2022-2023学年浙江省杭州市富阳区实验中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省杭州市富阳区实验中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知命题：，，则是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得.【详解】因为命题：，所以是，.故选：B.2．下面各组函数中表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析各个选项中的两个函数的定义域及化简后的解析式是否相同.【详解】对于A.定义域为R，定义域为，故不为同一个函数；对于B.定义域为，定义域为，故不为同一个函数；对于C.和定义域相同，解析式化简后相同，为同一个函数；对于D.定义域为，定义域为R，故不为同一个函数．故选：C.【点睛】判断两个函数相同的方法：(1)看定义域是否相同，如果定义域不同，就算解析式相同，也不是相同的函数；(2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同．3．是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由不等式性质及充分必要条件判断即可．【详解】由不等式性质可知：，而，反之，不能推出成立，所以是的充分不必要条件，故选：B4．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理可得出合适的选项.【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：A.5．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.6．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根据题意和向量数量积的运算得出，然后代入公式即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B．7．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度约为（

）（参考数据：，）A．13米 B．24米 C．39米 D．45米【答案】C【分析】在Rt△ABC根据∠ACB的正切得AB与BC的关系，在△BCD中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设，则，在中，，由正弦定理得，因为，代入数据，解得（米），故选：C．8．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可.【详解】由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选：C．二、多选题9．已知函数，若，则的所有可能值为（

）A．1 B． C．10 D．【答案】AD【分析】先求出的值，等价于，按照和两种情况分别求出的所有可能值．【详解】当时，由可得当，可得解得的所有可能值为：或故选：AD.【点睛】本题考查函数的表示方法，考查分段函数的应用，考查指对函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题．10．对于实数a，b，c，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则的最小值为2 D．若，则【答案】BD【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.对A：考查可乘性，要判断的符号；对B：考查可乘性，显然，故B正确；对C：根据基本不等式成立的条件判断；对D：由已知变换出的大小.【详解】对A：若时，则不等式不成立，所以A错；对B：由，则，两边同乘以，所以，故B正确；对C：因为，所以，当且仅当即时取等号，但，故取不到最小值2．故C不正确；对D：由，所以，所以，故D正确；故选：BD.11．下列命题中，正确的是（

）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.12．已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（

）A．，的夹角是 B．，的夹角是或C．或 D．或【答案】BC【分析】向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.【详解】设的夹角为，由题可知，，，是两个单位向量，且的最小值为，的最小值为，则，解得，与的夹角为或，或，或.故选:BC【点睛】向量模的最值问题转化为函数最值问题研究是数形结合典型形式.注意向量夹角的范围，防止漏解.三、填空题13．已知幂函数的图像经过点，则_____________．【答案】【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即，所以.故答案为：14．若，则__________.【答案】【分析】根据指、对数函数求集合，再结合集合的交集运算求解.【详解】由题意可得：，故.故答案为：.15．如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______.【答案】5【分析】建立平面直角坐标系，表示出来，的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，则，，所以.故答案为：5.16．已知，则___________.【答案】##-0.28【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，则.故答案为：.四、解答题17．化简或求值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【分析】根据对数的运算性质，即可求出小问1；根据向量加法的运算律以及减法的性质即可得出小问2；根据数乘向量的运算律，即可得出小问3.【详解】（1）.（2）.（3）.18．已知函数.(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间；(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见详解；(2).【详解】（1）当时，；当时，，所以，.作出函数的图象如下图由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）如图2，作出函数与直线的图象.由图2知，当时，直线与有4个交点，即方程有四个不相等的实数根，所以，.19．已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）函数的最小正周期为，单调递增区间为，．（2）最大值为，最小值为．【分析】（1）先利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简，可得，即可根据周期公式求出最小正周期，由即可求出单调递增区间；（2）令，由在上递增，在上递减，即可求出函数在区间上的最大值和最小值．【详解】（1）．所以，函数的最小正周期为．令，解得，．所以，函数的单调递增区间为，．（2）令，在上递增，在上递减，所以，当即时，，当即时，．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的单调区间和最小正周期的求法，以及正弦型函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小(2)．【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x+2y＝30，又∵（）•（x+2y）＝55+29，∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴的最小值是．21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线，且，求的周长．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据已知，利用正弦定理、两角和公式求解即可.（2）利用三角函数的性质、面积公式以及余弦定理建立方程组求解.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，即，又由正弦定理得，所以，因为在中，因为，所以.（2）如图，由(1)有：，所以，得，①由余弦定理知，即，②在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以③由①②③，得，所以，所以的周长．22．已知