2020-2021学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷一、填空题1．关于x的不等式≤0的解集是．2．已知f（x）＝+，y＝f（x+1）是奇函数，则实数a的值是．3．已知某社区的家庭年收入（单位：万元）的频率分布直方图如图所示，同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则该社区内家庭的平均年收入的估计值是万元．4．若函数y＝f（x）的值域是[，3]，则函数F（x）＝f（2x+1）+的值域是．5．2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R＝（lgE﹣11.4），那么里氏8.9级的地释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的倍．（精确到0.1）．6．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为（精确到0.001）．7．设f（x）＝2x﹣1﹣2﹣x﹣1，当x∈R时，f（x2+2mx）+f（2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为．9．设集合I＝{1，2，3，4}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有种（用数字作答）．10．A、B、C、D是海上的4个岛屿，任意两个岛屿之间都有条件用一条海底光缆相连，一条光缆只能连接两个岛屿，为了节省开支，现决定拉3条光缆，使这4个岛屿形成用光缆连接的连通网络，则不同的拉光缆方案共有种（用数字作答）．11．函数f（x）的定义域为D，若对任意的a∈D，存在唯一的b∈D，使得f（a）+f（b）＝4，则称f（x）在D上的“特征”为4，给出下列函数：（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]；（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]；（3）f（x）＝；（4）f（x）＝x2•ex．其中“特征”为4的函数的序号是．12．对任意集合M，定义fM（x）＝，已知集合S、T⊆X，则对任意的x∈X，下列命题中真命题的序号是．（1）若S⊆T，则fS（x）≤fT（x）；（2）fS（x）＝1﹣f（x）；（3）fS∩T（x）＝fS（x）•fT（x）；（4）fS∪T（x）＝[]（其中符号[a]表示不大于a的最大整数）．二、选择题13．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（）种A．CCC B．3CCC C．6CCC D．15．设f（x）＝|2x﹣2|，a、b∈R+，且a≠b，则下列关系式中不可能成立的是（）A．f（）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（）＞f（） C．f（）＞f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，谁先赢满3局谁胜，已知甲方每一局的概率都是，则甲最终以3：1获胜的概率是（）A． B． C． D．三、解答题17．如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，点G是△ACB1的重心，D1G⊥面ACB1；（1）求D1G的长；（2）求AB与平面ACB1所成角的大小．18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x），假定函数f（x）＝eax+b+c，e是自然对数的底，a、b、c为实数，f（x）的定义域为[0，+∞），值域为（0，1]．（1）求a、b、c的值；（2）现有t（t＞0）单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．19．已知f（x）＝（5+2x）2021．（1）证明f（）+f（﹣）是整数，并求f（）的整数部分的个位数；（2）将f（x）按照x的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数．20．对于给定的函数y＝f（x），记A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列举法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定义域上是增函数，求证：A＝B；（3）若f（x）＝，记函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数解，求实数a的取值范围．21．在平面直角坐标系中，两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”定义为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，记为||PQ||，如点P（﹣1，﹣2）、Q（2，4）的“曼哈顿距离”为9，记为||PQ||＝9．（1）点P（﹣1，﹣2），Γ是满足||PQ||≤1的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；（2）动点P在直线y＝2x﹣2上，动点Q在函数y＝x2图象上，求||PQ||的最小值；（3）动点Q在函数y＝x2（x∈[﹣3，3]）的图象上，点P（a，b），||PQ||的最大值记为M（a，b），请选择下列二问中的一问，做出解答：①求证：不存在实数a、b，使M（a，b）＝5；②求M（a，b）的最小值．

2020-2021学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．关于x的不等式≤0的解集是（1，2]．【分析】直接利用分式不等式的解法，求解即可．【解答】解：不等式≤0，等价于，解得x∈（1，2]．【点评】本题考查分式不等式的解法，是基础题．2．已知f（x）＝+，y＝f（x+1）是奇函数，则实数a的值是2．【分析】根据题意，求出f（x）的解析式，由奇函数的定义可得+＝﹣（+），变形分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝+，则f（x+1）＝+，若y＝f（x+1）是奇函数，则+＝﹣（+），变形可得：（﹣）+（﹣）＝0，必有a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．3．已知某社区的家庭年收入（单位：万元）的频率分布直方图如图所示，同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则该社区内家庭的平均年收入的估计值是6.5万元．【分析】利用频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可．【解答】解：由频率分布直方图可得，该社区内家庭的平均年收入的估计值是：（4.5+5.5+6.5）×0.2+7.5×0.26+（8.5+9.5）×0.07＝6.5万元．故答案为：6.5．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，频率分布直方图中平均数的计算方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4．若函数y＝f（x）的值域是[，3]，则函数F（x）＝f（2x+1）+的值域是[2，]．【分析】由题意利用基本不等式，y＝t+的单调性，得出结论．【解答】解：函数y＝f（x）的值域是[，3]，∴t＝f（2x+1）的值域为[，3]，故函数F（x）＝f（2x+1）+≥2．再根据y＝F（x）＝t+在[，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，F（）＝，F（3）＝，可得F（x）的最大值为，故F（x）的值域为[2，]，故答案为：[2，]．【点评】本题主要考查求函数的值域，基本不等式的应用，y＝t+的单调性，属于中档题．5．2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸，印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级，已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R＝（lgE﹣11.4），那么里氏8.9级的地释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的1412.5倍．（精确到0.1）．【分析】根据里氏震级R与地震释放的能量E的关系为，可得8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的关系，解方程可得结果．【解答】解：里氏震级R与地震释放的能量E的关系为R＝（lgE﹣11.4），∴，∴，故答案为：1412.5．【点评】本题以实际问题为载体，考查对数方程，考查学生分析问题，解决问题的能力．6．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为0.996（精确到0.001）．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数1210，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数1210，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有种结果，∴要求的事件的概率是1﹣≈0.996．故答案为：0.996．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查对立事件的概率，是一个基础题，也是一个易错题，注意本题的运算不要出错．7．设f（x）＝2x﹣1﹣2﹣x﹣1，当x∈R时，f（x2+2mx）+f（2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣）．【分析】首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号，将问题转化为二次函数恒成立的问题，据此即可确定实数m的取值范围．【解答】解：由函数的解析式可知函数在定义域R上单调递增，且：f（﹣x）＝2﹣x﹣1﹣2x﹣1＝﹣f（x），故函数为奇函数，则题中的不等式等价于：f（x2+2mx）＞﹣f（2）＝f（﹣2），脱去f符号即：x2+2mx＞﹣2，x2+2mx+2＞0恒成立，则：Δ＝4m2﹣8＜0，解得：，即实数m的取值范围是，故答案为：．【点评】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，二次函数恒成立的处理方法等知识，属于中等题．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为10．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为3的四棱锥体；如图所示：所以：V＝．故答案为：10．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．设集合I＝{1，2，3，4}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有17种（用数字作答）．【分析】根据题意，按集合A中的最大的元素分情况讨论，求出每种情况下选择方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，A＝{1}时，B可以为{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}；有3+3+1＝7种情况，A＝{2}、{1，2}时，B可以为{4}，{3，4}，{3}；各有3种情况A＝{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B只能为{4}，各有1种情况共计7+2×3+4＝17种；故答案为：17．【点评】本题考查分类计数原理的应用，涉及集合子集的定义，属于基础题．10．A、B、C、D是海上的4个岛屿，任意两个岛屿之间都有条件用一条海底光缆相连，一条光缆只能连接两个岛屿，为了节省开支，现决定拉3条光缆，使这4个岛屿形成用光缆连接的连通网络，则不同的拉光缆方案共有16种（用数字作答）．【分析】根据题意，先计算“任意两个岛屿之间一条海底光缆相连”时需要修建光缆的数目，原问题转化为“在这6条海底光缆中撤去3条，保证4个岛屿形成用光缆连接的连通网络”的问题，由间接法分析可得答案．【解答】解：根据题意，A、B、C、D是海上的4个岛屿，任意两个岛屿之间一条海底光缆相连，需要C42＝6条海底光缆，在这6条海底光缆中撤去3条，保证4个岛屿形成用光缆连接的连通网络即可，在6条海底光缆中任选3条，有C63＝20种选法，其中不能保证4个岛屿形成用光缆连接的连通网络，有C41＝4种选法，则有20﹣4＝16种符合题意的选法；故答案为：16．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．11．函数f（x）的定义域为D，若对任意的a∈D，存在唯一的b∈D，使得f（a）+f（b）＝4，则称f（x）在D上的“特征”为4，给出下列函数：（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]；（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]；（3）f（x）＝；（4）f（x）＝x2•ex．其中“特征”为4的函数的序号是（1）．【分析】根据题意，依次分析4个函数是不是“特征”为4的函数，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]，若对任意的a∈[，e5]，有b＝∈[，e5]，则有f（a）+f（b）＝4，则f（x）是“特征”为4的函数；对于（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]，f（）＝4，而f（﹣1）＝f（1）＝0，不满足唯一性，则f（x）不是“特征”为4的函数；对于（3）f（x）＝，有f（）＝＝3，而不存在x，满足f（x）＝1，则f（x）不是“特征”为4的函数；对于（4）f（x）＝x2•ex，有f（x）≥0，当0≤f（a）＜4时，不存在f（b）满足f（a）+f（b）＝4，则f（x）不是“特征”为4的函数；则其中“特征”为4的函数为（1）．故答案为：（1）【点评】本题考查函数与方程的应用，涉及函数值的计算，属于中档题．12．对任意集合M，定义fM（x）＝，已知集合S、T⊆X，则对任意的x∈X，下列命题中真命题的序号是（1）（2）（3）（4）．（1）若S⊆T，则fS（x）≤fT（x）；（2）fS（x）＝1﹣f（x）；（3）fS∩T（x）＝fS（x）•fT（x）；（4）fS∪T（x）＝[]（其中符号[a]表示不大于a的最大整数）．【分析】直接根据给定的条件分别对4个命题逐一分析并判断作答即可．【解答】解：对于（1），因为S⊆T，所以当x∈S时，x∈T，fS（x）＝fT（x）＝1；当x∉S时，fS（x）＝0，而fT（x）＝0或fT（x）＝1，则fS（x）≤fT（x），故（1）正确；对于（2），当x∈S时，x∉∁XS，则fS（x）＝1，；当x∉S时，x∈∁XS，即fS（x）＝0，，所以fS（x+f（x）＝1，从而fS（x）＝1﹣f（x），故（2）正确；对于（3），当x∈S∩T时，则x∈S，x∈T，fS∩T（x）＝1，fS（x）＝fT（x）＝1，即fS∩T（x）＝fS（x）•fT（x）；当x∉S∩T时，则fS∩T（x）＝0，此时x∉S与x∉T至少有一个成立，即fS（x）＝0与fT（x）＝0中至少一个成立，从而fS∩T（x）＝fS（x）•fT（x），故（3）正确；对于（4），当x∈S∪T时，fS∪T（x）＝1，若x∈S，x∈T，则fS（x）＝1，fT（x）＝1，[]＝[]＝1；若x∈S，x∉T，则fS（x）＝1，fT（x）＝0，[]＝1；若x∉S，x∈T，同理可得：[]＝1；若x∉S∪T，则x∉S，x∉T，fS∪T（x）＝fS（x）＝fT（x）＝0，[]＝[]＝0，综上可得：fS∪T（x）＝[]，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（3）（4）【点评】本题考查命题的真假判断，考查学生的逻辑推理能力，属中档题．二、选择题13．设a，b为实数，则“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，由“ab＞1”⇒是“b＞”不成立，同样a＝﹣2，b＝3时，由“b＞”⇒“ab＞1”也不成立，故“ab＞1”是“b＞”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．14．9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，则不同的分派方案共有（）种A．CCC B．3CCC C．6CCC D．【分析】根据题意，依次分析3个路口的分派方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，9名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口3人，第一个路口有种分派方法，第二个路口有种分派方法，第三个路口有种分派方法，故有种分派方法，故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．设f（x）＝|2x﹣2|，a、b∈R+，且a≠b，则下列关系式中不可能成立的是（）A．f（）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（）＞f（） C．f（）＞f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）【分析】先由基本不等式可得，结合f（x）的图象可知三者的最大值一定不是，进而判断D错误．【解答】解：因为a，b是正实数，且a≠b，由基本不等式可知，所以，画出函数f（x）＝|2x﹣2|的图象，结合图象可知，所以D错误．故选：D．【点评】本题考查基本不等式，考查函数的图象及性质，考查直观想象的核心素养，属于中档题．16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，谁先赢满3局谁胜，已知甲方每一局的概率都是，则甲最终以3：1获胜的概率是（）A． B． C． D．【分析】比赛以甲3：1获胜，则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局，再根据相互独立事件的概率公式求出概率．【解答】解：∵甲最终以3：1获胜，即在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，第4局甲胜，∴甲最终以3：1获胜的概率为×（1﹣）×＝．故选：C．【点评】本题考查独立重复试验的概率，解题的关键是甲最终以3：1获胜的理解，属于基础题．三、解答题17．如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，点G是△ACB1的重心，D1G⊥面ACB1；（1）求D1G的长；（2）求AB与平面ACB1所成角的大小．【分析】（1）设长方体AA1＝a，建立空间直角坐标系，利用D1G⊥面ACB1，求出a，再求出DG1；（2）求出直线的方向向量，面ACB1的法向量，用空间向量求解即可．【解答】解：（1）设AA1＝a，a＞0，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D1（0，0，a），B1（3，3，a），∵G是△ACB1的重心，∴G（2，2，），∵D1G⊥面ACB1，AB1⊂面ACB1，∴D1G⊥AB1，∵，＝（0，3，a），∴，即，解得a＝3，∴，∴＝，（2）＝（0，3，0），∵D1G⊥面ACB1，∴面ACB1的法向量，∴＝＝，∴直线AB与平面ACB1所成角的正弦值为，∴AB与平面ACB1所成角的大小．【点评】本题考查了利用空间向量求线段长度和直线与平面所成的角，考查运算能力，属于中档题．18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x），假定函数f（x）＝eax+b+c，e是自然对数的底，a、b、c为实数，f（x）的定义域为[0，+∞），值域为（0，1]．（1）求a、b、c的值；（2）现有t（t＞0）单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．【分析】（1）用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，所以，结合值域可得f（0）＝1，当x→+∞时，f（x）→0，解方程即可求a，b，c；（2）分别求两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量，再作比较即可．【解答】解：（1）由题意可得，当x→+∞时，f（x）→0，所以，解得a＝﹣ln2，b＝c＝0．（2）由（1）可知，若清洗一次，，则现在蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为，若清洗两次，，则现在蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为．故两种方案残留农药量一样多．【点评】本题考查函数的实际应用，考查函数的值域，考查数学建模的核心素养，属于中档题．19．已知f（x）＝（5+2x）2021．（1）证明f（）+f（﹣）是整数，并求f（）的整数部分的个位数；（2）将f（x）按照x的升幂展开，求展开式中系数最大和最小的项的项数．【分析】（1）利用二项展开式的通项可证得f（）+f（﹣）∈Z，且个位为0，由0＜f（﹣）＜1，可求得f（）的整数部分的个位数；（2）求出f（x）的展开式的通项公式，从而可得展开式各项系数ar+1，计算，可得各项系数的大小关系，即可求得结论．【解答】（1）证明：f（）+f（﹣）＝2（•52021+•52019•24+…+•5•241010）∈Z，其个位为0，因为0＜5﹣2＜1，所以0＜f（﹣）＜1，所以f（）的整数部分的个位数是9．（2）解：f（x）的展开式中，第r+1项为Tr+1＝•52021﹣r•（2x）r，其中r＝0，1，2，…，2021，令ar+1＝•52021﹣r•2r（r＝0，1，2，…，2021），ar+1＞0恒成立，＝＝•，①当r≤576时，＞1，故a1＜a2＜…＜a577＜a578；②当r≥577，＜1，故a578＞a579＞…＞a2022，a1＝52021，a2022＝22021，a1＞a2022，综上，系数最大的项是第578项，系数最小项是第2022项．【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．20．对于给定的函数y＝f（x），记A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列举法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定义域上是增函数，求证：A＝B；（3）若f（x）＝，记函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数解，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意和函数f（x）＝，得出方程，即可求解．（2）任取x1∈A，f（f（x1））＝f（x1）＝x1，进而可得x1∈B，可得A⊆B；任取x2∈B，则f（f（x2））＝x2，利用反证法的思想，证明f（x2）＝x2，得到x2∈A，所以B⊆A，即可证得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为相反数，得到g（g（x））＝x，根据g（x）的解析式得到函数g（x）单调递增函数，根据（1）转化为g（x）＝x，得到方程＝x有实数解，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由f（x）＝，令＝x，即x2+4x﹣13＝0，解得x＝﹣2+，即集合A＝{﹣2+}，由f（f（x））＝f（）＝x，即＝x，整理得（x2+4x﹣13）（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣2+或x＝1或x＝3，即集合B＝{1，3，﹣2+}．（2）证明：任取x1∈A，可得f（x1）＝x1，则f（f（x1））＝f（x1）＝x1，所以x1∈B，可得A⊆B，任取x2∈B，则f（f（x2））＝x2，下面证明：f（x2）＝x2，若f（x2）＞x2，则f（f（x2））＞f（x2）＞x2，若f（x2）＜x2，则f（f（x2））＜f（x2）＜x2，这与f（f（x2））＝x2矛盾，所以f（x2）＝x2，即x2∈A，所以B⊆A，综上可得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为相反数，令g（x）＝f（x+a），即函数y＝g（x）的反函数为y＝g﹣1（x），则f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）⇔g﹣1（x）＝g（x）⇔g（g（x））＝x，因为g（x）＝在定义域上为单调增函数，由（2）知g（g（x））＝x，可得g（x）＝x，即方程＝x有实数解，即x+a﹣2＝x2在[0，+∞）上有实数解，可得a＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+在[0，+∞）有实数解，所以a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查集合与函数的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．21．在平面直角坐标系中，两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”定义为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，记为||PQ||，如点P（﹣1，﹣2）、Q（2，4）的“曼哈顿距离”为9，记为||PQ||＝9．（1）点P（﹣1，﹣2），Γ是满足||PQ||≤1的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；（2）动点P在直线y＝2x﹣2上，动点Q在函数y＝x2图象上，求||PQ||的最小值；（3）动点Q在函数y＝x2（x∈[﹣3，3]）的图象上，点P（a，b），||PQ||的最大值记为M（a，b），请选择下列二问中的一问，做出解答：①求证：不存在实数a、b，使M（a，b）＝5；②求M（a，b）的最小值．【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，列出不等式并求出它表示的平面区域