2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣2≤x＜3}2．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°4．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，只需要把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位5．（5分）2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台．根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米6．（5分），是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是（）A． B． C． D．（λ＞0）7．（5分）函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3个不同的零点a，b，c，则2a+2b+2c的取值范围是（）A．[16，32] B．[16，34） C．（18，32] D．（18，34）8．（5分）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝，a＝，则b2+c2+bc的取值范围为（）A．（1，9] B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b（多选）10．（5分）已知复数，则下列结论中正确的是（）A．z的虚部为i B．＝2﹣i C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限（多选）11．（5分）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，下面四个命题中正确的是（）A．水面EFGH所在四边形的面积为定值 B．棱A1D1始终与水面所在平面平行 C．当E∈AA1时，AE+BF是定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值（多选）12．（5分）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•＝．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足．则（）A．O为△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数z＝m2﹣3m+（m2﹣6m）i为纯虚数，则实数m＝．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，且||＝1，||＝，则|﹣|＝．15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则A的取值范围是．16．（5分）窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．（1）求满足＝m﹣n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．18．（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．（12分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）若F为CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA），且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若||＝2，求△ABC面积的最大值．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①b+bcosC＝csinB；②（2b﹣a）cosC＝ccosA；③a2+b2﹣c2＝这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使cos∠ADC＝，求线段BD的长度．22．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+x，a∈R（1）若a＝0，判断函数y＝f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，3]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣2≤x＜3}【分析】先解不等式求出集合M，N，再根据交集的定义求出M与N的交集．【解答】解：∵M＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x≤2}，故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，一元二次不等式，绝对值不等式的解法，属于基础题．2．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则其共轭复数可求．【解答】解：＝＝1+i，其共轭复数为1﹣i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【分析】由正弦定理可求得sinB的值，由大边对大角可得B＜A＝45°，从而可解得B的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝∵a＝2＞b＝，∴B＜A＝45°∴可解得：B＝30°故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角的应用，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y＝sin2x的图象，只需要把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：要把函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．（5分）2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台．根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米【分析】画出图形，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：由题意可知，小明的行走路线如图，由余弦定理可得：OB＝＝＝70（米）．他从回收点B回到自家楼下至少还需走70米．故选：D．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．6．（5分），是两个非零向量，则使成立的一个必要非充分条件是（）A． B． C． D．（λ＞0）【分析】根据向量数量积的公式化简条件得到，同向共线，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得cos＜，＞＝||||，则cos＜，＞＝1，即＜，＞＝0，则，同向共线，则条件成立的充要条件是（λ＞0），则使成立的一个必要非充分条件是∥，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用是解决本题的关键．7．（5分）函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3个不同的零点a，b，c，则2a+2b+2c的取值范围是（）A．[16，32] B．[16，34） C．（18，32] D．（18，34）【分析】不妨设a＜b＜c，利用f（a）＝f（b）＝f（c），先确定2a+2b的值，再结合图象求出c的取值范围，即可得到2a+2b+2c的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝，作出函数f（x）的图象如图所示，因为函数g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3个不同的零点a，b，c，不妨设a＜b＜c，则有1﹣2a＝2b﹣1，所以2a+2b＝2，结合图象，可得4＜c＜5，故16＜2c＜32，所以18＜2a+2b+2c＜34．故选：D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．8．（5分）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝，a＝，则b2+c2+bc的取值范围为（）A．（1，9] B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]【分析】由已知利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2+bc＝5+4sin（2B﹣），可求范围2B﹣∈（，），利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．【解答】解：∵A＝，a＝，由正弦定理，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2+bc＝b2+c2﹣bc+2bc＝a2+2bc＝3+2×2sinB×2sinC＝3+8sinBsin（﹣B）＝3+8sinB（cosB+sinB）＝5+4sin（2B﹣），∵锐角△ABC中，B∈（，），可得2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，∴b2+c2+bc＝5+4sin（2B﹣）的取值范围为（7，9]．故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面），其中错误的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b∥α，则a∥b C．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b【分析】对于A，a∥α或a⊂α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a∥α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a∥b．【解答】解：由a，b表示直线，α表示平面，知：对于A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；对于C，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故C错误；对于D，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则由线面平行的性质得a∥b，故D正确．故选：ABC．【点评】本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）10．（5分）已知复数，则下列结论中正确的是（）A．z的虚部为i B．＝2﹣i C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：∵＝＝，∴z的虚部为1，，，z在复平面内对应点的坐标为（2，1），在第一象限．∴AD错误，BC正确．故选：BC．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．（多选）11．（5分）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，下面四个命题中正确的是（）A．水面EFGH所在四边形的面积为定值 B．棱A1D1始终与水面所在平面平行 C．当E∈AA1时，AE+BF是定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值【分析】直接利用几何体的体积公式，线面平行的判定，等体积转换法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：根据容器的倾斜程度，水面EFGH是不断发生变化的，故A错误；对于B：由于A1D1∥AD∥平面EFGH，故B正确；对于C：利用等体积得知：容器中水的高为BC不会发生变化，所以底面积不会发生变化，即BE•BF为定值，故D正确；由于水的体积的不变性，BE+BF为定值，故C正确；故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：几何体的体积公式，线面平行的判定，等体积转换法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．（多选）12．（5分）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•＝．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足．则（）A．O为△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．【分析】通过可判断A；在四边形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°可判断B；通过，，相互数量积表示可判断C；用三角形面积公式absinC表示SA，SB，SC可解决D．【解答】解：∵，∴（﹣）•＝0，∴⊥，同理：⊥，⊥，∴O为△ABC的垂心，∴A正确；∵延长BO交AC于点D，延长AO交BC于点E，在四边形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣∠DCE，即∠AOB＝180°﹣∠C，∴B正确；∵•＝||||cos∠AOB＝||||cos（180°﹣C）＝﹣||||cosC，同理：•＝﹣||||cosB，•＝﹣||||cosA，∴||||cosC＝||||cosB＝||||cosA，∴||：||：||＝cosA：cosB：cosC，∴C错；∵SA＝||||sin（180°﹣A）＝||||sinA，同理：SB＝||||sinB，SC＝||||sinC，∴SA：SB：SC＝：：＝：：＝tanA：tanB：tanC，由奔驰定理得tanA•+tanB•+tanC•＝，∴D正确．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量数量积、数形结合思想，考查数学运算能力，属于难题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数z＝m2﹣3m+（m2﹣6m）i为纯虚数，则实数m＝3．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得，得m＝3，故答案为：3【点评】本题主要考查复数的基本运算，根据纯虚数的定义建立方程是解决本题的关键，是基础题．14．（5分）已知向量，的夹角为45°，且||＝1，||＝，则|﹣|＝1．【分析】由平面向量的和与差的模的运算性质即可求解．【解答】解：|＝＝故答案为：1．【点评】本题考查了平面向量和与差的模的运算性质，属于基础题．15．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则A的取值范围是（0，]．【分析】直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的应用和函数值的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则+＝，整理得a2＝bc．由余弦定理的得cosA＝＝≥＝，当且仅当b＝c时取等号，所以cosA≥，故0＜A≤，即A的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．16．（5分）窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是[8，12]．【分析】先利用平面向量的线性运算法则，把，用向量，来表示，然后将所求表达为||2的形式，结合函数思想求范围．【解答】解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形ABCDEF的内切圆半径为r＝OAsin60°＝2，外接圆半径R＝4．，则＝（+）•（+）＝2﹣2＝||2﹣4．由图可知2≤||≤4，∴∈[8，12]．故答案为：[8，12]．【点评】本题考查平面向量数量积的应用、转化思想，考查数学运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．（1）求满足＝m﹣n的实数m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值．【分析】（1）利用向量坐标运算性质、向量相等即可得出．（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）（3，2）＝＝m﹣n＝m（﹣1，2）﹣n（4，1）＝（﹣m﹣4n，2m﹣n）．∴，解得m＝，n＝﹣．（2）+k＝（3，2）+k（4，1）＝（3+4k，2+k）．2﹣＝2（﹣1，2）﹣（3，2）＝（﹣5，2）．∴﹣5（2+k）﹣2（3+4k）＝0，解得k＝﹣．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T＝，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．19．（12分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC；（2）若F为CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1．【分析】（1）设AC∩BD＝O，连接OE，推导出OE∥BD1，由此能证明BD1∥平面EAC；（2）由F为CC1的中点，E为DD1的中点，推导出D1F∥CE，从而可得D1F∥平面AEC，结合（1）中结论，由面面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）设AC∩BD＝O，连接OE，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点，∵E是DD1的中点，∴OE∥BD1，∵BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC．（2）因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF∥ED1，CF＝ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥CE，又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，所以D1F∥平面AEC，由（1）知BD1∥平面AEC，又因为BD1∩D1F＝D1，BD1⊂平面BFD1，D1F⊂平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1．【点评】本题主要考查线面平行，面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、推理论证能力等数学核心素养，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA），且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若||＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意得a•cosC+（c﹣2b）•cosA＝0，从而sinB﹣2sinBcosA＝0，进而cosA＝，由此能求出A．（Ⅱ）将||＝2两边平方，推导出bc≤12，当且仅当b＝c＝6，时取等号，由此求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得a•cosC+（c﹣2b）•cosA＝0，∴sinA•cosC+（sinC﹣2sinB）•cosA＝0，即sinB﹣2sinBcosA＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵A是△ABC内角，∴A＝60°．（Ⅱ）将||＝2两边平方，即4＝，∴bc≤12，当且仅当b＝6，c＝2时取等号，此时，，其最大值为3．【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查三角函数恒等式、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①b+bcosC＝csinB；②（2b﹣a）cosC＝ccosA；③a2+b2﹣c2＝这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使cos∠ADC＝，求线段BD的长度．【分析】（1）选①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由辅助角公式，即可得解；选②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由三角形的内角和定理，即可得解；选③：结合余弦定理和正弦的面积公式，可求得tanC的值，从而得解．（2）在△ABC中，由余弦定理求得b＝8，再由正弦定理得sin∠ABC的值，然后分别在△ABD和△ACD中使用正弦定理和余弦定理，即可得解．【解答】解：（1）选①：由正弦定理知，＝＝，∵b+bcosC＝csinB，∴sinB+sinBcosC＝sinBsinC，∵B∈（0，π），∴1+cosC＝sinC，即sin（C﹣）＝，∵C∈（0，π），∴C﹣∈（﹣，），∴C﹣＝，即C＝．选②：由正弦定理知，＝＝，∵（2b﹣a）cosC＝ccosA，∴（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，∴2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB，∵B∈（0，π），∴cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．选③：∵a2+b2﹣c2＝S△ABC＝×absinC＝absinC，由余弦定理知，cosC＝＝sinC，∵C∈（0，π），∴tanC＝，∴C＝．（2）在△ABC中，由余弦定理知，cosC＝，∴＝，化简b2+5b﹣24＝0，解得b＝8或﹣3（舍负），由正弦定理知，，∴＝，∴sin∠ABC＝，所以sin∠ABD＝sin∠ABC＝，而sin∠ADC＝＝＝，在△ABD中，由正弦定理知，＝，∴AD＝，在△ACD中，由余弦定理知，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC，即64＝+（5+BD）2﹣2••（5+BD）•，化简得，BD2﹣2BD﹣15＝0，解得BD＝5或﹣3（舍负），故线段BD的长度为5．【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式、两角和差公式等基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+x，a∈R（1）若a＝0，判断函数y＝f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，3]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0有三个不相等的实数根，