讲义结构力学大学教材章节课件讲义附例题六

31443523第十三章矩阵位移法基本概念单元刚度矩阵(局部坐标系)(整体坐标系)整体刚度矩阵(连续梁)(平面刚架)等效结点荷载计算步骤和算例忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析上机作业（连续梁程序设计）1§13-1概述矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过程程序化，通用性强的方法。

矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是：

先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程(几何关系、平衡条件)2单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。杆端局部编码与局部坐标系eE，A，Il局部坐标系中的杆端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐标系中的杆端力分量{}=Feee={}De12yx§13-2单元刚度矩阵（局部坐标系）3单元刚度方程方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY--+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-++=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-++=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-++=qq4ee=ee（13—5）单元刚度方程（13—6）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。如第个杆端位移分量=1时引起的第个杆端力2M1q三六ji?反力互等定理53）单元刚度矩阵是对称矩阵。4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵{}De{}Fe正问题力学模型将单元视为“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”{}De控制附加约束加以指定。解的性质为任何值时，{}De{}Fe都有唯一的解答。且总是一个平衡力系，不可能是不平衡力系。{}De{}Fe反问题将单元视为“两端自由的杆件”。{}Fe直接加在自由端作为指定的杆端力{}Fe为不平衡力系时没有静力解。{}De{}Fe为平衡力系时有无穷多组解。{}De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M62v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0e第二列元素变符号即第五列第一列元素变符号即第四列第二行元素变符号即第五行第一行元素变符号即第四行7特殊单元单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算机程序去自动形成。某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。121q2q122M1M8选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxαyxyxα§13-3单元刚度矩阵（整体坐标系）9单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。同理：整体坐标系中的单元刚度矩阵设：将（a）、（b）代入（a）（b）101）表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个杆端力分量。2）[k]@是对称矩阵。3）一般单元的[k]@是奇异矩阵。例13-1求图示刚架中各单元在整体标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m221与比较[I]

[k]@，[k]@同阶,性质类似：11解：（1）求kek1k2==×104（2）求ke11单元α=90°21单元α=0k2=×10412结点力、结点位移、形成总刚度矩阵(传统位移法)Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1=1Δ1×K11K21K31K12K22K32Δ2=1Δ2×K13K23K33Δ3=1Δ3×F=KΔK为整体刚度矩阵，简称总刚。§13-4连续梁的整体刚度矩阵13整体刚度矩阵的性质1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。2）[K]中的元素Kij表示第j个结点位移分量Δj=1（其它结点位移分量=0）时所产生的第i个结点力。3）[K]是对称矩阵。4）如果引入支承条件，[K]是可逆矩阵。形成整体刚度矩阵Δ2=1K12K22K321112k121k22122k112k212结点发生单位位移杆端发生单位位移变形协调条件产生附加约束中约束力(总刚元素)产生杆端力(单刚元素)平衡条件总刚元素是由单刚元素集合而成K22k221k112k212K3214直接刚度法形成总刚(刚度集成法)首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中编码不同。单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量称为“单元定位向量”{λ}。e单元对应关系：局部码→总码单元定位向量{λ}e12θA

（1）→1θB

（2）→2{λ}=112θB

（1）→2θB

（2）→3{λ}=223将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码λi、λj，按此行列总码将单刚元素送入总刚。即:k(i)(j)→2112213ABC(1)(2)(1)(2)15例13-2试求图示连续梁的整体刚度矩阵[K]。i1i2i31230123解：1）编码凡给定为零的结点位移分量,其总码均编为零。{λ}=112{λ}=2232）单元定位向量{λ}=3303）求单刚并集成总刚[k]=14i12i12i14i1(1)(2)↑↑124i12i12i14i1[k]=24i22i22i24i2(1)(2)↑↑23+4i22i22i24i2[k]=34i32i32i34i3(1)(2)↑↑30+4i31231

2300在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法)161n2312n+1对于n跨连续梁，有n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000[K]=[K]n+1，n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。1n2317情况复杂：1）结点位移分量增加到三个；2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；3）除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。1、结点位移分量的统一编码——总码yx000123040结点位移列阵:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T结点力列阵:{F}=[F1F2F3F4]T2、单元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6){λ}=1[123004]T{λ}=2[123000]TACB§13-5刚架的整体刚架矩阵183、单元集成过程×104[k]=1

123004[K]=123430000001230100030100500305030×104k2=×104123000+12+0－30+0+300+0－30+0+100求单刚191）结点位移分量的统一编码——总码铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和C2）它们的线位移相同，角位移不同，00012321AC1BD000456475C234、铰结点的处理线位移采用同码，角位移采用异码。2）单元定位向量：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①②③次序进行单元集成：20×104[k]=11三2三3三4三5三61三2三3三4三5三6三7300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30[K]=104×-30000300001三2三3三0三0三0k2=×104+12+0－3三0+0+30三0+0－3三0+0+10三0k3=×1044三5三7三0三0三0+1三2+0－3三0+0+3三00+0－3三0+0+1三00－3三0?211、三整体三刚度三方程三{F}=三[K]{Δ}三……三（a三）表示三由{Δ}→三{F}结点三力的关三系式三。反三映了三结点三的刚三度性三质，不涉三及结三构上三的实三际荷三载。2、三位移三法基三本方三程→∵在三给结三点位三移分三量编三总码三时，三已考三虑了三结构三的支三承连三接情三况，[K]是非三奇异三矩阵三。∴如三果已三知结三构上三的结三点荷三载{P}三，（三a）就是三求结三点位三移{Δ}的位三移法三基本三方程。{P}=三[K]{Δ}…三…（三b）注：三结点三力与三结点三荷载三的不三同。三结点三力是三发生三给定三的结三点位三移，在结三点上三所需三施加三的力三，它三与体三系的三刚度三有关三，由三刚度三方程确三定。三而结三点荷三载是三给定三的与三体系三无关三。由三结点三荷载三产生的三未知三结点三位移三由位三移法三基本三方程三求解三。3、三等效三结点三荷载平衡三方程三的荷三载{P}是作三用在三结点三上的三集中三荷载三，当三荷载三不是结三点集三中荷三载时三，应三化成三等效三结点三荷载三。§13三-6三等效三结点三荷载22↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3结点三约束三力{FP}=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1等效三结点三荷载三{P}三=－三{FP}{Δ}可由三位移三法基三本方三程(b)求得三.注意三：非结三点荷三载与三等效三结点三荷载三等效三的条三件是三，两三者产三生相三同结点三位移三。除了三结点三位移三外，三等效三结点三荷载三与原三荷载三产生三的其三它位三移和内三力并三不相三同。等效三结点三荷载三为位三移法三基本三体系三附加三约束三中约三束力三的负三值。而约三束力三为各三固端三力之三和。三所以三求结三构等三效结三点荷三载应三该先求三出单三元的三等效三结点三荷载三，它三是单三元固三端力三的负三值。位移三法方三程：234、三按单三元集三成法三求整三体结三构的三等效三结点三荷载⑴局三部坐三标系三中的三单元三固端三约束三力e⑵整三体坐三标系三中的三单元三等效三结点三荷载ee⑶整三体结三构的三等效三结点三荷载{P}由各三单元{P}中的三元素三按{λ}在{P}中进三行定三位并三累加三。e⑷等三效结三点荷三载与三直接三结点三荷载三叠加三，即三得结三构的三结点三荷载三。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13三-3三求图三示结三构的三等效三结点三荷载三{P}三.e解:三1)三求单元三①单元三②242)三求单元三①的三倾角α1=01三2三3三0三0三4单元三②的三倾角α2=9三0°123000{P}=123401210-1三0+4+0－54125-10251）整理三原始三数据三，进三行局三部编三码和三整体三编码三。2）三用式三（13三-6三）形成三局部三坐标三系中三的单三元刚三度矩三阵3）三用式三（1三3-三21三）形三成整三体坐三标系三中的三单元三刚度三矩阵4）三用单三元集三成法三形成三整体三刚度三矩阵[K]5）三形成三整体三结构三的等三效结三点荷三载6）三解方三程[K]{Δ}=三{P}，求出三结点三位移三{Δ}。7）三求各三杆杆三端力↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓θ1θ2θ3↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓FP2FP1FP3P2P1P3=-FP2=-FP1-FP3=Δ1Δ3Δ2θ3==θ2=θ1固端力{FP}@杆端三位移三产生三的杆三端力{P}计算三步骤§13三-7三计算三步骤三和算三例26000123000456例1三3-三4:三求内三力。三横梁b1×h1=0三.5三m三×1三.2三6m三,立柱b2×h2=0三.5三m三×1三m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m213xy解:1)三原始三数据三及编三码27e13×10－32×10－32)形成[k]283)三形成三[k]单元三①、三③(α=三90o)坐标三转换三矩阵三为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)三形成三[K]123+][11k③+][11k①úúûùêêëé=][][][][][22211211kkkkK②②②②29×10－35)三求等三效节三点荷三载{P}111单元三在整三体坐三标系三中的三等效三节点三荷载集成三等效三节点三荷载306)三解基三本方三程31②7)三求杆三端力单元三①1①①①①②②②②32③③③③③②①8.492.093.三044.三38M图(kN.m三)4.76＋1.24－－0.三431.24＋1.24Q图(kN)N=三0.三43N=三－1三.2三4N=三－0三.4三3N图(kN)331）三结点三位移三分量三的统三一编三码—三—总三码在刚三结点A铰结三点C1和C2处，竖向三位移三均为三零，三故其三编码也应三为零三，另三外它三们的三水平位移三分量三都相三等，三因此三它们的水三平位三移应三采用三同码三。00010221AC1BD000103140C232）三单元三定位三向量三：{λ}=1[1三0三2三1三0三3三]T{λ}=2[1三0三2三0三0三0三]T{λ}=3[1三0三4三0三0三0]T3）三按①三②③三次序三进行三单元三集成三：§1三3-三8三忽三略轴三向变三形时三矩形三刚架三的整三体分三析34×104[k]=11三0三2三1三0三31三2三3三4123410210330三00－3三00010三00+050－3三00+0+3三00+0050+010三01三0三2三0三0三0k2=×1041020000三0三00三10三0三5三00三5三0三1三00+12－3三0－3三0+10三0k3=×1041三0三4三0三0三0104000+12－3三0－3三0+10三0[K]=104×35例1三3-三5:三求内三力。三横梁b1×h1=0三.5三m三×1三.2三6m三,立柱b2×h2=0三.5三m三×1三m忽略三轴向三变形三的影三响。三.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解:1)三原始三数据三及编三码000102000103213xy36e13×10－32×10－32)形成[k]373)三形成三[k]单元三①、三③(α=三90o)坐标三转换三矩阵三为13×10－3单元②(α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:224)三形成三[K]123381三0三2三0三0三0①1020002.三31－6三.9三427三.8－6三.9三4③1三0三3三0三0三0103000+2三.3三1－6三.9三4－6三.9三427三.8②1三0三2三1三0三3102103+5三2.三5－5三2.三5+0+0+5三2.三5－5三2.三5+0+2三7.三8+013三.9+0+0+013三.9+2三7.三8+04.三62三－6三.9三4三－三6.三94－6三.9三4三5三5.三6三1三3.三9－6三.9三4三1三3.三9三5三5.三6123123[K]=10－3×395)三求等三效节三点荷三载{P}111单元三在整三体坐三标系三中的三等效三节点三荷载集成三等效三节点三荷载6)三解基三本方三程40②7)三求杆三端力单元三①1①①①①②②②②41③③③③③②①8.412.093.三094.三47M图(kN.m三)4.75＋1.25－－0.三431.25＋1.25Q图(kN)N=三0.三43N=三－1三.2三5N=三－0三.4三3N图(kN)由单三元刚三度方三程求三出的三杆端三轴力为三零。三为什三么？根据三节点三平衡三由剪三力求三轴力三。②①③轴向三变形三影响三不大三。42单元三的刚三度方三程(三局部三坐标三）u1u2X1X2e12X1X2Y2Y1X1X2yxx注意三：①三桁架三单元三的结三点转三角不是基三本未三知量三。②三无须三求等三效结点荷三载。三③杆三端力三是由三结点三位移产生三的。§1三3-三9三桁三架及三组合三结构三的整三体分三析坐标三转换三矩阵单元三的刚三度方三程(三整体三坐标三）433ll10kN10kN例1三3-三6三求图三示桁三架内三力(EA三=常数三)。解：三1、三编码三如图三；⑥①②③④⑤124{0}{0}2、形成3、三形成三[k]@[k]②=[k]④=[k]②=[k]④单元三①③α=三90三°[k]①=[k]③=44单元三⑤α=三45三°[k]⑤=单元三⑤α=三13三5°[k]⑥=3ll10kN10kN⑥①②③④⑤124{0}{0}4、三集成三总刚三[K]5、三节点三荷载456、三解基三本方三程7、三杆端三力计三算46补充三内容节点三位移三分量自由三节点三位移三分量三(基三本未三知量三，相三应的三节点三荷载三已知三)受约三束的三位移三分量三(已三知量三，相三应的三约束三反力三未知三)先处三理法1、三节点三位移三分量三中不三含受三约束三的支三座位三移，三节点三力分三量中三不含未三知的三支座三反力三。2、三由单三刚考虑边界条件[K][Δ]3、三对于三具有三非刚三性连三接、三支承三节点三较多三且分三散、三不考三虑轴三向变形三的结三构最三为方三便。三可减三少内三存，三提高三计算三速度三。但三要对各三节位三移进三行统三一编三码，三形成三各单三元的三定位三向量三。后处三理法1、三节点三位移三分量三中含三有受三约束三的支三座位三移，三节点三力分三量中三含有未三知的三支座三反力三。2、三由单三刚考虑边界条件[K][Δ](原三始刚三度矩三阵,三奇异三)3、每个节点位移分量数相同，的阶数是节点总数乘节点位移分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。47补充三内容后处三理法三边界三条件三的处三理在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由[k]@集成的是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。没有三确定三的位三移解三。位移三边界三条件三处理三的三三种方三法：1、三划行三划列三法编制三程序三较复三杂，三不常三采用三。2、三主对三角元三置大三数法设第i个节点位移分量(已知)0di=D0di=D为了三将第i个方三程改三为:将kii置一三大数三如R=1三020Pi改为Rd0第i个方三程变三为:该法三虽为三近似三处理三，程三序设三计容三易实三现，三故被三广泛三应用三。RRd048补充三内容2、三主对三角元三置1三法0di=D第i个方三程变三为:为了三不破三坏总三刚的三对称三性第i列也三作相三应的三处理三。为了三不影三响其三他方三程，荷载三向量三也要三作相三应的改变三。0三0三·三··三1三·三··三0d000··三·1··三·0该法三是精三确的三处理三方法三，被三经常三采用三，但三不如三主对三角元三置大三数简三便。491）三结点三位移三分量三的统三一编三码—三—总三码在刚三结点A铰结三点C1和C2处，竖向三位移三均为三零，三故其三编码也应三为零三，另三外它三们的三水平位移三分量三都相三等，三因此三它们的水三平位三移应三采用三同码三。00010221AC1BD000103140C23形成三图示三刚架三的整三体刚三度矩三阵2）三单元三定位三向量三：3）三按①三②③三次序三进行三单元三集成三：50×104[k]=11三0三2三1三0三31三2三3三4123410210330三00－3三00010三00+050－3三00+0+3三00+0050+010三01三0三2三0三0三0k2=×104