高等数学第一类曲线积分

高等数学第一类曲线积分第1页，共29页，2023年，2月20日，星期四2问题的提出对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的几何与物理意义对弧长的曲线积分的计算小结思考题作业arclength10.1第一类(对弧长)的第10章曲线积分与曲面积分curvilinearintegral曲线积分第2页，共29页，2023年，2月20日，星期四一、问题的提出3实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的质量近似值精确值元素法第3页，共29页，2023年，2月20日，星期四4二、对弧长的曲线积分的概念与性质定义10.1设L为xOy面内一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的为第i个小段上任意取定的一(1)(2)(3)长度为Δsi,点,(4)1.定义第4页，共29页，2023年，2月20日，星期四5曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.

积分和式被积函数

弧元素积分弧段记作第5页，共29页，2023年，2月20日，星期四62.存在条件3.推广的曲线积分连续,的曲线积分为当

f(x,y)在光滑曲线弧L上函数f(x,y,z)在空间曲线弧Γ上对弧长对弧长第6页，共29页，2023年，2月20日，星期四74.性质

性质1性质2(对路径具有可加性)若L(或Γ)是分段光滑的,第7页，共29页，2023年，2月20日，星期四8性质3设在L上则特别地,有性质4(中值定理)连续,若函数

f(x,y)在光滑曲线弧L上则在L上至少存在一点使得其中s为曲线L的弧长.第8页，共29页，2023年，2月20日，星期四9性质5(与积分路径的方向无关)⌒⌒注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

函数f(x,y)在第9页，共29页，2023年，2月20日，星期四10

设函数f(x,y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线当f(x,y)是L上关于x的奇函数,

当f(x,y)是L上关于x的偶函数

L1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质.L上连续,则(或y)(或y)(或x轴)(或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,

应同时考虑被积函数f(x,y)的奇偶性与积分曲线L的对称性.第10页，共29页，2023年，2月20日，星期四11例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于由对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数第11页，共29页，2023年，2月20日，星期四12几何意义(1)(2)柱面面积弧长平面曲线L上第一类曲线在几何上表示以L为准线,母线平行于z轴的柱面之介于平面z=0和曲面z=

f(x,y)之间那部分的柱面面积.积分:三、对弧长的曲线积分的几何与物理意义第12页，共29页，2023年，2月20日，星期四13

物理意义(2)曲线弧L对x轴及y轴的转动惯量:(3)曲线弧L的质心坐标:曲线弧L的质量:表示曲线弧L的线密度时,第13页，共29页，2023年，2月20日，星期四四、对弧长曲线积分的计算14定理10.1其中且设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算第14页，共29页，2023年，2月20日，星期四15点设各分点对应参数为对应参数为则证根据定义积分中值定理弧长公式第15页，共29页，2023年，2月20日，星期四16必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此(1)因为所以因此积分限说明第16页，共29页，2023年，2月20日，星期四17特殊情形(1)(2)第17页，共29页，2023年，2月20日，星期四18(3)特殊情形推广第18页，共29页，2023年，2月20日，星期四19或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?为参数),如果积分路径L是两个曲面的交线:(选择x,y,z中某一个第19页，共29页，2023年，2月20日，星期四20例解例解对x积分?第20页，共29页，2023年，2月20日，星期四21在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒第21页，共29页，2023年，2月20日，星期四22故⌒第22页，共29页，2023年，2月20日，星期四23解练习考研数学一,填空,4分第23页，共29页，2023年，2月20日，星期四24例解求圆柱面被截在球内部的柱面的面积.由图形的对称性,只需求第一挂限部分的面积,再四倍之.柱面与xOy平面的交线平面曲线L上第一类曲线积分柱面面积在几何上表示以L为准线,母线平行于z轴的柱面之介于平面z=0和曲面z=f(x,y)之之间那部分的柱面面积.(极坐标)弧微分为故所求的面积柱面面积第24页，共29页，2023年，2月20日，星期四25研究生考题,填空(3分)采用极坐标则法三在曲线L上,故法二例解采用参数方程则法一第25页，共29页，2023年，2月20日，星期四26解

对称性练习第26页，共29页，2023年，2月20日，星期四27例解曲线Γ的方程具有如下特点:有轮换对称性x,y,z地位相等,可以轮换,曲线的方程不变.第27页，共29页，2023年，2月20日，星期四28对弧长曲线积分的概念

对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用五、小结(四步:分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(几何应用:弧长、柱面面积)(物理应用:曲线的质量