辽宁省大连市庄河第三高级中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省大连市庄河第三高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a，甲、乙分在同一组的概率为p，则a、p的值分别为（

）A.a＝105，p＝

B.a＝105，p＝C.a＝210，p＝

D.a＝210，p＝参考答案：A2.已知平面向量，且，则为（）A．2 B． C．3 D．1参考答案：A【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量的共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴﹣2×2﹣m=0，解得m=﹣4．∴=（﹣2，﹣4），∴||==2，故选：A．3.已知的内角A,B,C的对边分别为若A.2 B. C. D.1参考答案：A4.已知下面四个命题：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C试题分析：由于，，,,所以正确命题有①，②，④，选．考点：1．平面向量的线性运算；2．平面向量的数量积．5.设向量，，则下列结论中正确的是()A．

B．

C．

D．与垂直参考答案：【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算。F2F3【答案解析】D

解析：；；，故垂直．故选D.【思路点拨】依次对每个选项排除即可。【答案】【解析】6.已知是虚数单位，若，则A．

B．

C．

D．[参考答案：A7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B8.已知实数a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是减函数，又g(x)＝ax＋，则下列选项正确的是()A．g(－3)<g(2)<g(4)

B．g(2)<g(－3)<g(4)C．g(4)<g(－3)<g(2)

D．g(－3)<g(4)<g(2)参考答案：B9.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：，，解得（是第二象限角）；，，，故答案为A．考点：1、任意角三角函数的定义；2、二倍角的正弦公式．10.函数的反函数是A． B．C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四个命题中，真命题的序号有__________(写出所有真命题的序号)．

(1)将函数y=|x+1|的图象按向量=(-1，0)平移，得到的图象的对应函数表达式为y=|x|

(2)圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2．高☆考♂资♀源€网

☆

(3)若sin(α+β)=，sin(α-β)=，则tanα·cotβ=5．w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@m(4)方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；参考答案：（3）（4）12.如图,为外一点,过点作的两条切线,切点分别为,,过的中点作割线交于,两点,若,,则______．

参考答案：4略13.已知(a+i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=

．参考答案：

略14.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

． 参考答案：略15.在三角形中，，则三角形的面积=_______参考答案：略16.与双曲线共焦点，且经过点的椭圆的标准方程为

．参考答案：17.已知p：2x2﹣7x+3≤0，q：|x﹣a|≤1，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

．参考答案：≤a≤2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由2x2﹣7x+3≤0，得，由|x﹣a|≤1，得：a﹣1≤x≤1+a，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤a≤2.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)在中，

（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列，求的面积（Ⅱ）已知是的中线，若，求的最小值参考答案：解：（1），设三边为，--------------1分由余弦定理：---------------2分即

-------------------------3分所以

--------------------------------4分-----------------6分（2）

----------------------7分

--------------------8分

因为，所以--------10分

----11分所以

----------12分19.椭圆的右焦点，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，若，求的面积．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知点在椭圆上，利用椭圆的定义可求得值，结合的值可求得的值，进而可求得椭圆的标准方程；（2）设、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，结合韦达定理求得的值，再由三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）依题意有，椭圆的焦点坐标为，且点在椭圆上，由椭圆的定义可得，即，，因此，椭圆的方程为；（2）设、，由，得．由题意直线的斜率存在，所以设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得，所以，．将代入上式可得，，解得．所以的面积.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，涉及向量共线问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.（本题满分12分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列的前项和．参考答案：（Ⅰ）时,

所以

（Ⅱ）

21.已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；a＞0，函数在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，函数有极小值f（）=a﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程①的解为x2=1，即=1，解得a=．22.已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且kPAkPB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线PA：y﹣y0=kPA（x﹣x0），代入抛物线方程，得出，同理，有，kPA，kPB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线AB的方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），则直线PA：y﹣y0=kPA（x﹣x0），代入抛物线方程：x2﹣2kPAx﹣2y0+2kPAx0=0，因为直线与抛物线相切，所以，…（2分）同理，有，…（3分）所以kPA，kPB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，…kPAkPB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…