重庆渝北区实验中学高三数学理月考试题含解析

重庆渝北区实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足的约束条件，则的最大值为（A）8

（B）7

（C）2

（D）1参考答案：B2.“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，则预测2019年捐赠的现金大约是(

)34562.5344.5

A.5万元 B.5.2万元 C.5.25万元 D.5.5万元参考答案：C【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【详解】由已知得，，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x参考答案：C4.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则

最小值为A．

B．

C．2

D．3参考答案：A略5.设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2⊥x轴，|PF2|=，|PF1|=，计算即可所求值．【解答】解：椭圆=1的a=3，b=，c==2，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x=2，可得y=±?=±，即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=，则=．故选：C．6.等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（

）A.1 B. C.1或 D.或参考答案：C7.如图，在中，已知，则

A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.dx=（）A．﹣ln2 B．ln2 C．﹣2ln2 D．2ln2参考答案：C【考点】定积分．【分析】由dx=﹣dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：dx=﹣dx=﹣2lnx|=﹣2ln2，故选：C．9.设复数则复数

在复平面内对应点位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：C10.集合，，则A∩B=（

）A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,2} D.{0,4}参考答案：B【分析】由可知B是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。【详解】因为集合B是偶数集，所以，故选B.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列中，当整数时，都成立，则＝

．参考答案：21112.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．则在以圆心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为．参考答案：x2+y2=225考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：如图所示：由题意可得sinθ=，OA=13，利用直角三角形中的边角关系求得cos∠AOD、OD、AD的值，可得BD的值，再求得OB2=OD2+BD2的值，即可得到圆O的方程．解答：解：如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，则由题意可得sinθ=，OA=13，∴cos∠AOD=sinθ=，OD=OA?cos∠AOD=13×=12，AD=OA?sin∠AOD=13×=5，∴BD=14﹣AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，故圆O的方程为x2+y2=225，故答案为x2+y2=225．点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，求圆的标准方程，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．13.已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是

．参考答案：14.（几何证明选讲选做题）如图，切于点，割线经过圆心，弦于点．已知的半径为3，，则

．

．参考答案：15.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）参考答案：试题分析：从名学生中选名的种数为,其中无女生的种数为,所以至少含有一个女生的概率为.考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．16.△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则cosB的最小值为_____.参考答案：【分析】利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.【详解】因为成等比数列，所以，由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立，故的最小值为.【点睛】本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式，此类问题是中档题.17.若函数对任意的恒成立，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10.设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

H8【答案解析】(1)(2)B(1，0).(3)解析：解（1）设椭圆的标准方程为依题意得：所以，椭圆的标准方程为（2）设，，AP=tAQ，则.

结合，得.设B(x，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B(1，0).（3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程得：.依题意得：即得：

且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：

.所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：【思路点拨】（1）依题意得：2c=2，=10，求出a，c，b，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），=t，证明=t，即可得出结论．（3）设过点A的直线方程为：y=k（x﹣5），代入椭圆方程得（4+5k2）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0．依题意得：△=（50k2）2﹣4（4+50k2）（125k2﹣20）=0，由此能求出过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程19.设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0得：．又∵当x∈（﹣∞，）时，f'（x）＞0；当x∈（，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；∴与x2=1分别为f（x）的极大值与极小值点．∴f（x）极大值=；f（x）极小值=a﹣1（2）∵f（x）在（﹣∞，）上单调递增，∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．即或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，）∪（1，+∞）20.设函数．（1）若不等式对恒成立，求a的值；（2）若f(x)在内有两个极值点，求负数a的取值范围；（3）已知，，若对任意实数k，总存在正实数，使得成立，求正实数s的取值集合．参考答案：（1）=；（2）；（3）【分析】（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.（2）求导得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.（3）在上是增函数，其值域为，若，则函数在上是增函数，值域为，记，则根据得到答案.【详解】（1）若，则当时，，，，不合题意；若，则当时，，，，不合题意；若，则当时，，，，当时，，，，当时，，满足题意，因此=．（2），，令，，则，所以在上单调递减，在上单调递增，因此

点，在（i）当时，，，在内至多有一个极值点．（ii）当时，由于，所以，而，，，因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，从而上有且仅有一零点，在内有且仅有一个极值点．（iii）当时，，，，因此在上有且仅有一个零点，从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点．综上所述，的取值范围为．（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，所以函数的值域为．在上是增函数，其值域为，对于函数，，当时，，当时，，函数在上为单调减函数，当时，，函数在上为单调增函数．若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；若，则函数在上是增函数，值域为，由题意得，即

①记，则当时，，在上单调减函数．当时，，在上为单调增函数．所以，当时，有最小值，从而恒成立（当且仅当时，

②由①②得，，所以．综上所述，正实数的取值集合为．【点睛】本题考查了恒成立问题，存在性问题，极值点，意在考查学生对于函数和导数知识的综合应用.21.已知数列{an}是公差为1的等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前2n项和.参考答案：（1）因为，，成等比数列，所以，又因为数列是公差为1的等差数列，，，，所以，解得，所以.（2）由（1）可知，因为，所以.所以.

22. 已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R． (Ⅰ)当时，求函数y=f(x)的极值； (Ⅱ)是否存在实数b∈(1,2)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）当时，， 则，化简得（x>-1） ∴函数f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，， ∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0； (Ⅱ)由题意 (1)当a≤0时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减, 此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)； (2)当a>0时，