第8节函数与方程

PAGE第8节函数与方程考试要求1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()解析(1)f(x)＝lgx的零点是1，故(1)错.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)×(2)×(3)√

2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.答案B3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，则f(－1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.答案B

4.(2020·石家庄模拟)f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间必有零点()A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析f(－1)＝eq\f(1,e)－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(1，2)内存在零点.答案C5.(·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.答案B6.(2020·日照调研)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.解析m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，∴－8<m≤1.答案(－8，1]

考点一函数零点所在区间的判定【例1】(1)已知函数f(x)＝eq\f(1,x－a)为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)设函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.解析(1)由函数f(x)＝eq\f(1,x－a)为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－eq\f(2,x).又g(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，所以g(2)·g(3)<0.故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).(2)设f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的图象如图所示.因为f(1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝－1<0，f(2)＝8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝7>0，所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).答案(1)C(2)(1，2)规律方法1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.【训练1】(2020·保定检测)函数f(x)＝x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析函数f(x)＝x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上的图象连续不间断.又f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)·f(2)<0.故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).答案B考点二确定函数零点的个数【例2】(1)(2020·宜昌调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x－1），x>1，,2x－1－1，x≤1，))则函数f(x)的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2020·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点.(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.答案(1)C(2)C规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【训练2】(1)(一题多解)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A.3 B.2 C.1 D.0(2)函数f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内()A.没有零点 B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点解析(1)法一由f(x)＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.法二函数f(x)的图象如所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.(2)当x∈(0，1]时，因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋sinx，eq\r(x)>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0，1]内有唯一零点.当x>1时，f(x)＝eq\r(x)－cosx>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点.答案(1)B(2)B考点三函数零点的应用多维探究角度1根据函数零点个数求参数【例3－1】(2020·九江联考)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(|x|)（x≤1），,－x2＋4x－2（x>1），))若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，2)C.(1，2) D.[1，2)解析依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点.作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示.

又当x≤1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]；当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2.结合图象，当a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，2)时，两图象有2个交点.此时，方程a＝f(x)有两个不同实根.答案B角度2根据零点的范围求参数【例3－2】(1)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.(2)(2020·合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A.a>c>d>b B.a>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d解析(1)令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10).(2)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)＋2020，令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)，如图.

令f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2020，因为f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，所以g(x)的图象与直线y＝－2020的交点为(c，－2020)和(d，－2020)，则有a>c>d>b.答案(1)[5，10)(2)A规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【训练3】(1)(角度1)(XX·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.1(2)(多填题)(角度2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(x)－1，则f(3)＝________；若在(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是________.解析(1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称.若f(x)有唯一的零点，则只有f(1)＝0，∴a＝eq\f(1,2).或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.结合函数的最值求解(读者自行完成).(2)由f(x＋2)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(4＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数.则f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(－1)－1＝eq\r(2)－1.画出函数f(x)与函数y＝loga(x＋2)在(－2，6)上的图象如图所示.要使函数f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,loga（6＋2）＜1，))解得a＞8，即实数a的取值范围是(8，＋∞).

答案(1)C(2)eq\r(2)－1(8，＋∞)

直观想象——解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.类型1嵌套函数零点个数的判断【例1】已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.解析由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象如图所示.由图象知y＝eq\f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.答案5【例2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2（x－1）|，x>1，))则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－eq\f(3,2)的零点个数是()A.4 B.5 C.6 D.7解析令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0的根的问题.令y＝f(t)－2t－eq\f(3,2)＝0，则f(t)＝2t＋eq\f(3,2).分别作出y＝f(t)和y＝2t＋eq\f(3,2)的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2；由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.所以y＝f[f(x)]－2f(x)－eq\f(3,2)共有4个零点.

答案A思维升华1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点.(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.

类型2求嵌套函数零点中的参数【例3】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（－x－1），x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.解析设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.

答案[－1，＋∞)思维升华1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数.2.含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.

A级基础巩固一、选择题1.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B.－2，0 C.eq\f(1,2) D.0解析当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.答案D2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.答案A3.函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.答案C4.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A.(－∞，－1) B.(－∞，1)C.(－1，0) D.[－1，0)解析当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq\f(1,3).因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.答案D5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8) C.－eq\f(7,8) D.－eq\f(3,8)解析令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，又函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).答案C6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c解析令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a<b<c.答案A7.(2020·山东省实验中学检测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|，x≤1，,x2－3x＋3，x>1))(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D.R解析作出函数f(x)的图象如图：因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，得2a>2或eq\f(3,4)<2a≤1.解得a>1或eq\f(3,8)<a≤eq\f(1,2).答案C8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）（x≥0），,x3－3x（x<0），))若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)解析当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的图象如图所示.

当x<0时，f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点.答案C二、填空题9.已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________.解析依题意，f(1)＝eq\f(2,3＋1)＋a＝0，∴a＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)10.(XX·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))在[0，π]的零点个数是________.解析由题意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＝0，所以3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq\f(π,9)＋eq\f(kπ,3)，k∈Z，当k＝0时，x＝eq\f(π,9)；当k＝1时，x＝eq\f(4π,9)；当k＝2时，x＝eq\f(7π,9)，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案311.(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于________.解析x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝lnx与函数y＝eq\f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.答案112.函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（－x）＋a，x<0，,f（x＋1），x≥0))(a∈R)，当0≤x<1时，f(x)＝1－x，则f(x)的零点个数为________.解析当x<0时，必存在x0＝－e－a<0，使得f(x0)＝0，因此对任意实数a，f(x)在(－∞，0)内必有一个零点；当x≥0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0≤x<1时，f(x)＝1－x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.

答案1B级能力提升13.已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a所在的区间是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)解析由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，∴实数a所在的区间为(5，6).答案A14.(·天津卷)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))若关于x的方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1} D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1}

解析画出函数y＝f(x)的图象，如图.方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－eq\f(1,4)x＋a的公共点的个数.当直线l经过点A时，有2＝－eq\f(1,4)×1＋a，a＝eq\f(9,4)；当直线l经过点B时，有1＝－eq\f(1,4)×1＋a，a＝eq\f(5,4)；由图可知，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(9,4)))时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点.另外，当直线l与曲线y＝eq\f(1,x)，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝－\f(1,4)x＋a，))得eq\f(1,x)＝－eq\f(1,4)x＋a，即eq\f(1,4)x2－ax＋1＝0，由Δ＝a2－4×eq\f(1,4)×1＝0，得a＝1(舍去负根).综上