八年级数学秋季人教版教案

八年级数学秋季人教版教案

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版学校：

教年八年授课时年月日

师级级间

课2课时课第一讲一三角形的边角关系

时题

教材分析本节以三角形三边关系，三角形内角和外角之间的关系为重点

学习内容，其中三角形内角和定理，三角形外角的性质也在本节中

有重要体现.

本节例题与习题难度不大，其中，启动性问题，或例4,例6

可作为学生分组生生互动教学，探究多种解法.

与三角形中相关的题目未在教材中出示，故在拓展延伸题目出

示，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲内容

知识技1.结合具体实例，使学生掌握三角形边角关系定理及推论；

能2.掌握三角形的高、中线、角平分线的概念和性质；

3.理解三角形外角的概念，熟练地应用三角形的性质

学过程方通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理

法能力和有条理地表达能力

目

标问题解1.运用三角形的有关知识解决相应的数学问题.

决2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和

探索的结果

情感态在解决与三角形有关的问题时，锻炼学生推理，归纳的能力

度

教学重点、难1.三角形边角的关系；

点2.熟练应用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解题

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论教学过程

记录

导入

播放导入

找学生说说三角形的定义，分类，以及三角形的边和边，以及

角和角之间有什么性质？

指定学生回答，其他同学补充，师根据学生的回答进行适当的

补充：

1.三角形的概念

定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的

图形叫做三角形.

2.三角形的分类

‘锐角三角形

三角形〈直角三角形

钝角三角形

‘三边都不相等的三角形

三角形LH而一后也［底边和腰不相等的等腰三角形

等腰二角形等边三角形

3.三角形的重要线段

在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角

平分线、三角形的高.

说明：

（1）三角形的三条中线的交点在三角形的内部.

（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部.

(3)锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的

三条高的交点是三角形的顶点；钝角三角形的三条高所在直

线的交点在三角形的外部.

4.三角形三边的关系

定理：三角形任意两边的和大于三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

师补充：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条

线段能否组成三角形;判断三条线段能否组成三角形也可以

直接检验较小的两边的和是否大于第三边.

5.三角形各角的关系：

定理：三角形的内角和是180度；

推论：

(1)当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°.

(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

(3)三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.

师强调：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多

有一个钝角；最多有一个直角.

(二)教学探究

教学例1：课件出示例1：

例1如图，平面上有A、B、C、D、E五个点,其中8、C、。及

4、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个

点为顶点的三角形有()A

A.4个B.6个/

C.8个D.10个«-----N_•

BCD

1.师：要想知道组成几个三角形，我们首先要做什么呢？

生：连接A3,BE,DE.

2.学生独立数三角形的个数.

2.师指定平时学习叫马虎的学生说说都有哪些三角形，其余同

学补充和纠正错误.

做此类题一定会有学生数错，数重后少数，此时师需要强调：

按照一定的顺序来数才能保证不重不漏.

(△ABE,/\ADE,ABCE,△ECD,AABC,△ACO,△

BED,AABD)

3.师总结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法.

答案：C

教学例2：

师：在我们看第二道题之前，先让我们来看看下面这道题：

课件出示类似性问题2

2.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒，任取其中三

根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()

A.1B.2C.3D.4

1.学生独立完成，然后指定学生说说此类题的解题思路：

先找出三个木棒的所有组合，然后根据三角形三边的关系判定

三根木棒是否可以组成一个三角形.

2.师小结：判断三条线段能否组成三角形也可以直接检验较小

的两边的和是否大于第三边.

师：同学们肯定会说上边题太简单了，让那个我们来看看下面

这道题要怎么做呢？

课件出示例2：

边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是______.

学生一看此题没有思路，需要师引导学生分析：

师：这道题告诉我们等腰三角形的周长为20和这个三角形的边长

整数，并没有告诉任何一边的长，那么我们要想确定等腰三角

形的个数，第一步我们应该怎么做呢？

生：可以先设出等腰三角形的腰长和底边长，

师：说的非常好，如果我们设腰长底为。，就知道2a+b=20.就

根据这一个条件我们还是不能确定等腰三角形的个数，那接下

来我们要怎么做呢？

生：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，可以知道

2a>b.

师：利用的这个关系非常关键呀，根据2a+/20,这两

个条件，我们能得到什么呢？

生独立计算，然后指定学生说说自己的思路：

生1:2a+b>24进而得到b<10,又因为b>0,我们知道0

<b<10,根据〃为整数，所以可以确定b可能取得值为9,8,7,

6,5,4,3,2,1,然后再根据。为整数可以确定当6=8时，。=6；

当8=6时，a=7,当。=4时，a=8；当6=2时，a=9.

生2:2a+2a>b+2a,进而得到a>5,...

师：注意提醒学生一定要注意题目中的隐含条件:三角形三边的

关系.

答案：4

教学例3：

师：前边我们研究与三角形三边关系相关的问题，接下来让我

们来看看与角相关的问题我们要怎么解决：

课件出示例3：

例3已知三角形三个内角的度数分别是x,y,z,且x+y<z,则

这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

1.师：对于这道题仅仅利用题中的这一个条件能判定吗？

生：不能判定，还必须利用三角形的内角和为180°.

2.学生尝试独立完成本题，老师巡视.

生：因为x+y+z=180°,x+y=180°-z,所以180°-zVz,解得

z>90°,有一个角的度数大于90°,就可以确定这是个钝角三角

形.

3.师小结：在求跟三角形有关的角的度数时,经常要使用的隐含条

件:三角形的内角和为租为.

答案：C

课件出示例4：

过渡：小颖的妈妈是某公司的一名工程师，她制作一个零件的

形状」.黄皿一.—"…134090°,ZB=21°,ZC=20°,检查

Vz

工人就断定这个零件不合格，你能运用所学的

知识

1.师：我们要怎么判断这个零件合不合格呢？

生：先要计算出合格的产品的NBOC的度数，与130°比较，

一样就合格，不一样就不合格.

师：怎么求合格产品的NBDC的度数呢？

2.学生独立完成，然后指定学生说说的自己的解题方法，引导

学生探究多种解题思路.

生1：连接并延长，利用三角形外角的性质可以得到Nl=

Z3+ZC,N2=N4+NB,所以/BDC=NBAC+/B+/C

生2：延长CO交AB于E,利用三角形的外角性质可以得到

师：题目中并没有告诉我们角的度数，我们要怎么求这几个角

的度数和呢？

生：尽可能把五个转化成到一个三角形中，或同一条直线上.

师：怎么转化呢？

生独立思考，同桌之间相互说说，指定学生说说自己的解题思

路.

生1:通过仔细观察仔细观察图，利用三角形的外角定理可以

知道N1=NB+NE,Z2=ZA+ZC,

令珏巾〃1萝介1滞%够证明NA+N8+NC+ND+/E=180°

A利用三角形的外角定理来转化,还有别的方

法吗、/\―)

生回答，师需要引导学生，让学生观察下面的图

并说出：Z1+Z2=Z3+Z4,对顶三角形.

师：例4(1)我们能用对顶三角形形来解决吗？

生独立思考，然后同桌之间相互讨论，并指定学生说说自己的

解题思路：

生：可以利用对顶三角形来做,连接CD,观察绿色的部分很容

A

易就AG三角形，进而得到N1+N2=N3+NE,

然后gT/\-/+ZACD+ZADC=180°,进而得到N

AM+Z180°.

师(拓展)：同学们，仔细观察下面图中灰色的图形，与我们前

边介绍的那哪个图形一样呢？

B*E

生：燕尾模型.

师：非常好，这就是我们上节课我们介绍的燕尾模型，它有什

么结论？

生：Z1=ZC+ZA+ZD.

师：说得非常好，Z1=ZC+ZA+ZD,那么N2等于什么呢？

生：Z2=ZB+ZE.

师：又因为Nl+N2=180°,很让就得到了NB+NE+NA+N

C+ZD=180°.

师：我们要熟练掌握以前学习的结论，对于解决填空题和选择

题可以达到事办公倍的效果.

对于例4(2)(3)学生独立完成，然后指定学生讲解.

(三)课堂总结：

对顶三角形模型：ZA+ZB=ZC+ZD.

第二课时

复备内容及讨论教学过程

记录

（一）衔接：

师：我们前面主要研究三角形的内角之间的关系，我

们接下来研究怎么利用三角形的外角的性质来解决问题.

同学们，你还记得什么是三角形的外角？三角形的外角有

什么性质？

老师找同学回答.

师：同学们回答的非常好，我们都记住三角形的外角

概念及性质，接下来我们看看同学们对三角形的外角知识

的运用是不是也很熟练呢？看下面的题：

（二）自主探究：

课件出示例5：

例5如图，△A8C中，NA,/B,/C的外角分别记为

Za,/夕，Z/,若Na：Zp：Z/=3：4：

5,则NA：ZB：ZC=（）

A.3：2：1B,1：2：3

C.3：4：5D.5：4：3

J

1.学生独立分析题目，并说说从题中的信息可以得到哪

些：

生：由题目中三角形三个外角的比，和三角形外角和为

360°,我们可以知道求出每个外角的度数.

师：很好，三角形的外角和为360°.现在三角形的外角

知道内角的比不是就很快求出来了.

2.生独立完成，然互指定学生说说自己的但，其他同学指

出错误并更正.

3.师总结：

（1）三角形的外角和等于360°；

（2）方程思想是解决几何计算问题时常用思想.

答案：A

师：下面让我们来做几道练习题：

课件出示类似性问题5,6

5.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的

短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则

Z1的度数为.

学生独立完成，师请学生回答具体的做题步骤，老师

最后出水答案.

类似性问题

6.如图所示，求NA+NB+NC+ND+NE+NE的度数.

E

D

请同学们思考：

1.此题能用前面所讲的例4的解题方法来解吗？

2.这道题能利用三角形的外角的性质来解吗？

学生尝试独立回答问题，老师点评.

出示例6：

课件出示例6：

例6如图，直线AC//BD,连接AB,直线AC,BD及

线段AB把平面分成①、②、③、④四部分，规定：

线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分

时、连接构成N/MC,ZAPB,NPBD三

个角.

（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角的度数

是0°）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：ZAPB=ZmC+

NPBD；

（2）当动点P落在第②部分时，ZAPB=ZPAC+ZPBD

是否成立（直

接回答成立或不成立）？

（3）当动点尸在第③部分时，全面探究/孙C,NAPB,

NPBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相

应的结论.选择其中一种结论加以证明.

③

/C

②/①

BD

④

1.由学生自己独立完成此题的(1),师请同学说说自

己的解题思路.(探究多种解法)

生1：延长交直线AC于点E由根据平

行性质可知NP£4=NPBD.根据三角形外角的性质可知N

APB=ZPAE+ZPEA,ZAPB=ZPAC+ZPBD.

生2：过点P作尸尸〃AC,ZMOZAPF.VAC

//BD,二FP//BD.

NFPB=NPBD.：.NAPB=/APF+NFPB=NMC+

NPBD.

2.(2)学生独立通过画图来说明，指定学生说说.

3.(3)学生分组讨论动点P的具体位置都可以在哪

里,然后指定学生说说：

生1：动点P在射线的右侧；

生2：动点尸在射线8A上

生3：动点P在射线的左侧.

4.点P的位置有3个，那么对应的NP8。，APAC,

/AP8之间的关系是什么呢？

小组讨论，然后指定小组分别说说结论，并说说

①当动点P在射线84的右侧时，结论是NP8D=N

PAC+NAPB.

②当动点P在射线BA上时，结论是NP8/ANB1C+N

APB.

③当动点P在射线BA的左侧时，结论是

APB+NPBD.

5.师总结：解此类探索性命题的关键是由图形提供的信

息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角

之间的变化规律.

答案：

(1)延长BP交直线AC于点£

(2)不成立.

(3)①证明：连接讯P5,如图.

设PB交AC于M,

AC//BD,：.ZPMC=ZPBD.

又,:ZPMC=ZPAM+ZAPM,

：./PBD=NPAC+NAPB.

②证明：如图（4）.

•.•点尸在射线84上，：.ZAPB=Q°.

•/AC//BD,AZPBD=ZPAC,

：.ZPBD=ZPAC+ZAPBs^ZPAOZ.PBD+AAPB或

ZAPB=Q°,ZPAC=ZPBD.

AC//BD,:"PFO/PBD.

,/ZPAC=ZAPF+ZPFA,

：.ZR\C=ZAPB+ZPBD.

学生独立完成类似性问题1,2,3,4.

类似性问题4,师注意提醒学生翻折的性质.

拓展延伸：

在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线8。

将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三

角形的底边长为（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

学生独立完成，然后指定学生说说此题，其他同学指

出错误并更正.

在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线8。

将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三

角形的底边长为（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

学生独立完成，然后指定学生说说此题，其他同学指

出错误并更正.

提示：

情况1：AB+AD=15

情况2：AB+AD=12

答案：c

课堂总结：

这节课同学们进一步巩固、复习了有关三角形的边角

关系的知识.以下几点需要同学们课后牢牢掌握.

1.三角形的内角和等于180°三角形外角和为

360°；

2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

3.判断三条线段能否构成三角形，只要验证最短的两边和

类似性问题：

1.A

2.B

3.A

解析：•.•△4DE是由△ABC沿。E翻折变换而成，

/.ZAED=ZA'ED,ZADE=ZA'DE,ZA=ZA'=75°,

AZAED+ZADE=ZA'ED+ZA'DE=i80°-75°=105°,

.,.Zl+Z2=360°-2X105°=150°.故选A.

4.C

5.75°

6.方法一：

解：设BE,CF,AO相互交于G,H,K,如图.

ZHGC=ZB+ZC,ZGHD=ZD+ZE,NFK"=NA+NF.又因为N"GC,

NGHD,NfX”是△GK”的外角，所以///6。+/6"。+/"77=360°.

所以NA+NF+NB+NC+ND+NE=360°.

练习册答案：

1.C

2.A

3.B

解析：只有当。2=2,a3=ai+a2=3,a4=a2+a3=5,。5=。3+。4=8,熊=。4+。5=13时，7条线

段中任意三条都不能构成三角形，故。6=13.故选B.

4.C

5.7,6,3或7,6,2

6.40°

7.120°

8.

解：AB是NAB邺平分线，A[C是NACD的平分线,

11

NABC=—ZABC,ZA.CD=—ZACD.

1212

又NACD=ZA+NA8C,NACD=ZA|8C+NA],

1/1

—(NA+N4BC)=—ZABC+ZA,

22

1

NA二一NA

12

八e

'：ZA=&ZA.=一.

112

/、=B-T/口1110

(2)同理可得幺2=—=—X—。=—,

22222

9

ZA=------

n•»

2

9.解：由题意易得五边形ABCDE的内角和为540°.

因为五边形A8CDE的内角都相等，

所以NE=NEZ)C=NC=540°4-5=108°.

在△AED和△BCD中，Zl+Z2=180°-ZF=72°,

Z3+Z4=180°-ZO72°.

又因为N1=N2,N3=N4,

所以Nl=36°,Z3=36°,

所以x=NEDC-/l-N3=36°.

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版学校：___________

教年八年授课时年月日

师级间

课2课时课第2讲一多边形及其内角和

时题

教材分析本节以多边形的内角和与外角和，多边形的对角线的应用，星

形的角度求和为重点.

本节例题与习题难度不大，其中，启动性问题，或例4,例5

可作为学生分组生生互动教学，其余例题学生独立完.

与平面镶嵌的相关的内容未在教材中体现，故在拓展延伸题目

出示，作为教师在课堂选讲内容

知识技1.使学生能够了解并掌握多边形内角和的性质和求法，会应用多边

能形的内角和公式求多边形的内角和.

2.在学生掌握相应的知识之后，能够利用这些知识解决生活当

中的一些具体的问题.

学过程方以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨

法论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性

目

标问题解1.运用多边形的有关知识解决相应的数学问题.

决2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和

探索的结果

情感态能在实际生活中发现有关多边形内角和的数学问题，并加以解

度答；体会与他人合作交流的过程.

教学重点、难重点：

点能够熟练的掌握多边形内角和以及外角和的求法和相应的性

质

难点：

能会求常见的星形角度和以及平面镶嵌的一些知识

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论教学过程

记录

导入

欢迎大家来到的数学课堂，上节课我们学习了三角

形的边角关系，今天我们将继续学习我们后面的课程，

今天的教学内容一一“多边形及其内角和”.在我们开

始正式上课之前，先让我们来看看下面这道题：

播放导入

1.通过读题，说说从已知条件我们能得到什么信

息？

生：通过读题，我们发现这个图形是一个封闭的图

形，而且是一个正多边形，这个多边形的每条边长都是

10米.这个多边形的每个角的外角都是20°.

师：说得非常好，那由这位同学说得，你能知道这

个多边形是几边形吗？

生：可以，这个多边形是正十八边形.

师：你是怎么求得？

生：多边形的外角和是360°,又因为每个外角的

大小都是20°,所以正多边形的边数是360°4-20°

=18.

师：那他第一次回到出发地M,一共行走18X

10=180米.

师：看来同学们对多边形的外角与外角和掌握的非

常不错，那么关于多边形我们还学习了哪些知识呢？

指定学生发言，其他同学补充.

多边形的内角和：〃边形内角和等于

(〃-2)•180°.

多边形的外角和：任意多边形外角和等于360°.

多边形的对角线：凸n边形共有,〃(〃-3)条对角

2

线.

平面镶嵌

定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全

覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面

（或平面镶嵌）问题.（几个正多边形的同一个顶

点的几个角的和等于360°）

说明：正三角形、正方形和正六边形可以镶嵌平面图案,

正五边形不能镶嵌平面图案.

（二）教学探究

探究类型一多边形的对角线

师：n边形一个顶点出发引的对角线的条数,一共有

多少条呢？

生：n-3.（〃一3）.

教学例1：课件出示例1：

例1今年暑假，学校安排全校师生的假期社会实践活

动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指

导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班

每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电

话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该

班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决

这一问题，小明把该班师生人数〃与每周至少通

话次数s之间的关系用下列模型表示，如图.

请你根据小明设计的模型，求出该班每周师生间至

少共要通的电话次数.

1.先请找同学来读题，并找同学说说自己的解题思

路.

生：通过图中的信息，我们可把53个师生看做是

一个五十三边形.S就是五十三边形的边数与其对角线

条数的和.

师：说的很对呀，那我们要怎么求这五十三边形的

对角线的条数呢？

生：根据〃边形的对角线条数公式为,〃(〃-3).

2

2.生独立计算，然后指定学生核对答案.

答案：

解：将七(1)班师生53人看作是五十三边形的53

个顶点.

由n边形的对角线条数公式3),

2

得，x53x(53-3)=1325.

2

所以五十三边形的边数与其对角线条数的和是

1325+53=1378.

答：该班每周师生之间至少要通1378次电话.

3.总结：

(1)建立数学模型是解决实际问题的基本方法；

(2)”边形的对角线的条数公式为:〃(〃-3).

4.巩固练习：

类似性问题5,学生独立完成，然后指定学生说说

自己的解题思路.

5.过〃?边形的一个顶点有7条对角线，〃边形没有对

角线，A边形共有A条对角线，则(加-2)"=________.

探究类型二多边形的内角和与外角和

教学例2,课件出示例2：

师：在我们看第二道题之前，先让我们来看看下面

这道题：

例2已知一个多边形的外角和等于内角和的！，求这

3

个多边形的边数.

1.学生独立完成此题.

2.师指定中等程度学生讲解，并总结解决此类题的

方法.

3.小结：解这类型题目只要我们牢牢记住两点：

多边形的外角和是360°；

多边形的内角和公式为（〃-2）-180°.

答案：

解：设这个多边形的边数为根据题意，得

（〃一2）x180°=36O°x3,

解得n=8.

答：这个多边形的边数是&

教学例3,课件出示例3：

例3如图，小陈从。点出发，前进5米后向右转20°,

再前进5米后又向右转20°,……这样一直走下

去，他第一次回到出发点。时一共走了（）

O'^4^20°--

A.60米B.100米C.90米D.120米

这个题目和我们的启动性问题几乎是一模一样，学

生独立解答本题，看看谁能又快又好的解决这个题目.

老师

巡视，帮助有困难的学生.最后指定学生讲解.

答案：C

三、巩固拓展：

小结：通过这两个题目，你们是不是掌握怎么利用

多边形内角和和外角和的相关知识来解决问题.那下面

让我们做几道练习题.

类似性问题：

1.学生独立完成类似性问题1

2.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的

内角和是1620°,则原来多边形的边数是（）

A.10B.11C.12D.以上都有可能

1.师：同学们，如果一个四边形截取一个角后，变

成什么图形呢？并说说你是怎么做到的？

学生动手画一画，并学生到黑板上去画.

2.师：同学们，谁能说说从一个多边形中剪去一个

角，我们可以怎么剪呢？多边形的边数会发生改变吗？

学生动手画图，试一试，然后找学生说说自己的结

论.

提示:可能是三角形，四边形，五边形.

师：那如果是一个五边形截取一个角呢？

提示：可能是四边形，五边形，六边形.

3.师:通过我们动手画一画你发现了什么呢？

提示1：可以经过两个相邻顶点，则比原来少了一条

边.

提示2：经过一个顶点和一个边,边数不变的.

提示3：经过两条邻边，边数增加一条.

师：同学们，说的非常好，那么我们这么做的话多

边形的边数有什么变化吗？你们能总结出什么规律？

4.学生分组讨论，然后找学生汇报.

生：一个〃边形剪去一个角后，剩下的形状可

能是〃边形或（"+1）边形或（〃T）边形.

5.学生自己独立完成，然后老师找学生说说自己答

案，老师根据学生回答的情况给出相应的评价.

答案：D

（四）课堂总结：

通过这一小节内容的学习，相信同学们对多边形的

内角和与外角和的相关性质有了不少的了解，并且也熟

练的掌握了怎么求多边形对角线的条数.那么我们将会

在下一小节课程中继续学习相关的知识.

第二课时

复备内容及讨论教学过程

记录

(-)衔接：

师：这节课让我们看看怎么求星形图案的内角和。

(二)自主探究：

探究类型三常见的星形角度和

课件出示例4：

例4如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=____

八

1.师：通过仔细观察图，我们发现/I,Z2,Z3,

N4,N5,Z6,Z7,不在一个图形了，我们要想求出

这几个角的和，我们要怎么做呢？

生：要通过转化把这些角弄到一个图形中去.

2.学生分组讨论，师巡视，然后老师找学生汇报.

生：做辅助线：连接DH,将Nl,Z2,Z3,Z4,

N5,N6,N7的和转化为五边形的内角和.

3.(1)此种还可以通过倒角来求得，注意多种方法

的应用；

(2)这就是常见的星形的角度求和问题，一般要构

造多边形，将其中的某些角转换到多边形中，以便利用

多边形内角和公式求解.

答案：

解：连接。由题图易得N3+N4=NKD"+NK〃D

/.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7

=Nl+N2+/KDH+/K”D+/5+N6+/7

=(5-2)X180°

=540°.

课件出示例5：

例5如图所示，CO〃4凡NCDE=NBAF,ABLBC,

ZC=124°,NE=8Q°,试求//的度数.

1.师引导学生分析：

师：对于这道题我们能直接求N尸的度数呢？

生：不能，必须要添加辅助线.

师：如何添加辅助线呢？同学们分组讨论一下.

2.学生分组讨论，然后找学生说说自己添加辅助线

的方法及解题思路：

生1：延长C3交朋的延长线于G,利用平行线的

性质得

ZC+ZG=180°,得到NG=56°,然后再根据三角

形外角的性质可以求出NCDE=N8Ab的度数,最后在六

边形中中求NF的度数.

生2：连接AD.根据平行的性质可得/1=/2.又因为

ZCDE=ZBAF,利用四边形的内角和都为360°可得N

3.小结：在解决这类问题的时，我们往往会作辅助

线，来构造一个多边形或是把一个复杂的多边形分解为

几个简单的多边形.

答案：

因为CO〃AF,所以N1=N2,

又因为忆

所以NBAO=NA£>E,

所以易证得NB+NONE+NE

因为A8_LBC,所以/8=90°.

所以NF=N3+NC-NE=134°.

探究类型四缺角多边形的边数的求法

课件出示例6

例6学校小聪在进行多边形的内角和的计算时，求得

内角和为1680°,当他检查时发现答案错了，少

加一个内角，你能找出这个内角吗？这个多边形

是几边形？

1.学生独立审题，然后分组讨论，师给予适当的提

示：多边形内角和的度数在1680°-I8600,〃为正整

数.

2.指定学生汇报该组的解题思路：

生：设少加内角的度数为x,则多边形的内角和为

x+1680s=(n-2)xl80o,然后根据0。<x<180°,n

为正整数求出x的值，为120。.

3.本题考查了多边形内角和公式，根据多边形的边

数为正整数求解，问题中如果出现两个未知量，但相等

关系只有一个，这就需要借助不定方程求解.

巩固拓展

学生独立完成3,4,6,然后指定学生讲解,尤其是3

题，需要让学生说明做题的根据：(根据三角形三边关系

来求)

3.用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不

计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、

6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角

时不破坏此木框，则任意两螺丝的距离的最大值是

()

A.5B.6C.7D.10

4.如图，四边形ABC。中，若去掉一个60。的角得到

一个五边形，则/1+N2=度.

6.如图，求NA+NB+/C+/D+/E+NF+NG的度

数.

拓展延伸：

现有四种地面前，他们的形状分别是：正三角形、

正方形、正六边形，正八边形，且他们的边长相等，同

时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有()

A.2种B.3种C.4种D.5种

生独立完成，师巡视：根据学生的请框给出提示：

几个正多边形的同一个顶点的几个角的和等于360°.

答案:B

课堂总结：

〃边形内角和等于(n-2)-180°；

任意多边形外角和等于360°；

凸〃边形共有工〃(〃-3)条对角线.

2

平面镶嵌：几个正多边形的同一个顶点的几个角的

和等于360°.

本讲教材及练习册答案:

类似性问题

1.C

2.D解析：设截后的多边形的边数为n,则（〃-2）-180°=1620°,解

得«=11,所以原来的多边形的边数可能是10或11或12.故选D.

3.C

4.240

5.125解析：由m-3=7,得m=10.由n边形没有对角线，所以n=3.由工

2

qo

k（b3）=k,得仁5.故（加加=（10-5）=5=125.

6.解：因为NA+NC+NE=180°,ZB+ZD+ZF+ZG=360°,

所以/4+/8+/0+/。+/七+//+/6=540°.

练习册：

1.C

2.D解析：由题意得（〃-2）•180°=2520°所以“=16,则多边形的边数可能是

15或16或17.

3.300°

4.180°

5.解：设多边形的边数为〃，一个外角为尤。，依题意得（〃-2）•180°+x°=600°,

即（〃-2）-180°=600°-x°.

因为（〃-2）-180°是180°的正整数倍，

所以600°-x°也是180°的正整数倍，

所以产60,〃=5,即此多边形的边数是5.

6.解：（1）因为2005°不是180°的整数倍，所以小明说不可能；

（2）设该多边形的边数为〃，

根据题意得0°<2005°-（”-2）X180°<180°,

解得12—</?<13▲.又因为〃为正整数，所以“=13,

3636

所以多边形的边数是13,该多边形为十三边形.

（3）因为十三边形的内角和是（13-2）X18O0=1980°,

所以错把外角当内角的那个外角的度数是2005°-1980°=25°.

7.解：连接AC,在△ACO中，4VAe<16,

在AABC中，AC-3<m<AC+3,

所以lVmV19.

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版学校：

教年八年授课时年月日

师级级间

课2课时课第三讲一全等三角形

时题

教材分析本节以主要讲的三角形全等的判定方法，本节例题与习题都比

较简单，课堂以学生生生互动为主导，师适当引导为主，让学生掌

握三角形全等的判定方法

知识技1.熟悉全等三角形的概念，全等三角形的性质及判定全等三

能角形的条件；

2.会判断哪些三角形是全等三角形，会应用全等三角的性质

解决相关问题；

学3.用全等三角形的知识探究实际生活中的问题

过程方通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，提高同学们推理

目

法能力和有条理地表达能力

标

问题解L学生经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得全等三角

决形的性质和寻找对应边与对应角的方法，能够运用全等三角形的

性质解决简单的问题.

2.在与同学交流合作的过程中，能较好地理解同学的思考方法和结

论，并能对同学所提问题进行反思，初步形成评价与反思的意识

情感态1.通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑

度的习惯；

2.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创

新，多方位审视问题的创造技巧

教学重点、难全等三角形的性质与全等三角形的判定方法及其综合应用

点

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论教学过程

记录

师：在我们今天开始学习新内容之前，让我们看看小亮，小萍,

小颖他们这次又遇到什么新问题？

播放导入

学生分组讨论，由各小组的组长发言，老师点评.

提示：构造全等三角形

师：哪位同学说说关于全等三角形我们都学习了哪些知识呢？

生自由回答，其他同学补充.

师总结：

全等形

性质Y_1巨琴三角形I<2=|判定

尤其注意学生说性质时，注意强调：对应线段（角平分线、中

线、高）相等，周长相等，面积相等；判定时注意强调：AAA”

和“SSA”不能判定两个三角形全等.

师：下面让我来看看怎么应用这些知识来解题.

（二）教学探究

教学例1：课件出示例1：

例1如图，点A,E,F,C在同一条直线上，AAED4ACFB,

你能得出哪些结论？（答出5个即可，不需证明）

B

1.师：如果两个三角形全等，我们能得到哪些性质？

生：全等三角形的的对应边相等，对应角相等.

学生独立完成，老师指定学生说说自己的答案及其理由，并找

其他同学指正错误，并改正.

3.师：

（1）全等三角形的对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的

边是对应边；

（2）对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；

（3）公共边是对应边.公共角是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长边（最大角）是对应边（对应角），

一对最短边（最小角）是对应边（对应角）.

答案：

解：AD=CB,AE=CF,ED=FB,

NADE=/CBF,/AED=/CFB,NEAD=NFCB等.

师：下面让我们来看看怎么利用全等三角形的判定方法来证明

全等呢？

探究类型二“边边边”定理（SSS）

教学例2：

课件出示例2：

例2如图，点C是的中点，AD=CE,CD=BE.

求证：4ACDm4CBE.4

1.学生尝试独立解决此题，教师并巡视.

2.指定学生说说自己的解题思路.

3.师注意提醒学生：

(1)判定两个三角形全等的条件的前后顺序与书写两个三角

形全等的前后顺序保持一致，即等号左边是全等号左边的三角形的

三边，等号右边是全等号右边的三角形的三边；

(2)书写两个三角形全等时，对应顶点的字母写在对应的位置

上.

答案：

证明：•.•点C是的中点，...AOCB.

在△ACO和△口?£中，

AD=CE,

<CD=BE,

AC=BC,

：.AACD^ACBE(SSS).

探究类型三“边角边”定理(SAS)

课件出示例3：

例3如图，点E,尸在AC上，AB//CD,AB=CD,AE=CF,求证：

产---------

1.师：仔细分析题发现，要证△ABFgACDE,题目直接就告

诉我们AB=C。,只知道一条边，我们要证三角形全等，还需要找什

么条件呢？同学们独立分析题意.

2.学生独立分析题目的提条件，然后指定学生说说从条件中得

到什么条件？

生：由AB〃C。，可以知道NA=NC；由AE=CF可以知道

AF=CE,然后根据边角边就可以判断全等了.

3.师：注意在用边角边判定三角形全等时，边角之间的位置关

系必须是两边及夹角，而不是只要有两边及一角.两边和一边的对

角对应相等的两个三角形不一定全等.

4.拓展：

师：如图，在△A3C和△AO3中，AB=AB,BC=BD,

/A=NA,判断△ABC和△AOB是否全等.

B

一

学生独立思考，并指定学生所说自己答案.

提示：全等,根据SAS来判断三角形全等.

师：别的同学说他说对吗？

提示：不对，这两个三角形不全等，不符合三角形SAS判断定

理.

师：我们一定要注意要边角边角的概念：两边及夹角.我们做

题时一定要注意找对条件.

答案：

证明：'JAB//CD,

：.ZA=ZC.

'：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,AF=CE.

又•：AB=CD,

：.AABF/ACDE.

探究类型四“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）定理

前面我们复习判断三角形全等的两个判定定理，我们知道还有

可以利用“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）定理.那下面让

我们看看怎么利用这两个定理来判断三角形全等.

例4已知：如图，AB=AE,Z1=Z2,NB=NE.

求证：BC=ED.

1.师引导学生分析：

师:对于这道题,我们要证线段相等，我们必须要怎么证明呢？

生：利用三角形全等来证.

师：为什么？

生：根据全等三角形的性质知道对应线段相等.

师：那要证我们可以证哪两个三角形全等？

生：证明△A3C与全等.

师：怎么证明这两个三角形全等呢？同学们赶紧想想.

2.学生独立证明，然后指定学生说说自己证明思路.

3.师小结：

1.证明线段相等和角相等，我们都可以考虑利用全等三角形来

证明；

2.在证明格式中，条件的排列尽量按照所运用的定理的符号顺

序，比如ASA中按照角相等，边相等，角相等的顺序来写，这样

不容易出错，而容易解题.

答案：

证明：VZ1=Z2