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文档简介
东华理工大学线性代数练习册答案
班级:学号:姓名：序号：
1
第一章行列式
知识点：
全排列及逆序数，n阶行列式的定义，对换
行列式的性质
行列式按行（列）展开
克拉默法则及其相关理论
克拉默法则解线性方程组
学习目标：
1.理解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算方法.
2.掌握二、三阶行列式的计算法.
3.掌握行列式的性质，会计算简单的n阶行列式.
4.掌握Gramer法则及其相关理论.
5.掌握应用Gramer法则解线性方程组的方法.
1-1二阶、三阶行列式
一、填空题
1.
25
37
=2.
2
2
aa
bb
3.
125
031
002
=4.
00
02
13
x
X
X
9
1.1?2.Oabba?3.64.
22
x?
1—2逆序数与n行列式的定义
一.填空题
1.排列5371246的逆序数为.
2.排列
13
(2
1)24
2
nn???
的逆序数为.
3.六阶行列式中，
132536415462
aaaaaa的符号为.
1.102.
2
?nn
3.负
1-3行列式的性质与计算
换页
班级:学号:姓名：序号：
2
一、利用行列式的性质计算下列各行列式:
102100204
1.199200397
301300600
12
322
10210020421004214
1.19920039712003100123
30130060013000130
c
CC
C
9
?
=??=??
13
23
2
054
54
100053100500
53
130
rr
rr
?
+
?
?
二？二二？
?
000
000
2.00
00
000
000
xy
xy
x
xy
yx
?
?
9
9
9
1
11
1
0000000000
000000000
2.(1)00000000000
000000000
0000000000
(1)
n
nn
nnn
xyxyy
xyxyxy
xyxxxy
xyxyxy
yxxxy
xy
??
+
=+?
=+?
3.
1234
2341
3412
4123
12341
1234102341234
2341103411341
3.1010
3412104121412
4123101231123
CCCCC+++-T
21
32
31
42
41
12341234
201130113
1010160
02220048
01110004
rr
rr
rr
rr
rr
?
???
?=
????+
?
????
二、试将下列式化为三角形行列式求值:
换页
班级:学号:姓名：序号：
3
2512
3714
5927
4612
9
??
9
?
43
21
1331
41
32
24
42
251215221522
371417340216
2
592729570113
461216420120
152215221522
012001200120
9
0113003300332
021600360003
rr
rr
ccrr
rr
rr
cc
rr
?
???
+
99999
????
??
?
???
???
+???
?==?
+
?
三、用降阶法计算下列行列式:
2240
4135
3123
2051
??
?
??
21
31
22402000
355
41354355
2483
231233483
211
20512211
cc
CC
???
?
+
??
=???
99999
13
23
7105
2
710
210532270
105
001
cc
cc
??
?
??
???=?=?
??
四、计算下列行列式:
2100...0
1210...0
0121...0
0012...0
0000...2
换页
班级:学号:姓名:序号:
4
解：
12
11
2100...01100...0
1210...00210...0
0121...00121...0
22
0012...00012...0
0000...20000...2
nnn
nn
DDD
??
??
=?=?
11221321nnnn
DDDDDD
???
??=?==?=?=?
1
11
nD
Dnn?=+?=+
l-5Cramer法则
一、利用Cramer法则解下列方程组
?
?
?
?
?
=+++
?=???
?=+?+
=+++
01123
2532
242
5
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
解因为
142
11213
5132
4121
1111
?=????=D
142
11210
5132
4122
1115
1
?=????
??=
D
284
11203
5122
4121
1151
2
426
11013
5232
4221
1511
3
?=????=D
142
0213
2132
2121
5111
4
=???
??
=D
所以1
1
1
D
D
x
2
2
2
D
D
x
3
3
3
D
D
1
4
4
?==
D
D
x.
二、问人取何值时
齐次线性方程组
??
?
9
?
=?++
=+?+
=+??
0)1(
0)3(2
042)1(
321
321
321
XXX
XXX
XXX
X
X
X
有非零解？
解系数行列式为
X
A
XX
X
A
X
9
9
+??
9
9
??
101
112
431
111
132
421
D
=(1?人)
3
+(X?3)?4(1?X)?2(1?X)(?3?X)
(1
?X
)
3
+
2(1
?X
2
+入？
3
换页
班级:学号:姓名：序号：
5
令D=0
得
入二0人二
2或入=3.
于是
当人=0入=
2或入=3时
该齐次线性方程组有非零解.
第一章复习题
一、选择题（选项不唯一）
1.
0
111213111213
21222313132331
313233212223
222
0:222
222
aaaaaa
DaaaMDaaaD
aaaaaa
==W==；那么
A2MB2M
C8MD8M
9
9
2.
0
11121311111213
2122231212122231
31323331313233
423
D=1D423;D
423
aaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
?
==?=
?
;那么
A8B12
C24D24
?
?
3.下列n阶行列式的值必为零的是
()
()
A
行列式主对角线的元素全为零
()
B
三角形行列式主对角线有一个元素为零
()
C
行列式零元素的个数多于n个
0
D
行列式非零元素的个数小于n个
4.如果
0
00
00
30
40
50
A0B1
C1D3
xkyz
yz
kxyz
kk
kk
+?=
?
?
+=
9
???=
?
=?=?
有非零解，则
1.D2.B3.BD
4.CD
二、填空题
换页
班级:学号:姓名：序号:
6
1.
3421536215
2809230092
行列式
2.已知4阶方阵A,其中第三列元素分别为1,3,-2,2,它们的余
子式的值分别为3,-2,
1,1,则行列式4=
3.若
ab
均为整数，而
0
00
10001
ab
ba?=
?
则a=;b=
4.
ij
1234
5678
4A
2348
6789
若阶行列式为；为其代数余子式,
13233343
210412AAAA+++=则
1.122460002.530；04.0
三.计算下列行列式
1.
5042
1121
4120
1111
?
32
22
21
42
50425042
542542
11211121
1.1(1)541001
41205041
232232
11112032
rr
rr
rr
+
+
??
=99999
+
23
21
54
(1)7
23
rr
+
??二？
2.
2
2
2
11.....1
22.....2
33.....3
n
n
n
nnn
21
21
21
11.....Ill.......1
22.....212......2
2.23
33.....313......3
.....1......
nn
nn
n
nnnnn
?
?
?
=XXX?
换页
班级:学号:姓名：序号:
7
1
!()!(1)!2!1!
ijn
njinn
W
=?=?
n
?
3.
1
2
3
mu
11111
11111(012)
i
11111
i
n
a
a
aain
a
+
4-
+W=
+
?
9
??
?
解：
1
1
2
2
3
3
1
min
mu
111110
11111
111110
11111
111110
i
io
mu
111110
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+二
+
+
+
?
?
9
9
?
9
9
9
9
各行减去第一行得行列式:
1
1
1
2
122
31
3
1
111111
111111
00001
00000
00001
11
00000
00001
00000
0000
1
00000
n
1
i
n
n
n
n
a
a
a
a
ccca
aaa
a
a
a
+
?
9
=+++
?
?
E
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
11
1
(1)
nn
i
iii
a
a
=+zn
四、证明题
1.证明
1
11
1221
10...00
01...00
000...1
nn
nn
nnn
x
x
xaxaxa
X
aaaaxa
?
?
??
?
?
=++++
9
+
证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的X倍加到前一列上去,
得到原行列式等于
换页
班级:学号:姓名：序号：
8
12
11121
111
1111
1
010...00
001...00
000...01
100
010
⑴（…）…
0
001
nn
nn
nnnnn
nnnn
n
xaxaxaxaxaxa
xaxaxaxaxaxa
?
?
+??
??
?
?
?
?
+++++++
?
?
=？++++=++++
9
??
?
?
?
第一章自测题
一、填空题
1.若
mj
Daa==
则
ij
Da=?=
2.
1110
1101
1011
0111
3.设
12345
77733
32452
33322
46523
A=,则
313233
AAA++=,
3435
AA+=
4.
00010
00200
02007000
20080000
00001
D==
?
?
?
?
?
1.⑴
na
?2.3?3,0；04.2008!
二、选择题
1.三阶行列式
3
103100204
199200395
301300600
D=
的值为（）
A.OB.IC.2000D.1000
换页
班级:学号:姓名：序号:
9
2.
0
0
20
20
kxz
xkyz
kxyz
+二
?
?
++=
?
??+=
?
当时，仅有零解
00
00
AOB1
C2D2
kk
kk
WW?
3.设四阶行列式
4
abed
cbda
D
dbea
abdc
abed
各不相同，则
14243444
AAAA+++=
A.OB.abedC.
2
abeD.
2
abd
4.方程组
12
12
0
0
xx
XX
X
X
+=
9
9
+=
9
有非零解，则入=
A.IB.1±C.0D.-1
5.设
1
X,
2
X,
3
x是方程
3
Oxpxp++=
的三个根，则行列式
123
312
231
XXX
XXX
XXX
A.OB.pC.
2
pD.
3
P
1.C2.D3.A4.B5.A
三、计算题(每小题10分，共30分)
1.
5231
0111
7101
8111
D
?
?
.解：
23
23
43
52315534
554
01110010
1(1)711
71017101
822
81118212
cc
D
CC
+
??
==???
?+?
12
32
74059
409
01038
224
2224
cc
cc
+
+
=?=?=
换页
班级:学号:姓名：序号:
10
00
00
00
11
1
1
1..........
1..........
2.
1..........
11.....1
nn
n
nn
n
n
aaan
aaan
D
aaan
??
?
+
??
??
??
解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始,
做相同的变换，得原行
列式等于：
()
0
1
11
11
11.....1
1.....
()!(1)!2!1!
()1.....
()1.....
ji
n
ijn
nn
n
nn
anana
xxnn
anana
anana
?
W
??
??+
==?=?
??+
??+
n
9
第二章矩阵及其运算
知识点：
矩阵的概念，矩阵的运算
逆矩阵，矩阵分块法
学习目标：
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质.
2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律，对矩阵
的乘法应重点讲解.
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件及求逆的方法、矩阵分
块法.
2-1矩阵的运算
一.设矩阵
111
111
A
??
?
二？
?
?
??
9
123
124
B
??
二？
?
??
??
,求22
3ABAB+?O
解答：
337
137
??
??
??
??
187
5814
???
??
??
?
??
二.计算下列矩阵的乘积
换页
班级:学号:姓名：序号：
11
1.
13
210
01
114
40
??
???
9
?
???
?
??
??
?
??
2.
32
211
01
010
24
??
?
?
??
??
??
??
??
?
??
??
解答：1.
25
174
??
??
??
2.
653
010
422
?
??
??
??
?
??
??
??
三、选择题
1.对任意n阶方阵
AB
总有()
A.
ABBA=
B.ABBA=C.
()
TTT
ABAB=
D.
222
()ABAB=
2.设
AB
是两个n阶方阵，若0人8=则必有()
A.0人=且08=8.0八=或08=仁0人=且08=口.0人=或0B=
3.设
AB
均为n阶方阵，则必有()
A.
0
TTT
ABBA=
B.ABAB+=+C.
0
T
ABAB+=+
D.
0
TTT
ABAB=
4.下列结论中，不正确的是()
(A)设A为n阶矩阵，则
2
()()AEAEAE?+=?
(B)设
AB均为lnX矩阵，则
TT
ABBA=
(C)设
AB均为n阶矩阵，且满足OAB=,则
222
()ABAB+=+
(D)设
AB均为n阶矩阵，且满足ABBA=,则(
kmmk
ABBAkmN=£
5.设
200
001
010
A
??
??
=?
9
??
??
，则
5
A=
()
(A)-32(B)32(C)10(D)-10
答案：1.B2.D3.A4.C5.A
四.设
120
340
121
A
??
??
=?
?
??
??
?
231
240
B
9
??
=?
?
??
9
.求⑴
TAB
；(2)4A.
换页
班级:学号:姓名：序号:
12
五.1.设
AB
为同阶对称矩阵，证明
ABBA+
也为对称矩阵.
2.设A
B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B
TAB
也是对称矩阵.
证明：因为A
T
=A
所以
(B
TAB
T
二B
T
(B
TA
)
T
二B
TATB
=B
TAB
从而B
TAB
是对称矩阵.
2-2逆矩阵
一.填空题
1.若
AB都是方阵，且2
1AB==?,则
1
AB
?=
2.已知4A=,且
1
331
1
404
4
513
A
9
??
9
??
=??
9
??
??
??
，则
*
A=,
*
det()A=o
3.若
2
AA=,且A不是单位阵，则A=
4.设
122
41
311
Aa
9
??
??
=?
??
??
??
9
,B为三阶非零矩阵，且0八13=则
a=
换页
班级:学号:姓名：序号：
13
5.设A是三阶方阵，且
1
27
A=求
1
(3)18)AA
??
?
答案：1.
1
2
?
2.
331
404
513
??
9
??
??
?
??
??
??
,163.04.15.-1
二.选择题
1.设n阶方阵
ABC
满足ABCE=,则必有()
A.ACBE=B.CBAE=C.BACE=D.BCAE=
2.设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是()
A.(2)2
TT
AA=B.
11
(3)3AA
??=
C.
Ill
[(())][()]
TTT
AA
???
=D.
IOTA
A
?=
3.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()
A.()
TTT
ABAB+=+B.
Ill
OABAB
???
+=+
C.
111
OABBA
???
=D.()
TTT
ABBA=
答案：1.D2.A3.B
三.计算题
1.设
112
223
433
A
??
??
=?
?
??
??
100
211
122
B
??
??
=?
?
??
??
9
，矩阵
X
满足方程
T
AXB=
,求
X
解：
*
1
331121347
2.6510126814
210012234
TTTA
AXBXABB
A
9
???
999???
99999?
=?===??=??
999999
??????
??
??????
2.设
1210
1402
PB
????
????
????
且
APPB=
,求
nA
解：
111210
41
1
3.
1402212
nn
n
APPBAPBPAPBP
??
?
??????
=9•=Q•==9♦
999999
?
??????
11
2221
2221
nn
nn++
??
??
二？
?
??
??
四.证明题
1.设方阵A满足A
2
?A?2E=0
证明A及A+2E都可逆
并求A
?
1及(A
+2E)
?
1
证明由A
2
?A?2E=0得
换页
班级:学号:姓名:序号:
14
A
2
?A=2E
即A(A?E)=2E
或
EEAA=??)(
2
1
由定理2推论知A可逆
且
)(
2
11
EAA?=
9
由A
2
?A?2E=0得
A
2
?A?6E=?4E
即(A+2E)(A?3E)=?4E
或
EAEEA=??+)3(
4
1)2(
由定理2推论知(A
+
2E)可逆
且
)3(
4
1)2(
1
AEEA?=+
?
证明由A
2
?A?2E=0得A
2
?A=2E
两端同时取行列式得
|A
2
?A|=2
即|A||A
?
E|
2
故|A|WO
所以A可逆
而A+2E=A
2
|A+2E|=|A
2|
=|A|
2
WO
故A+2E也可逆.
由A
2
?A?2E=0?A(A?E)=2E
?A
9
1A
(A?E)=2A
9
IE
9
)(
2
11
EAA?=
?
又由A
2
?A?2E=0?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E
?(A+2E)(A?3E)=?4E
所以(A+2E)
(A+2E)(A?3E)=?4(A+2E)
9
)3(
4
1)2(
1
AEEA?=+
9
2-3分块矩阵
一.填空题
1.设3阶矩阶
12
()
0
ABaBYaBY==且2A=,1B=?,则AB+=
2.设行矩阵
()
123
Aaaa=,
()
123
121
121
121
TAB
??
??
二???
??
??
??
9
TAB
3.若
10
32
A
??
=?
9
??
9
830
520
003
B
??
??
=?
?
??
??
AO
C
OB
??
=?
9
??
，贝|JC=
4.设3阶方阵A按列分块为
123
()
Aaaa=(其中
ia
是A的第i列)，且5A=,又设
12132
(23
45)
Baaaaa=++,则B=
换页
班级:学号:姓名：序号：
15
5.设
A
为m阶矩阵，
B
为n阶矩阵，且
AaBb==,若
03
0
A
C
B
??
=?
9
??
，贝9_______
1.42.03.64.-1005.(1)3
mnmab
?
二.计算题
1.设
4200
2000
0073
0051
A
??
9
??
??
??
9
??
9
??
,且
BAAB=+
求
A,
1
A
9
和矩阵
B
o
解：
1
420012000200
200025002400
()
007300250013
005100380057
BAAE
?
????
??????
99????
????
99999?
=?==
999999
99999
999999
99999
1
4200
20004273
11
4(8)32
0073205132
0051
AA
A
9
?
??
-----0\Z0-----
-----；Z\；-----
??
9
2.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2500
3800
0012
0025
的逆阵.
解设
?
?
??
9
?=
12
25
A
?
?
??
9
?=
25
38
B
则
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
??
?
9=
?
?
52
21
12
25
1
1
A
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
??
?
?二
?
?
85
32
25
38
1
1
B
于是
?
?
?
?
?
9
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
9=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
?
?
?
8500
3200
0052
0021
2500
3800
0012
0025
1
1
1
1
B
A
B
A
3.设P
9
1AP
=A
其中
?
?
9
9
9
???=
11
41
P
??
?
9
??
9
??
=A
20
01
求A
11
解由P
9
1AP
=A
得A=PAP
?
1
所以A
11
=A=PA
IIP
?
1.
|P|=3
?
?
?
?
?
?
?
11
41
*P
?
?
?
?
?
?
??
9
11
41
3
1
1
P
而
?
?
?
?
?
??二？
?
?
?
9
??=A
11
11
11
20
01
20
01
换页
班级:学号:姓名：序号:
16
故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
9
???
?
?
?
?
???二
3
1
3
1
3
4
3
1
20
01
11
41
11
11
A
?
?
9
9
?
?
??
684683
27322731
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
知识点：
矩阵的初等变换、矩阵的秩
初等矩阵
线性方程组的解
学习目标：
1.掌握矩阵的初等变换.
2.理解矩阵秩的概念及求法.
3.掌握初等矩阵的运算.
4.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组
有解的充要条件.
5.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.
3-1矩阵的初等变换
一.判断题
1.初等矩阵都是可逆矩阵。()
2.初等矩阵乘初等矩阵还是初等矩阵。()
3.初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。()
4.用初等变化法求逆矩阵时，可以同时做初等行变化和初等列变化。
()
5.矩阵可逆的充分必要条件是此矩阵可以表示成有限个初等矩阵的
乘积。()
答案：VXVXV
二.将下列矩阵化成最简形矩阵:
1.
?
9
?
9
9
9
9
9
9
9
9
?
??
7931
1813
1511
32
21
12
31
2
1
3
2
11511151
31810274
139704148
rr
rr
rr
rr
4-
?
+
?
????
????
????
????—????一
????
????
??
????
换页
班级:学号:姓名：序号:
17
2
1
2
103/21103/21
0274017/22
00000000
rX
????
????
????一?
????
????
????
2.
1112
1212
2012
??
??
??
??
??
???
??
21
312
11121112
12120100
20120236
rr
rr
+
9
????
????
????
99999^
????
??????
????
12
32
3(3)
13
2
10121000
01000100
00120012
rr
rr
r
rr
4-?
+
?
?
?
????
????
???—???
????
999999
????
三.设
033
110
123
A
??
??
二？
?
??
??
?
,且
2ABAB=+
,求
B
解：
2(2)ABABAEBA=十??二
233033013253
(2)110110110110
121123011033
AEA
??
???
????
?=???—?
????
????
??
????
002220001110100033
110110100033010123
011033010123001110
999999
999999
??一？？？一？？一？
999999
999999
?
999999
所以
033
123
110
B
??
??
=??
?
??
??
四.试利用矩阵的初等变换
求方阵
?
?
?
?
?
?
?
9
323
513
123
的逆矩阵。
换页
班级:学号:姓名：序号：
18
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
323
513
123
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
101
Oil
001
200
410
123
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
9
101200
211010
2/102/3023
?
?
?
?
?
?
9
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/922/7003
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/33/26/7001
故逆矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
9
?
?
?
?
?
??
?
2
10
2
1
211
2
3
3
2
6
7
3-2矩阵的秩
一.填空题
1.设
mnX
矩阵
A
,且
()RAr=
9
D
为
A
的一个
lr+
阶子式，则
D=
2.矩阵
111
011
001
??
??
??
??
??
???
??
的秩等于.
3.设矩阵
111213
212223
313233
ababab
Aababab
ababab
??
??
=?
?
??
??
，其中
0(123)
iiab
i
则
ORA=
4.设3阶方阵A的秩为2,矩阵
010
100
001
p
??
??
=?
?
??
??
100
010
101
Q
??
??
=?
9
??
??
，若矩阵
BPAQ=
,则
ORB=
5.已知
11610
251
121
Ak
k
?
??
??
=?
??
??
9
??
,且其秩为2,则
k=
答案：1.02.33.14.25.3
二.选择题
1.已知A
有一个
r
阶子式不等于零，则
0RA=
()
A.rB.Ir+C.rWD.rN
换页
班级:学号:姓名：序号：
19
2.设A为3X4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3
TA
的秩等于()
A.IB.2C.3D.4
3.设A是n阶阵，且ABAC=,则由()可得出BC=.
A.OAWB.OAWC.
ORAn
D.
A
为任意n阶矩阵
答案：1.D2.B3.A
三.计算题
1,试利用矩阵的初等变换
求下列方阵的逆矩阵:
(1)
?
9
?
?
?
?
?
?
323
513
123
»
解
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
323
513
123
?
?
?
?
9
?
?
?
?
??
101
Oil
001
200
410
123
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
101200
211010
2/102/3023
?
?
?
9
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/922/7003
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/33/26/7001
故逆矩阵为
?
?
?
?
9
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
10
2
1
211
2
3
3
2
6
7
2.设
?
?
?
?
?
?
?
9
?
?
113
122
214
A
?
9
?
?
?
?
?
?
?
?
13
22
31
B
求X使求二B
解因为
?
?
?
9
?
?
?
?
?
?
?
?
13
22
31
113
122
214
)(
BA
?
?
?
?
?
9
?
9
??
412
315
210
100
010
001
z
r
所以
9
?
?
?
?
?
?
?
??二
?
412
315
210
1
BAX.
3.求矩阵
9
9
9
?
9
9
9
9
??
??
???
81507
31312
13123
的秩
并求一个最高阶非零子式:
换页
班级:学号:姓名：序号：
20
解
?
?
?
?
?
?
?
9
??
??
???
81507
31312
23123
（下一步：rl?r2
r2?2rl
r3?7rl.）
〜
?
?
?
?
?
?
??
??
??
152733210
591170
14431
（下一步:r3?3r2.）
?
?
?
?
?
?
??
??
00000
591170
14431
矩阵的秩是2
7
12
23
?=
?
是一个最高阶非零子式.
4.设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
32
321
321
k
k
k
A
问k为何值
可使
(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.
解
?
?
?
?
9
?
?
?
?
??
?
32
321
321
k
k
k
A
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
??
?
)2)(1(00
110
11
z
kk
kk
k
r
⑴当k=l时
R(A)=1;
⑵当k=?2且k#l时
R(A)=2;
(3)当kWl且kW?2时
R(A)=3.
3-3线性方程组的解
选择题
1.若方程组O=Ax有非零解，则方程组bAx=M()
A.有唯一解B,不是唯一解
C.有无穷多解D.无无穷多解
2.线性方程组AX=O只有零解，则AXbb=W()O()
A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解
3.设线性方程组bAX=有唯一解，则相应的齐次方程组O=AX()
A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定
4.非齐次线性方程bXA
nm
X
有无穷多解的充要条件是()
A.nmB.()
RAbn
c.0()
RARAb=D.()()
RARAbn=
换页
班级:学号:姓名：序号：
21
5.设线性方程组bxA=中,若()4
RAb=,()3RA=,则该线性方程组()
A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解
答案：1.B2.B3.C4.D5.B
二.填空题
1.若线性方程组
9
?
?
=+
=?
0
0
21
21
XX
XX
X
有非零解，则=入.
2.设()
nnijaAX
二,且非齐次方程组bAx=有唯一解向量，则增广矩阵
0
bA的秩
=r.
3.已知()
33X
ijaA
的逆矩阵
?
?
?
9
?
?
?
?
?
?
??
?
?
245
403
531
1
A
,那么方程组
?
?
?
9
?
二++
二++
二++
3
2
1
332233131
322223121
312213111
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
的解
?
?
?
?
?
3
2
1
x
X
X
答案：1.-12.I13.
?
9
?
?
?
?=
?=
15
3
8
3
2
1
X
X
X
三.解答题
1.
ba
取什么值时，线性方程组
?
?
?
?
?
二++
二++
二++
42
3
4
321
321
321
xbxx
xbxx
xxax
有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解?
解：
1141141141012
1131131012114
1214001001001
aaa
bba
bbbb
9999999?
9999999?
?••9^9•9•-?9•_♦>
99999999
99999999
99999999
10121012
0114201142
00100(1)1(24)
aaaa
bbaba
????
????
99-->99Q9_^99
•••・•・・・
????
????
?+?
????
当10
WWab时，)(AR=3)
〜
(=AR,有唯一解；
当0二b时,3)
〜
出(
==ARAR,无解;
换页
班级:学号:姓名：序号:
22
当1
2
1
==ab时，2)
Z
()(==ARAR,有无穷多个解;
当1
2
1
0
=Wab时，3)
(2)(
==ARAR,无解.
3.已知齐次线性方程组
(i)
?
?
?
?
?
二十+
=++
=++
0
0532
032
321
321
321
axxx
xxx
xxx
和(ii)
9
?
9
=+++
=++
0)1(2
0
32
2
1
321
xcxbx
cxbxx
同解，求
cba
的值，并求其通解。
解：显然方程组(ii)有非零解，由于两个方程组同解，所以方程组
（i）也有非零解。
2a?=,且方程组（i）的解为：
123
xxx==；将方程组（i）的解带入方程组（H）,可
得：
2
10
0
1
210
be
b
c
be
+?二
二？
?
?
??
+??二
?
9
（舍去）或
1
2
b
c
二？
?
=?
第三章复习题
一.选择题
1.设矩阵
111
222
333
abc
Aabc
abc
??
??
二？
?
??
??
9
222
111
333
abc
Babe
abc
??
??
=?
?
??
??
9
010
100
001
p
??
??
=?
9
??
??
中，则有（）
A.
2
APB=B.
2
PAB=C.APB=D.PAB=
2.设A是方阵，如有矩阵关系式ABAC=,则必有（）
A.0A=B.BCW时0A=
C.OAW时BC=D.OAW时BC=
3.设矩阵
111
121
231
A
X
??
??
=?
?
??+
??
的秩为2,则人=（）
A.2B.IC.OD.-1
4.设
AB
均为3阶矩阵，若
A
可逆，
()2RB=
,那么
()RAB=
()
A.OB.IC.2D.3
1.D2.D3.B4.C
二.填空题
换页
班级:学号:姓名：序号:
23
1.设
200
001
010
A
??
??
=?
?
??
??
,则
5
A=
2.设
122
43
311
At
?
??
??
=?
?
??
??
?
B
为三阶非零矩阵，且OAB=。则1=
3.设
210
110
002
A
??
??
=?
?
??
??
9
*
A
为
A
的伴随矩阵，则
*
A=
答案：1.-322,-33.4
三.计算题
1.设矩阵
423
110
123
A
??
??
=?
9
??
??
9
，求矩阵
B
使其满足矩阵方程
2ABAB=+
解：
1
2(2)(2)ABABAEBABAEA
?
=+??=?=?
223423110110
(2)
110110223423
121123121123
AEA
?
????
????
?一？一
????
????
????
????
101143100386
0012129010296
0110330012129
??
????
????
.???—??
????
????
?
????
386
296
2129
B
??
??
??
，=??
??
??
??
?
第三章自测题
一.选择题
1.设A是n阶方阵，X是lnX矩阵，则下列矩阵运算中正确的是()
A.
TXAX
B.XAXC.AXAD.
TXAX
2.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是()
A.()
TTT
ABAB+—+B.
111
OABAB
???
+=+
C.
111
OABBA
???
=D.()
TTT
ABBA=
3.设
200
Oil
002
A
??
??
=?
??
??
??
,则
1
A
?=
()
换页
班级:学号:姓名：序号:
24
A.
1
00
2
010
1
01
2
??
??
??
??
??
9
??
??
B.
1
00
2
11
0
22
1
00
2
??
??
??
???
??
??
??
??
??
C.
1
00
2
1
01
2
1
00
2
??
??
??
??
??
??
??
??
??
D.
1
00
2
010
11
0
22
??
??
??
??
??
??
??
4.设n阶方阵
A
，且OAW,则
*1
OA
?=
0.
A.
1
A
A
B.
*1
A
A
C.
11
A
A
9
D.
*
1
A
A
5.设
A
为3阶方阵，且2A=,则
12
A
?=
()
A.-4B.-IC.ID.4
6.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为()
A.
9
9
?
9
?
?
?
?
?
?
000
000
111
B.
?
?
?
?
?
?
?
?
9
?
000
110
111
c.
?
?
?
?
?
?
?
?
9
?
000
222
111
D.
9
9
9
9
?
9
?
?
9
9
333
222
111
7.设A为三阶方阵且2A=?则
3
TAA
()
A.-108B.-12
C.12D.108
8.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是()
A.
ABBA=
B.
Ill
OABAB
???
+=+
C.ABAB+=+D.()
TTT
ABAB+=+
答案:1.A2.B3.C4.A5.D6.B7.D8.D
二.填空题
1.设
AB均为3阶方阵，且3
2AB==?,则
TAB
2.设A为n阶方阵，且det()2A=,则
1*
1
det：Ol
3
AA
?
?+=
3.
1112
2332
1121
A
??
9
??
=?
?
??
??
，贝h)RA=
4.设3阶矩阵A:
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
002
520
310
,则
1
()
TA?=
换页
班级:学号:姓名：序号:
25
5.设3阶矩阵A=
?
?
?
9
?
9
9
9
?
9
333
022
001
,贝ijA*A=,
6.设
AB
均为3阶方阵，3
皿==则
*1
2AB
9
?=
7.设
0100
1000
0011
0012
A
??
??
??
??
??
??
,则
1
A
?=
8.设n阶矩阵
()
3n2
1
1
1
1
aaa
aaa
A
aaa
aaa
??
??
??
??二
??
??
??
??
??
9
的秩为In?,则a=
答案：1.6?2.
1
(1).
2
n
?3.34.
052
031
1
00
2
??
??
9
??
9
??
??
??
??
5.6E6.24
9
7.
0100
1000
0021
0011
??
??
??
???
??
9
??
8.
1
In
?
?
三.计算题
1.设矩阵
500
012
037
A
??
??
=?
?
??
??
1001
2021
B
??
=?
9
??
，求矩阵方程
XAB=
的解
X
解：
1
1
00
5
1001231
072
20214113
031
XABXBA
9
??
??
???
????
=?==9=
??
????
?
????
??
?
??
??
换页
班级:学号:姓名：序号:
26
2.设
APPA=
,其中
111
102
111
P
??
??
=?
??
??
??
9
1
1
?
A二
1?
?
??
??
???
??
,求
5A
解
1551
APPAPPAPPAAA
??
=?=?=
111001/31/31/3001
1020101/201/2010
1110011/61/31/6100
?1?
Q999999?
99999999
=??=?
9999999Q
99999999
????
999?????
第四章向量组的线性相关性
知识点：
n维向量、向量组的线性相关性
向量组的秩
线性方程组的解的结构
向量空间
学习目标：
1.掌握
n
维向量的概念.
2.掌握向量组线性相关、线性无关的定义.知道有关向量组线性相关、
线性无关的重要结
论.
3.理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的秩.
4.掌握线性方程组的解的结构，理解线性方程组的求解.
5.理解
n
维向量空间及子空间、基底、维数、坐标等概念.
4-1向量组的线性相关性
选择题
1.对任意的
cba
,下列向量组中一定线性无关的是()
A.()
a二
1
Q
,0
b=
2
a
,0c=
3
a
B.()
T
ba
1
=a，()
T
cb
2
=a,()
T
ac
3
二a
换页
班级:学号:姓名：序号:
27
C.0
T
a31
1
=a,()
T
b32
2
=a,()
T
cOO
3
=a
D.()
T
aOOl
1
=a,()
T
bOlO
2
=a,()
T
clOO
3
=a
2.向量组
TTTT
aakaa)1200(
)1022(
)100(
)0111(
4321
====线性相关，k=()
A.-IB.-2C.OD.1
3.向量组
sa
aa
2
1
?线性相关的充要条件是()
A.
sa
aa
2
1
?中含有零向量
B.
sa
aa
2
1
?中有两个向量的对应分量成比例
C.
sa
aa
2
1
?中每一个向量都可用其余l?s个向量线性表示
D.
sa
aa
2
1
?中至少有一个向量可由其余l?s个向量线性表示
4.向量组a
1=
()
T
001,,,a
2=
()
T
100
,下列向量中可以由a
1
9a
2
线性表出的是()
A.()
T
002,,B.()
T
423
?C.()
T
Oil,,D.()
T
010,,?
答案：1.D2.C3.D4.A
二.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1)(?1
3
1)
T
(2
1
0)
T
(1
4
1)
T
解以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为
?
?
?
9
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
000
110
121
220
770
121
101
413
121
〜z
rr
A
所以R(A)=2小于向量的个数
从而所给向量组线性相关.
三.设bl=al
b2=al+a2???
br=al+a2+???+ar
且向量组al
a2???
ar线性无关
证明
向量组bl
b2???
br线性无关.
证明已知的r个等式可以写成
?
?
?
?
?
?
?
?
9
?
???
999999999999
???
???
???二？？？
100
110
111
)0(
2121rr
aaabbb
上式记为B
AK
因为|K|
1
W
0
K可逆
所以R(B)
R(A)
从而向量组bl
b2
???
br线性
无关.
4-2向量组的秩
换页
班级:学号:姓名：序号：
28
选择题
1.设A为nmX矩阵，则有()
A.若nm,则bAx=有无穷多解
B.若nm,则O=Ax有非零解
C.若A有n阶子式不为零，则bAx=有唯一解
D.若A有n阶子式不为零，则O=Ax仅有零解
2.
9
9
?
?
?
9
9
9
?
?
9
?
?
?
?
?
?
?
9
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
?
?
?
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