2022年北京市海淀区高考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝（）A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣23．（4分）双曲线﹣y2＝1的离心率为（）A． B． C． D．4．（4分）在（﹣x）4的展开式中，x2的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．45．（4分）下列命题中正确的是（）A．平行于同个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一个平面的两个平面平行 D．垂直于同一条直线的两个平面平行6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为（）A． B． C．1 D．7．（4分）已知角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，且cos（α+β）＝1，则α的取值可以为（）A． B． C． D．8．（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）9．（4分）在△ABC中，A＝，则“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，∞）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③X，Y的取值范围都是（0，，）；④E（X）＜E（Y）．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝．12．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝，a1＝．13．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的一个取值可以为．14．（5分）已知，是单位向量，且•＝0，设向量＝λ+μ，当λ＝μ＝1时，＜，＞＝；当λ+μ＝2时，|﹣|的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）有无数个零点；③f（x）的最小值为﹣；④f（x）的最大值为1．其中，所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（14分）设函数f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同时满足下列三个条件中的两个：条件①：f（0）＝0；条件②：f（x）的最大值为；条件③：x＝是f（x）图象的一条对称轴．（1）请写出f（x）满足的两个条件，并说明理由；（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，求m的取值范围．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．（1）求证：A1D⊥AB；（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．18．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比1[0，51）0.1%9.2%2[51，66）11.1%47.4%3[66，76）34.6%31.6%4[76，90）48.6%11.8%5[90，100]5.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76，90）内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．19．（14分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．20．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y＝（x﹣2）上．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点B的直线l2：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E．若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．21．（14分）设m为正整数，若无穷数列{an}满足|aik+i|＝|aik+i|（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…），则称{an}为Pm数列．（1）数列{n}是否为P1数列？说明理由；（2）已知an＝其中s，t为常数．若数列{an}为P2数列，求s，t；（3）已知P3数列{an}满足a1＜0，a8＝2，a6k＜a6k+6（k＝1，2，…），求an．

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0}【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝（）A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣2【分析】利用复数几何意义和运算法则直接求解．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），∴z（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）双曲线﹣y2＝1的离心率为（）A． B． C． D．【分析】直接利用椭圆方程，求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣y2＝1可得a＝，b＝1，则c＝＝2，所以e＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．4．（4分）在（﹣x）4的展开式中，x2的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【分析】先由二项式定理求通项公式，然后求展开式的项系数即可．【解答】解：由（﹣x）4的展开式的通项公式为＝（﹣1）r，令，解得r＝0，即x2的系数为（﹣1）0＝1，故选：B．【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的项系数，属基础题．5．（4分）下列命题中正确的是（）A．平行于同个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一个平面的两个平面平行 D．垂直于同一条直线的两个平面平行【分析】对于A，相交、平行或异面；对于B，相交或平行；对于C，相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：对于A，平行于同个平面的两直线相交、平行或异面，故A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，故C错误；对于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．6．（4分）已知直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为（）A． B． C．1 D．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心（1，1），直线l：ax+by＝1是圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的一条对称轴，可得a+b＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以ab的最大值为：．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，是基础题．7．（4分）已知角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，且cos（α+β）＝1，则α的取值可以为（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：由于角α的终边绕原点O逆时针旋转π后与角β的终边重合，故；由于cos（α+β）＝1，所以，整理得（k∈Z），故（k∈Z）；当k＝1时，．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）＞log2x的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（0，1）【分析】设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，求得c＝1，b＝2a+，再由g（2）＝1，结合对数函数的图象可得所求解集．【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c（a＜0），由图象可得f（0）＝1，f（﹣2）＝0，则c＝1，4a﹣2b+1＝0，所以f（x）＝ax2+（2a+）x+1，将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）＝a（x﹣2）2+（2a+）（x﹣2）+1的图象．由g（2）＝1，又y＝log2x在（0，2）上递增，且log21＝0，log22＝1，所以由图像可得不等式g（x）＞log2x的解集为（0，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的图象和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．（4分）在△ABC中，A＝，则“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先解三角不等式，再结合充分必要条件判断即可．【解答】解：在△ABC中，由sinB＜，则0或，又A＝，则0，即C＝，即△ABC是钝角三角形，由△ABC是钝角三角形，当B＝时，sinB＝，即“△ABC是钝角三角形”不能推出“sinB＜”，即“sinB＜”是“△ABC是钝角三角形”的充分而不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了三角不等式的解法，重点考查了充分必要条件，属基础题．10．（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，∞）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人．用X，Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比．给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；③X，Y的取值范围都是（0，，）；④E（X）＜E（Y）．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案．【解答】解：对于①：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；对于②：排除组中小于20岁的人有7人，抽取7人小于20岁的概率为，故②错误；对于③：第一种[0，80）有96人，[80，+∞）有2人，第二种[0，80）有82人，[80，+∞）有2人，故设抽取80岁以上的人数为M，则M＝0，1，2，当M＝0时，X＝Y＝0，当M＝1时，，当M＝2时，，故③正确；对于④：，，，E（X）＜E（Y），E（X）＜E（Y），故④正确；故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝2．【分析】由已知结合抛物线的直线方程列式求得p值．【解答】解：由抛物线y2＝2px，得直线方程为x＝﹣，由题意，，得p＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．12．（5分）已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和．若a2是a1，S2的等差中项，S4＝15，则q＝2，a1＝1．【分析】根据题意列出关于首项、公比的方程组，求解即可．【解答】解：设，由题意知，即，解得q＝2，a1＝1；易知q≠1．故答案为：2；1．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），则实数a的一个取值可以为1（答案不唯一，符合a＞0即可）．【分析】由题意可得g（x）＝|2x﹣a|的值域为[0，+∞），又y＝2x的值域为（0，+∞），则a＞0，因此答案可以说大于0的任何数．【解答】解：令g（x）＝|2x﹣a|，∵函数f（x）＝|2x﹣a|﹣1的值域为[﹣1，+∞），∴g（x）＝|2x﹣a|的值域为[0，+∞），又∵y＝2x的值域为（0，+∞），∴a＞0∴a的一个值可以为1．故答案为：1（答案不唯一，符合a＞0即可）．【点评】本题考查函数的单调性与值域，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14．（5分）已知，是单位向量，且•＝0，设向量＝λ+μ，当λ＝μ＝1时，＜，＞＝；当λ+μ＝2时，|﹣|的最小值为．【分析】求出||，根据夹角公式可得＜＞，将||表示为关于λ的二次函数，求出最小值即可．【解答】解：当λ＝μ＝1时，，||2＝＝2，∴||＝2，cos＜＞＝＝＝＝，∵＜＞∈[0，π]，∴＜＞＝；当λ+μ＝2时，＝（λ﹣1）+＝（λ﹣1）+（2﹣λ），则||＝（λ﹣1）2+（2﹣λ）2＝2（）2+，当时，|﹣|的最小值为．故答案为：；．【点评】本题考查向量夹角、向量模的最小值的求法，考查向量运算法则、向量夹角余弦公式、二次函数的性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．15．（5分）已知函数f（x）＝，给出下列四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）有无数个零点；③f（x）的最小值为﹣；④f（x）的最大值为1．其中，所有正确结论的序号为①②④．【分析】根据偶函数的定义、零点定义，结合导数的性质逐一判断即可．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣x）＝＝＝f（x），∴该函数是偶函数，故①正确；令函数f（x）＝＝0，则cosπx＝0，∴（k∈Z），∴（k∈Z），故②正确；∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∵f（1）＝﹣，∴f′（1）＝≠0，∴函数的最小值不可能为﹣，故③错误；|cosπx|≤1，当πx＝kπ（k∈Z）时取等号，∴0＜≤1，当且仅当x＝0时取等号，∴≤1，当且仅当x＝0时取等号，∴f（x）＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题真假的判断，考生查三角函数的奇偶性、导数性质、函数极值与最值的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（14分）设函数f（x）＝2sinxcosx+Acos2x（A∈R）．已知存在A使得f（x）同时满足下列三个条件中的两个：条件①：f（0）＝0；条件②：f（x）的最大值为；条件③：x＝是f（x）图象的一条对称轴．（1）请写出f（x）满足的两个条件，并说明理由；（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，求m的取值范围．【分析】（1）首先分析①②可得A＝0，1，﹣1，逐个验证条件③即可得结果；（2）由（1）得函数的解析式，通过x的范围求出的范围，结合正弦函数的性质列出关于m的不等式即可得解．【解答】解：（1）函数，其中，对于条件①：若f（0）＝0，则A＝0，对于条件②：f（x）的最大值为，则，得A＝±1，①②不能同时成立，当A＝0时，，当A＝1时，，即满足条件③，当A＝﹣1时，，即不满足条件③，综上可得，存在A＝1满足条件②③；（2）由（1）得，当0＜x＜m时，，由于f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点，则，解得，即m的取值范围是．【点评】本题考查了函数的零点和函数的最值，属于难题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD＝2，AA1＝A1D．（1）求证：A1D⊥AB；（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB⊥平面AA1D1D，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）取AD的中点O，连接A1O，证明出A1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，利用空间向量法可得出关于a的方程，求出a的值，即可求得棱AA1的长．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1⋂平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面AA1D1D，∵A1D⊂平面AA1D1D，所以，AB⊥A1D．（2）解：取AD的中点O，连接A1O，∵AA1＝A1D，O为AD的中点，则A1O⊥AD，因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，A1O⊂平面AA1D1D，所以，A1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设A1O＝a，其中a＞0，则A（0，﹣1，0）、B（2，﹣1，0）、A1（0，0，a）、C1（2，2，a）、D（0，1，0），，，，设平面A1C1D的法向量为，则，取x＝a，则，由题意可得，∵a＞0，解得，则．【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．18．（14分）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表．组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比1[0，51）0.1%9.2%2[51，66）11.1%47.4%3[66，76）34.6%31.6%4[76，90）48.6%11.8%5[90，100]5.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数得分在区间[76，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间[76，90）内．试判断这种说法是否正确，并说明理由．【分析】（1）根据百分位数的定义判断可得出结论；（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得E（X）的值；（3）取第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，结合平均数公式判断可得出结论．【解答】（1）解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组．（2）解：由题意可知，，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，，，X的分布列为：X0123P；（3）解：这种说法不正确，理由如下：当第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为66，第4组的均值为76，第5组的均值为91，则睡眠指数的均值为0×0.001+51×0.111+66×0.346+76×0.486+91×0.056＜0+51×0.12+66×0.35+76×0.5+91×0.06＝72.68＜76．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．通过求导可得f′（x），可得切线斜率f′（0），利用点斜式可得切线方程．（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．（3）结合（2）可得：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．对0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，．x2＞0．需要f（x2）＝f（）≤0，解得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1＝0．（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．①若a＝0，则f′（x）＝﹣xex，x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴0是函数f（x）的极大值点．②a≠0时，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，下面对a分类讨论：a＝时，f′（x）＝x2ex≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，舍去．a＞时，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增0为函数f（x）的极小值点，舍去．a＜0时，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减0为函数f（x）的极大值点，满足题意．0＜a＜时，x2＞0，列出表格：列出表格：x（﹣∞，0）0（0，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增0为函数f（x）的极大值点，满足题意．∴a的取值范围是（﹣∞，）．（3）结合（2）：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．例如a＞或a＜0，0是函数f（x）的极大值点，且f（0）＝1．x→﹣∞时，f（x）→0，无最小值，舍去．0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，x2＞0，满足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．因此函数f（x）存在最小值，a的取值范围是（0，]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y＝（x﹣2）上．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点B的直线l2：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E．若E，B，Q三点共线，求证：直线l2经过定点．【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆的方程和离心率；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则可用此两点坐标表示E，根据三点共线可得x1y2+x2y1＝2（y1+y2）+x1x2﹣2（x1+x2）+4，利用点在直线可得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2k+2）（x1+x2）﹣4m﹣4＝0，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点．【解答】（1）解：因为下顶点A和右顶点B都在直