湖北省鄂州市燕矶中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省鄂州市燕矶中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为（）．A．

B．C．

D．参考答案：C因为，所以，①正确。，所以②不正确。③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。整数a，b属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.2.设函数定义域为区间，其导函数在区间内的图像如图所示，则在区间内有极小值的点有：A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

参考答案：A3.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A） （B） （C） （D）参考答案：D该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为,所以球的半径为,，所以球的表面积是，选D.（11）已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】,，所以，因为，所以。根据几何概型可知的概率为，选C.2.若，是虚数单位，且，则的值为……………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（

）表1表2表3表4A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量参考答案：D，，，。分析判断最大，所以选择D。

6.集合，，则A∩B=（

）A．（0,2） B．(1,2) C．(0,1) D．()参考答案：C7.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0.3）内是增函数的是A. B. C. D.参考答案：A选项D为奇函数，不成立.B，C选项在（0,3）递减，所以选A.8.集合M=，N=，则M、N关系为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A9.设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）A． B． C．或 D．3参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】a+b=3，b＞0，可得b=3﹣a＞0，a＜3，且a≠0．分类讨论：当0＜a＜3时，+==+=f（a）；当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.已知定义在上的函数的图像如图所示，对于满足的任意,错误的结论是(

)A.当时，B.当时,导函数为增函数C.D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列的前项和为，已知则的最小值为

参考答案：略12.等比数列{an}满足an＞0，且a2a8=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=

．参考答案：9【考点】数列的求和．【分析】根据题意，由等比数列{an}的性质可得a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=a52=4，同时可得a5=2，再利用对数的运算法则有log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1?a2?…?a9）=log2（29），计算即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{an}的各项都是正数，a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=a52=4，则a5=2，则log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1?a2?…?a9）=log2（29）=9，故答案为：9．13.已知，且为幂函数，则的最小值为

参考答案：略14.已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作

双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为

.

参考答案：15.当对数函数的图象至少经过区域内的一个点时，实数的取值范围是

参考答案：16.在区间上任意取一个数x，则的概率为

。参考答案：17.一正三棱柱的三视图如图，该正三棱柱的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于

．参考答案：100π根据正三棱柱的三视图：得到三棱柱底面等边三角形的高为，则：底面中心到地面顶点的距离为：，故正三棱柱的外接球半径为：r=，故：S=4π?52=100π，故答案为：100π

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.正项数列的前项和为满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．参考答案：解：（1），，解得当时，；当时，（不适合）所以 ……6分（2）当时，，；当时，综上，对于任意的，都有．……12分略19.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程．以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：（1）；（2）【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．N3解析：（1）圆C的普通方程为，又所以圆C的极坐标方程为

………5分（2）设，则由

解得

………7分设，则由解得………9分所以

………10分【思路点拨】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设为点P的极坐标，由，联立即可解得．设的极坐标，同理可解得．利用|即可得出．20.____.参考答案：答案:2

21.（本小题16分）若椭圆的方程为，、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，．证明：为定值．参考答案：（1）（2）设，则，=（3）设，,由得

所以代入椭圆方程得

①同理由得

②

由①-②得

22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求QB与面ABCD成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AC交BD于G，连接QG，由线面平行的性质可得PA∥QG，则Q为PC的中点．过Q作QH⊥平面ABCD，垂足为H，则QH=．然后证明BC⊥平面POB，得BC⊥PB，求解直角三角形可得BQ，则QB与面ABCD成角的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB，∵PAD是边长为2的正三角形，∴，∵，∴OB2+OP2=PB2，则OP⊥OB，∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，又OP?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：连接AC交BD于G，连接QG，∵PA∥平面BD