一些常见问题有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂有的队罗列一系列假设或模型，又不作比较、评价，希望碰上“参考答案”或“评阅思路”，弄巧成拙数学模型最好明确、合理、简洁：有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况，实际上是用“凑”的方法给出结果，虽然结果大致是对的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代从论文评阅看学生参加竞赛中的问题吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题；就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的方法，导致错误；对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献);队员之间合作精神差，孤军奋战；依赖心理重，甚至违纪（指导教师、网络）。参加竞赛前的准备了解竞赛章程等相关信息；掌握数学建模的基本方法（学过“数学模型”或“数学实验”课最好，自学一些基本内容也可以）；掌握基本的数学软件（Matlab/Mathematica；LINGO；如能掌握SAS统计软件更好）；训练规范的科技论文写作/表达能力(摘要、正文、优缺点、参考文献及引用等);试做几道以前的赛题；培养合作精神。优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件约束条件决策变量优化问题的一般形式目标函数有人统计：优化问题占CUMCM赛题的一半以上（1/3~2/3）创新能力培养-----2007B分析建模时需要注意的几个基本问题

1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数等3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数（如x/y<5改为x<5y）4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)优化建模如何创新？方法1：大胆创新，别出心裁----采用有特色的目标函数、约束条件等----你用非线性规划，我用线性规划----你用整数/离散规划，我用连续规划/网络优化----……方法2：细致入微，滴水不漏----对目标函数、约束条件处理特别细致----有算法设计和分析，不仅仅是简单套用软件----敏感性分析详细/全面----……20剖07涂B命题漂背景奥运嚼相关骄的题喷目：(时代湖特性,社会扁关注昂）让运惨动员末及时孕到达狠场馆浊（车骡辆调重度，膏路径级安排沫等）应急楚管理深（紧尊急疏胳散，赖应急领调度谅等）赛程渣安排漆（单蜜一项椒目，漫多个捧项目碌）成绩床排名拿（如朵循环却赛，桑体操岗或跳浸水等钩）技术欺类，顽如“厘刘翔获的运宪动鞋青”乘公保交，肝看奥揪运：概原名搅“自朽动问摄路机取”方沛责辰（笔吉大忧），通吴孟螺达（夜国防迎科大紫）提据出原拟孤作乙洗组题症，似挖乎难夕度太蹈大命题发背景定位院：公悠交路嫂线选伯择（丹查询道）模汽型与常算法如何孔给数正据？抽象浑数据殖／实闪际数蛙据？舍（减沈小规挎模，鄙不给宇地理菊信息去）貌似疲简单陶，实鞭则不丑然数据洞处理虏（转档换）动方面瓜有一德定难标度换乘戚次数挪多时属简单课搜索顷不易托（计享算复形杂度责高）换乘漂时间归／步针行时拥间等妖需要敢考虑漂周全标准菠的最鸽短路潜算法酷（如Di书jk世st像ra算法苍）并养不适敌用乘公纺交，捧看奥筹运公交获线路冶选择词问题嗓的自菜主查问询计稻算机屋系统穗：核猴心是涛线路榜选择短的模型嫂与算索法应该向从实际持情况泥出发考虑崖，满喘足查订询者慌的各种茄不同无需求1:仅考债虑公逆汽线盆路，卧给出垦任意北两公队汽站叉点之帜间线躲路选的择问喉题的一般数学架模型载与算蛇法2:同时校考虑受公汽苹与地垒铁线凝路，橡解决片以上聋问题3:假设士又知易道所殖有站扒点之董间的负步行连时间肉，给门出任音意两突站点蛋之间巩线路失选择头问题邪的数秤学模刑型【附录1】基本掀参数循设定相邻适公汽贩站平齐均行沫驶时庄间(包括劫停站野时间)：3分钟相邻南地铁凝站平棉均行腐驶时何间(包括蝴停站英时间)：2.微5分钟公汽圾换乘桨公汽蜘平均暴耗时舌：5分钟(其中腐步行向时间2分钟)地铁亡换乘真地铁不平均箱耗时浴：4分钟(其中扎步行炼时间2分钟)地铁欲换乘嚷公汽踢平均速耗时虾：7分钟(其中雨步行卫时间4分钟)公汽结换乘荣地铁司平均雪耗时必：6分钟(其中缺步行搅时间4分钟)公汽猴票价遮：分奸为单须一票昌价与姨分段乌计价菠两种存，标究记于打线路嘉后；清其中违分段料计价巡寿的票拐价为洗：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以屋上：3元地铁鸡票价破：3元（掏无论侵地铁说线路凑间是淘否换麦乘）推论固：换殖乘公照汽等御待３明分钟植，换薯乘地朱铁等在待２疏分钟【附录2】公交番线路浙及相落关信小息筒（见务数据轨文件哑）线路绣数据遵中的计问题线路窄数据塌中的夫异常脉或不针明确拌之处食，同筹学可蹲根据用自己挣的理解作出假设和处劝理，赤一般仗不会宴影响玻实例杨的计旱算结陡果个别评线路不相邻怠站点司名相葛同，脸可去没掉其膝中一氏点或夫不作撞处理去等L4闭06未标荐明是杏环线锄，是绑否将剪其当喇作环熟线处瘦理均贸可L2作90标明走是环看线，肥但首部尾站寺点分关别为14蹈77与14鼻79，可崭将所闭有线挽路中14岭77与14原79统一耗为14牧77后计织算。泥同学输也可舍以按脖照各纷自认军为合准理的扯方式贸处理库，包宗括不悼当作戴环线染，或烈将14龙79改为14蔽77，或恼在14凯79后增献加14遥77，等表等如果芳在假种设中棍有明耽确约戏定，兵则环具线单恩向或君双向火发车挖均应宵认可稍（按验单向篇发车加作假烘设，肤计算挖结果庆可能呀差些丛）对通章过地晶铁换她乘的志理解“假辩设同友一地随铁站誓对应次的任番意两划个公仙汽站珠之间及可以伶通过血地铁灵站换乞乘(无需柔支付餐地铁书费)”步行致：公证汽站地铁寄站（剪通道吊）公汽王站换乘知耗时11冈mi纽奉n：步并行4+酒4=束8m维in炮;等车3m亲in第１糠问（到只考诱虑公饺汽）浩：可史不考勉虑以亭上换盆乘有同毛学也照考虑园了如棉上换躲乘，泪只是截不坐仿地铁巾，应包该也寒可以此样即处理遥时，薄第１盼问和唐第２伴问的巩难度恒相近模型李的目压标多目抛标优讽化问饼题（至会少考丧虑三泪方面厨）换乘仗次数土最少(N寨)、费堂用最附省(M露)、时引间最稠短(T贿)从该腔问题赌的实槽际背音景来拍看，加权太合现适不少况同学范用层欲次分罢析法钉确定膏权不少始同学粪计算某时间侮的价苹值（垄平均迅收入伍／工叔作时旋间）不同蚀目标组合的模习型三个否目标仁按优侄先级疑排序案，组骡合成原六个悉模型也可似将某册些目曾标作厘为约虽束多数踪蝶队仅采用片搜索若法（70陈-8贼0%卫?）直达络；感一阔次换睡乘；盼二题次换干乘；…ststst求出等所有斧线路沈；评扁价其打目标(容易浇计算)；选重优多数驴队仅采用晕搜索孤法总体警来看量，技项术含鸽量较垦低（息基本晨上是辰枚举事）几乎奸没有搅建模冒，完银全只抓有算店法实幼现，铸算法璃也没钥什么门创新一般唇只考右虑不挤超过逃两次厘换乘不少蛋文章顾引用冷参考甚文献猛作为贯依据宝，实灶用中爹似乎间够用题目捉难度俗大大需降低纹，模徒型不甜够一般换乘鹊作为疏了第一竹目标，或稀作为扁一个最重蔬要的描约束任意捏次换洽乘时平算法耕复杂割度提供高，涛难以宵处理结果萍不佳艳（如膀：从音省时蛙考虑榨，有蹲些需钱３－疤４次融换乘丈）图论贷模型吐与最锅短路因算法用图犯论做怖的队盆也不刚少，轻但往晶往考荡虑不绣周弧上金赋权赵方式雅交代容不清套用Di夸jk贵st巴ra或Fl胖oy映d-Wa蚁rs旬ha闭ll算法唉，却健不清登楚其响原理凭及适抹用的芝问题需要犹建立脏一个痛带权或有向景图，曾节点傻表示壶站点陕，有勿向弧妻表示泼前一签站点徐能够屿直达民后一很站点仙，弧将上的蜜权表寨示前派一站充点直钟达后宫一站查点所掌需付哨出的诉代价(时间分或费词用)图（脆网络桂）如严何描割述和卷表示红？基本冬要素卖：节锋点，假有向找弧（约边）君，弧影上赋雅权邻接淡矩阵围；关淹联矩山阵（惨数学保上处秒理方洁便，盯存储询量较动大）链表络（存每储量森较小费，计崇算机公上处扩理方沈便）关联锋矩阵(I疼nc棵id勇en敲ce攻M范at坦ri涝x)表示安法在线泳路选穿择问然题中皇，当剃从i可直弊达j时，惨定义鲜弧(i,让j)；其跟上的魄权可拥为１久或成涝本(时间背或费亭用)；多揪重弧惜可只荣保留贿一条肠（弧司上的给权可特取最蛛小的兴成本来，如絮时间岸或费励用）G=(V，A)是一委个简于单有繁向图惊；|V|=n，|A|=m重要键数学盾性质咬：关联末矩阵纳是全根幺模形矩阵图G=(V，A)的邻佳接矩筛阵C是如萝下定挑义的烛：C是一槐个在的说矩阵古，即邻接素矩阵(A裕dj急ac磨en锅cy照M集at睡ri之x)表示哭法图G=(V，A)的邻冶接矩按阵C是如闲下定循义的片：C是一爬个姥的0-勒1矩阵匀，即在线观路选形择问灯题中踢，当雨从i可直休达j时，绍定义拦弧(i,叛j)；其晓上的恨权可棋为１惯或成监本(时间袋或费间用)G=(V，A)是一菜个简察单有拳向图张；|V|=n，|A|=m有向蛇图的专“传薯递闭幅包算骂法”(可用腐于一肢般二洲元关某系)权取0-痕1时，C(0忧)=C可称肤为直达床矩阵；C(1邮)=C鸣*C为１次可更达矩息阵；C(2硬)=C(1哥)*C为2次可扩达矩非阵；……链表数（邻视接表渔）表送示法122345283904602403053036470单向著链表(指针避数组)A(徒1)虹={进2,堤3}A(鬼2)饲={绩4}A(微3)药={端2}A(剪4)秒={呀3,字5}A(顶5)缓={卖3,绿4}12345Di尽jk纤st始ra算法村（标冲号算华法，19秀59）ST逃EP捐1.如果S=挡V,则uj为节点s到节用点j的最美短路例路长(最短恨路可戴以通旧过数帜组pr泥ed所记绞录的猫信息工反向其追踪萌获得),结束.否则害继续.STEP0.(初始化)令S=，=V，；对V中的顶点j(js)令初始距离标号.

STEP2.从中找到距离标号最小的节点i，把它从删除，加入S.对于所有从i出发的弧,若，则令

转STEP1.特点肉：1.算法孤求出娘从源气点s到所目有点泉的最雾短路际长2.每点索给一唇对标眠号(uj,pr扑edj)，uj是从s到j的最榜短路月长；pr除edj是从s到j的最裳短路卡中j点的兼前一煤点Ex瓦am涝pl董eDi塞jk蒜st置ra算法斜（标麦号设婚定算裳法）适用展于正签费用型网络种：“分羊层”铁设定仓标号永久蹲标号话：S中的贷点，uj是最细短路判长临时地标号壮；其他扫点，uj是只中通过S中的钉点的炭最短劣路长对于稠密网络，这是求解最短路问题可能达到的最小的复杂度,因为任何算法都至少必须对每条弧考虑一次.对于稀疏网络，利用各种形式的堆（Heap），其复杂度可降为或等算法复杂度O(n2+m)：如链表或邻接矩阵实现找最小标号点修改标号特点半：求粘所有您点对考间最兄短路基本善思想养：逐拣步逼断近，朗迭代痰求解歼最短纪路方认程:O(n3)Fl愿oy调d-Wa友rs资ha陆ll算法（标号槐修正茂算法，19壤62展)临时标号是不通过k，k+1，…,n节点(i,j除外)时从节点i到节点j的最短路路长.Fl册oy平d-Wa握rs压ha回ll算法夫的具统体实简现:律O(隆n3)由于绒要记洗录所汤有节兔点之蛋间最浙短路侧的信仿息,所以摧这里访我们蛮要用田一个置二维登数组P；可依收据P,采用谜“正贤向追梁踪”志的方姜式得车到最衫短路.ST主EP尤2：如果k=驰n,结束;否则鸽转ST册EP春1.STEP0:k=0.对于所有节点i和j:令，,(，若节点i和j之间没有弧,认为).

STEP1:k=k+1.对于所有节点i和j:若,令,;否则令,.Fl健oy德d-Wa丽rs渗ha捎ll算法谈的矩阵享迭代在法实祝现：O(刊n4)令D为权咐矩阵(直达而最短党路长)Dm为正旺好经妻过m条弧味从i到j的最馅短路寇长问题1和2的一摇种具耍体建乌模方肌法(赋权)在线蔑路选柔择问竞题中斯，当袋从i可直凳达j时（同为同公汽颈或地哑铁站创点），常定义董弧(i,计j)；其绣上的主权为lij表示录由i直达j付出文的代仓价，签可以凝为时领间或回费用(不包票括换果乘代烫价；毯多条考线路击可达发时只等保留刑最小振代价)初始非等车洞时间2(镜3)志mi故n也不房诚包括危在内壮，最标后结朵果可面加上注意壳：D=前D(0刘)不是肉对称套矩阵(“直达辽矩阵融”)dij(0男)=dij问题地１－旁２的散一种阁具体故建模慰方法i站点配是公棉汽站暑点，j站点辩为地笨铁站朴点：（1）若j站点隔对应贩的所丛有换惠乘(公汽)站点k，均亩不能含从i直达(不在i站点兔所在由公汽凑线路L上)，则dij(0穿)=∞.（2）若j站点肝对应今的换恼乘站幕点(k智),可从i站点探直达k，则朋费用圆为dij(0约)=dik(0房诚)；对当于时天间则册需要加上k到j的步逃行时蒙间.(若有扁多种心选择奔，取哥最小献成本高者即无可)ikj问题卷１－比２的蹄一种岩具体闲建模肆方法j站点揭是公袋汽站乡丰点，i站点领为地醋铁站俱点：（1）若堪从i站点睡对应妥的任帜何换鸟乘(公汽)站点k，均责不能勿直达j站点数，则dij(0导)=∞.（2）若妥从i站点穷对应介的换甘乘(公汽)站点k，能皮直达j站点移，堂则费齿用为dij(0圈)=dkj(0乳)；对目于时寸间则当需要加上i到k的步茄行时诱间.ikj问题槐１－妻２：铲最小白费用该或时慎间定义商矩阵熄算子萍“⊙”如下贤：设A、B均为n阶方衡阵，C睬=伏A股⊙超B舱(考虑换乘夹代价)当考虑费用矩阵之间的运算时，表示在k的换乘时间当考虑时间矩阵之间的运算时，＝０D(k)=角D(k凝-1私)⊙爽D表示k次换司乘的龟最低蒸代价(费用胜或时脏间)该算谷法大蚀体相土当于朝求最粥短路费的Fl形oy拼d-Wa岔rs成ha鼻ll算法伟，但认考虑迎了换迷乘因碧素，文可称乐为改父进Fl歉oy厕d-Wa蜂rs恋ha忘ll算法类似老地,通过民修改Di膝jk临st菌ra算法蔽求解距也可问题拳１－庆２：识最小驰费用辛或时停间δi,咏j,终k表示阴换乘货时间i=j或k=i，j时，δi,局j,缸k=兼0其他洁情形盆：若不军可换道乘(当i，j为公男汽站塌点而k为地扬铁站舱点，户或者i，j为地牵铁站旗点而k为公赌汽站捎点时)，则δi,虾j,乓k=烦0若可掌换乘愤，则k这只吴是等伞待时撇间，绑因为熊步行丝式时间义已在D中考敲虑了ij第３槽问：稳已知推所有导站点慕间步航行时墨间多数贷队没烧有给浮出一握般模称型,而只衰考虑节最多挑一次暂换乘多数编队的欧想法甚：假掉设“丑起点叔步行脏”，壶“换鹊乘步蹦行”厌，“绳终点脉步行列”三倚种模丈式，码限定步行偶最大等时间后搜雀索ikj其他僻：最孔短路溪问题姑的线五性规寒划模朴型xij表示葵弧（i，j）是否锦位于s-坚t路上孝：当xij=1时，反表示甚弧（i，j）位于s-阻t路上夕，当xij=0时，越表示亡弧（i，j）不在s-烦t路上.关联岩矩阵东是全怪么模晕矩阵蛛，因好此0-狸1变量恨可以普松弛