2012年北京市各区二模试题汇编-导数及其应用-打印

年北京市各区二模试题汇编--导数及其应用一填空选择（2012年东城二模理科）（8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（A）（B）（C）（D）（2012年海淀二模文理科）8、点是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点.给出三个命题：①；②的面积为定值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A）１（B）２（C）３（D）０（2012年丰台二模文科）5．函数(A)是偶函数，且在上是减函数(B)是偶函数，且在上是增函数(C)是奇函数，且在上是减函数(D)是奇函数，且在上是增函数（2012年丰台二模理科）3．由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(A)(B)(C)(D)（2012年房山二模文科）8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是()(A)∪(B)∪(C)∪(D)∪二解答题（2012年东城二模文科）（18）（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）若在上是增函数，求实数的取值范围（18）（共13分）（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，．………………2分由，得曲线在原点处的切线方程是．…………3分（Ⅱ）解：．………………4分①当时，．所以在单调递增，在单调递减．………………5分当，．②当时，令，得，，与的情况如下：↘↗↘故的单调减区间是，；单调增区间是．………7分③当时，与的情况如下：↗↘↗所以的单调增区间是；单调减区间是，．………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，时不合题意．………………10分当时，由（Ⅱ）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．设为的零点，易知，且．从而时，；时，．若在上存在最小值，必有，解得．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．…………12分当时，由（Ⅱ）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．若在上存在最大值，必有，解得，或．所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．综上，的取值范围是．………………14分（2012年海淀二模文科）18、（本小题满分13分）已知函数（，）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.18、（本小题满分13分）解：.令，解得或.…………2分（Ⅰ）当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.………4分当时，，随着的变化如下表↘极小值↗极大值↘函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，.…6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得是上的增函数，是上的减函数.又当时，.………8分所以在上的最小值为，最大值为.……10分所以对任意，.所以对任意，使恒成立的实数的最小值为.…………13分（2012年海淀二模理科）(19)（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，求证：函数只有一个零点，且；（Ⅲ）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）(19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：的定义域为..……1分令，或.当时，，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.……3分当时，.所以，函数的单调递减区间是.……4分当时，，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.……5分（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）知，的极小值为，极大值为.因为，，且在上是减函数，所以至多有一个零点.……7分又因为，所以函数只有一个零点，且.……9分（Ⅲ）解：因为，所以对任意且由(Ⅱ)可知：，，且.……10分因为函数在上是增函数，在上是减函数，所以，.……11分所以.当时，=>0.所以.……13分所以的最小值为.所以使得恒成立的的最大值为.……14分（2012年朝阳二模理科）18.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．18.（本小题满分14分）解：（I）的定义域为..根据题意，有，所以，解得或.……3分（II）.（1）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，因为，由得，解得；由得，解得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.……9分（III）由（Ⅱ）知，当时，函数的最小值为，且.，令，得.[来源:学§科§网Z§X§X§K]当变化时，，的变化情况如下表：＋0－极大值是在上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是的最大值点.所以.所以，当时，成立.……14分（2012年丰台二模文科）20.（本小题共13分）已知函数f(x)=lnx，，两函数图象的交点在x轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)<g(x)成立；（Ⅲ）证明：（）．20．解：（Ⅰ）因为与的图象在轴上有公共点(1，0)，所以，即．又因为，，由题意，所以，．………………4分（Ⅱ）设，则．所以在时单调递减．由可得当时，即．…………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，．令，则，所以，．将上述n个不等式依次相加得，所以．………13分（2012年丰台二模理科）20.（本小题共13分）设函数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）证明：对x1，x2∈R+，都有；（Ⅲ）若，证明：．20．解：（Ⅰ）时，，()，则．令，得．当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在时取得最小值，即．………4分（Ⅱ）因为，所以．所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，则．……8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当(k∈N*)时命题成立，即若，则．当时，，，…，，满足．设，由（Ⅱ）得==．由假设可得，命题成立．所以当时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以若，则．……13分（证法二）若，那么由（Ⅱ）可得．…13分（2012年顺义二模文科）18．（本小题共14分）已知函数,其中（Ⅰ）求曲线在处的切线方程;（Ⅱ）设函数，求的单调区间.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，，所求切线方程为__________5分（Ⅱ），__________6分根，（）__________8分当，即时，在上，在上在上单调递增，在上单调递减；__________10分当，即时，在上，在上在上单调递增，在上单调递减.__________14分（2012年顺义二模理科）18．（本小题共14分）已知函数,(其中).（Ⅰ）求曲线在处的切线方程;（Ⅱ）若是函数的极值点，求实数的值;（Ⅲ）若对任意的，（为自然对数的底数，）都有，求实数的取值范围.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）定义域__________1分，__________3分法一：令，解得，又，，__________4分经验证符合条件.__________5分法二：令，，，，为极值点，，解得，又，，（Ⅱ）对任意的都有成立，等价于对任意的都有成立，__________7分当，，在上单调递增，.__________8分，，（1）若，，在单调递增，，，解得.__________10分（2）若当，则当，则在递减，在递增，，，又，__________12分（3）当时，在递减，，恒成立.__________13分综上所述.__________14分（2012年昌平二模文科）18．（本小题满分14分）已知函数（，为常数），且为的一个极值点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数的单调区间；(Ⅲ)若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围．18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为（0，+∞）……1分∵f′(x)=……2分∴，则a=1．………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴f′(x)=………6分由f′(x)>0可得x>2或x<1，由f′(x)<0可得1<x<2．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(1,2)．………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增．且当x=1或x=2时，f′(x)=0．………10分∴f(x)的极大值为………11分f(x)的极小值为……12分由题意可知则………14分（2012年昌平二模理科）18．（本小题满分13分）已知函数R.（Ⅰ）当时，求的单调区间;（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值.18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为｛x|｝……………1分.…………3分令，即，∴的增区间为（0，1），……………4分令，即，∴的减区间为………………5分（Ⅱ）①当时，在上恒成立，在恒为增函数.………6分，得………7分②当时，令，得.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数；，得（舍）………10分③当时，在上恒成立，此时在恒为减函数.，得………12分综上可知………13分（2012年怀柔二模理科）18．（本小题满分13分）已知，其中是自然常数，．（Ⅰ）讨论时，的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，；（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ），∴当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增∴的极小值为4分（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，……5分令，，当时，，在上单调递增∴∴在（1）的条件下，8分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.13分（2012年房山二模理科）18．已知函数，其中为常数.（Ⅰ）若，求曲