安徽省合肥市赵亮农业中学高二数学理月考试题含解析

安徽省合肥市赵亮农业中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】首先计算8人乘坐两辆车，每车坐4人的情况数目，具体为：在8个人中取出4人，坐第一辆车，剩下的坐第二辆车，由组合数公式计算可得其情况数目；再计算恰有两名教师在同一车上的情况数目，具体为：先在3名教师中任取两人，5名学生中取两人构成第一组，乘坐第一辆车，剩下的构成第二组，乘坐第二辆车，由组合数公式可得其情况数目；由等可能事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，要满足8人乘坐两辆车，每车坐4人，可在8个人中取出4人，坐第一辆车，剩下的坐第二辆车，则有C84=70种情况；要满足恰有两名教师在同一车上，可先在3名教师中任取两人，5名学生中取两人构成第一组，乘坐第一辆车，剩下的构成第二组，乘坐第二辆车，则有C32×C52种分组方法，再对应到两辆车，共有2C32×C52=60种乘坐方法；则恰有两名教师在同一车上的概率为=；故选C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算，难点在于灵活运用组合数公式．2.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因为，所以，所以函数的表达式为．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.3.圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是(

)A．(1,－1)

B．(,－1)

C．(－1,2)

D．(－,－1).

参考答案：D4.已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.x>2是的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略6.四个人站成一排，解散后重新站成一排，恰有一个人位置不变的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】首先求得满足题意的排列的种数，然后利用古典概型公式进行计算即可求得概率值．【解答】解：使用乘法原理考查满足题意的排列方法，先从4个人里选3个进行调换，因为每个人都不能坐在原来的位置上，因此第一个人有两种坐法，被坐了自己椅子的那个人只能坐在第三个人的椅子上（一种坐法），才能保证第三个人也不坐在自己的椅子上．因此三个人调换有两种调换方法．故不同的调换方法有种，恰有一个人位置不变的概率为．故选：C．7.已知是函数的导函数，且的图像如图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：D8.A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（）A．6π B． C．12π D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=6π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题9.已知则直线不过（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B直线方程即：，其斜率，直线在轴的截距，据此可知直线不经过第二象限.

10.椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（

）A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间为__________．参考答案：【分析】先求函数的定义域，要求函数y＝（6-x﹣）的单调增区间，只要求解函数g（x）＝6-x﹣x2在定义域上的单调递减区间即可.【详解】由题意可得，6-x﹣x2＞0∴函数的定义域为﹣3＜x＜2令g（x）＝6-x﹣x2，y＝log0.6g（x）∵y＝t在（0，+∞）上单调递减，而g（x）＝6-x﹣x2在（﹣3，]上单调递增，在[，2）上单调递减由复合函数的单调性可知，函数y＝（6-x﹣）的单调增区间（，2）故答案为：（，2）【点睛】本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是复合函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解.12.在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：13.函数f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为． 参考答案：（2，2）【考点】对数函数的图象与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标． 【解答】解：∵loga1=0， ∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2， 则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题． 14.已知函数的单调递减区间是（-3，1），则的值是

.参考答案：略15.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是参考答案：略16.已知定点A为（2,0），圆上有一个动点Q，若线段AQ的中点为点P，则动点P的轨迹是

参考答案：以为圆心，半径长为的圆17.某小学1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．根据统计学的知识估计成绩在[80，90）内的人数约为．参考答案：200【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得成绩在[80，90）内的频率，由此根据统计学的知识估计成绩在[80，90）内的人数．【解答】解：由频率分布直方图得成绩在[80，90）内的频率为：0.02×10=0.2，∴根据统计学的知识估计成绩在[80，90）内的人数约为：0.2×1000=200．故答案为：200．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．参考答案：【考点】不等式的证明；曲线与方程．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通分后对分母使用基本不等式；（2）将4x2+y2+xy=1移项后得4x2+y2=1﹣xy≥4xy，从而得出∴xy≤．将所求式子两边平方可求出最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴xy≤（）2=∴+==≥4．（2）∵4x2+y2+xy=1，∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，∴xy≤．∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，∴﹣≤2x+y≤．∴2x+y的最大值是．【点评】本题考查了基本不等式的应用，是基础题．19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值.参考答案：（1）的单调增区间为，；单调减区间为（2）【分析】（1）函数求导数，分别求导数大于零小于零的范围，得到单调区间.（2）根据（1）中的单调区间得到最大值.【详解】解：（1）

当时，，或；当时，．∴的单调增区间为，；单调减区间为．（2）分析可知的递增区间是，，递减区间是，当时，；当时，．由于，所以当时，．【点睛】本题考查了函数的单调区间，最大值，意在考查学生的计算能力.20.由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04（Ⅰ）至多有2人排队的概率是多少？（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．参考答案：【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）“至多2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”，“2人排队”三个事件的和事件，三个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出至多2人排队的概率．（Ⅱ）“至少2人排队”与“少于2人排队”是对立事件；“少于2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”二个事件的和事件，二个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出“少于2人排队”的概率；再利用对立事件的概率公式求出）“至少2人排队”的概率．【解答】解：（Ⅰ）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B．2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥．P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56；（Ⅱ）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，则P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．【点评】本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式．考查计算能力．21.设函数f（x）=（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】（1）a=1时，分别探讨y=2x﹣1（x＜1）与y=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）（x≥1）的单调性与最值，即可求得f（x）的最小值；（2）分①g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，②函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点两类讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=，当x＜1时，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，函数值f（x）∈（﹣1，1）；当x≥1时，函数f（x）在[1，]为减函数，在[，+∞）为增函数，当x=时，f（x）取得最小值为﹣1；故a=1，f（x）的最小值﹣1，（2）①若函数g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，则a＞0，并且当x=1时，g（1）=2﹣a＞0，即0＜a＜2，函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，所以2a≥1且a＜1?≤a＜1；②若函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，则函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点，当a≤0时，g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）在x≥1时与x轴无交点，不合题意；当h（1）=2﹣a≥0时，a≥2，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x