河南省许昌市长葛天隆学校高三数学理期末试题含解析

河南省许昌市长葛天隆学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量的夹角为120°，且，则有（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知定义在上的函数满足，且，

，若有穷数列（）的前项和等于，则n等于

A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B3.若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=(

)A．1+ B．1+ C．3 D．4参考答案：C【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．4.已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和，若，则（

）A.24 B.20 C.16 D.10参考答案：B【分析】根据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可。【详解】由得解得所以故选B.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题。5.已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为()A．16

B．C．

D．2参考答案：C6.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣e的零点所在区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（，1） D．（0，）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】由设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣1＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：A．7.已知函数，则

A．

B．9

C．

D．-9参考答案：A略8.若（x++1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】解：由题意知，令x=1，得到3n=81，解得n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S=π×1=π，满足y≥sinx的点构成区域的面积为：S=sinxdx=﹣cosx|=﹣cosπ+cos0=2，则满足y＞sinx的概率为．9.函数的图象过定点（

）A．（1，2）

B．（2，1）

C．（-2，1）

D．（-1，1）参考答案：D10.函数f（x）=log|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是(

)

【解析】因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,D,，当时，，排除B,选C.参考答案：因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,D,，当时，，排除B,选C.【答案】C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间上是减函数，则的最小值是________________.参考答案：2略12.已知函数f（x）的部分图象如图所示，若不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），则实数t的值为．（写过程）参考答案：﹣1【考点】函数的图象．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据图象的平移即可得到t的值．【解答】解：由图象可知，﹣2＜f（x）＜4的解集为（0，3），不等式﹣2＜f（x+t）＜4的解集为（﹣1，2），∴y=f（x+t）的图象是由y=f（x）的图象向右平移1个单位得到的，∴t=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了图象的平移和图象的识别，属于基础题．13.已知,·=-2，则与的夹角为

.参考答案：14.过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是

．参考答案：

15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，且对于任意正整数m，n都有an+m=an?am．若Sn＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】由am+n=am?an，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出Sn，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有am+n=am?an，令m=1，得到an+1=a1?an，所以=a1=，则数列{an}是首项、公比都为的等比数列，所以Sn==＜，因为Sn＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．16.函数y=Asin（wx+j)(w>0，，x?R)的部分图象如图所示，则函数表达式为

.参考答案：略17.(不等式选讲选做题)不等式的解集是

（用区间表示）。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2014?厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段EF段GH段堵车概率xy平均堵车时间（单位：小时）a21经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1]8（1，2]6（2，3]38（3，4]24（4，5]24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．参考答案：【考点】：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=【点评】：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．19.设数列与满足：对任意，都有，．其中为数列的前项和．（1）当时，求数列与的通项公式；（2）当时，求数列的前项和．参考答案：解：由题意知，且两式相减得即

①

（2分）（1）当时，由①知于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．故知，，

（4分）再由，得．

（2分）另解：

（2分）是首项为，公差为的等差数列，

（4分）

（2分）

（2）当时，由①得

（2分）若，

（1分）若，，

（1分）若，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，

（2分）时，符合上式所以，当时，

（2分）当时，

（1分）

另解：当时，

（1分）当时，

（2分）若，

（1分）若，两边同除以得令，即由得是以为首项，为公比的等比数列，所以，当时，

略20.（本小题满分14分）设函数．（I）试讨论函数在区间[0，1]上的单调性;（II）求最小的实数，使得对任意及任意实数，恒成立．参考答案：解：（1）∵函数，∴f′（x）=3x2﹣t．。。。1分1°若t≤0，则f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；。。。。。2分2°若t≥3时，∵3x2≤3，∴f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；。3分3°若0＜t＜3，则，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0，∴f（x）在上单调递减；当时，f′（x）＞0，∴f（x）在上单调递增．。。。。。6分（2）?，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，的最小值即可．。。。。。。。。。。。。。。。。。7分【方法一】：令g（x）=f（x）+，x∈[0，1]，而g′（x）=f′（x），由（1）的结论可知：当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）min=min{g（0），g（1）}=min{，}=0．当0＜t＜3时，则=﹣．∴h（t）=．。。。。。。。。。。10分下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．当t∈（0，1）时，h（t）=在（0，1）上单调递减；当1＜t＜3时，h（t）=，＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=﹣．。。12分综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，的最小值为，即得h的最小值为﹣m=．

。。。。。。。。。。。。14分【方法二】：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），ks5ug（t）=f（x）+=﹣xt++x3=的最小值．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分由于﹣x≤0，当t∈（﹣∞，1）时，g′（t）≤0；由于1﹣x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g′（t）≥0．考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x3﹣x．.。。。。10分下面再求关于x的函数h（x）=x3﹣x在x∈[0，1]时的最小值．h′（x）=3x2﹣1，令h′（x）=0，解得．当时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．故h（x）的最小值为．。。。。。。。。。。12分综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.的最小值m=﹣，即得h的最小值为﹣m=．。。。。。。。。。。。。。。。14分21.（本题13分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理