第十章 频率响应 多频正弦稳态电路

第十章频率响应多频正弦稳态电路第1页，共90页，2023年，2月20日，星期四N—线性时不变网络

激励

响应(a)单一频率正弦(第八章)同频率正弦、具有与激励不同的振幅、初相

(b)多个不同频率正弦(本章)多个不同频率正弦、各自具有与对应激励不同的振幅、初相、

频率响应1.基本概念情况(a)：复数Z、Y，相量模型(第八章)情况(b)：网络函数，相量模型中动态元件用、表示(本章)。§10-1基本概念

第2页，共90页，2023年，2月20日，星期四2.多频正弦激励的分类<1>电路的激励原本为非正弦周期波：方波、锯齿波等。对其进行傅里叶分解，得到含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量（谐波分量）。多频正弦稳态电路：多个不同频率正弦激励下的稳态电路。

基本分析方法：用相量法对每个频率逐一进行分析，然后应用叠加定理求得最终解。1.基本概念第3页，共90页，2023年，2月20日，星期四（1）非正弦周期电流的产生

非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？引起的电流便是非正弦周期电流，解决方法是？当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示图不同频率电源作用的电路基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。2.1非正弦周期电流和电压第4页，共90页，2023年，2月20日，星期四由非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加。响应也是非正弦周期量，如何求响应？第5页，共90页，2023年，2月20日，星期四工程上遇到的各种周期函数f（t）总可以分解为如下的傅立叶级数：2.2非正弦周期量的分解第6页，共90页，2023年，2月20日，星期四式中，第一项A0是不随时间变化的常数，称为f（t）的恒定分量或直流分量；傅立叶级数的第二项是一个正弦函数：A1msin（ωt+φ1），其幅值为A1m，初相位为φ1，角频率为ω，Ｔ＝2π/ω是ｆ（ｔ）的周期，即该正弦函数的周期与被分解的周期函数相同，ω的系数为1，所以A1msin(ωt+φ1）被称为一次谐波，也叫做基波；傅立叶级数的第三项A2ｍsin（2ωt+φ2）的频率为基波频率的二倍，故称为二次谐波。以此类推，有三次谐波、四次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余各项都可统称为高次谐波。第7页，共90页，2023年，2月20日，星期四序号的波形图的傅立叶级数1表1一些典型周期函数的傅立叶级数第8页，共90页，2023年，2月20日，星期四序号的波形图的傅立叶级数23第9页，共90页，2023年，2月20日，星期四序号的波形图的傅立叶级数45第10页，共90页，2023年，2月20日，星期四序号的波形图的傅立叶级数6第11页，共90页，2023年，2月20日，星期四采用谐波分析法的好处：（1）当直流分量作用时，因为直流稳态下电容相当开路、电感相当于短路，所以计算其产生的稳态响应分量是很简便的。（2）由于各次谐波分量均为正弦信号，所以就可以采用前面谈到相量法来计算各次谐波单独作用时产生的稳态响应分量。2.3谐波分析法周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路的稳态响应的方法就称为谐波分析法。第12页，共90页，2023年，2月20日，星期四谐波分析举例图示电路，电源电压求各支路电流。解1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定2)U0=10V单独作用，电路如图(b)（b）R2U

0+-I（0）I1(0)I2(0)u(t)R1R2ii1i2CL第13页，共90页，2023年，2月20日，星期四电压源基波单独作用，如图（c）()cR1R2CL()dR1R2CL电压源3次谐波单独作用时，如图（d）第14页，共90页，2023年，2月20日，星期四3)瞬时叠加u(t)R1R2ii1i2CL第15页，共90页，2023年，2月20日，星期四使用谐波分析法来计算非正弦周期电路稳态响应的过程主要有三个步骤：（1）把给定的非正弦周期激励信号展开成傅立叶级数，根据具体的要求确定应取到多少次谐波来合成该激励信号。（2）分别计算直流分量和各次谐波分量作用下电路的稳态响应。当直流分量作用时，采用直流电路的分析方法，此时电容相当于开路，电感相当于短路；当谐波分量作用时，采用正弦稳态电路的分析方法来计算。由于各次谐波分量的频率是不相同的，所以当不同谐波作用时，电路中的阻抗是不相同的。（3）用叠加定理将直流分量和各次谐波分量单独作用时产生的稳态响应相加即可得到在给定非正弦周期信号激励下的电路的稳态响应。注意，叠加时应将各次谐波产生的响应表示成时域表达式后再相加，因为不同频率的相量式叠加是没有意义的。第16页，共90页，2023年，2月20日，星期四定义线性非时变单口无源网络N0的输入阻抗和输入导纳如下：

其中：1单口网络的阻抗和导纳§10-2再论阻抗和导纳第17页，共90页，2023年，2月20日，星期四结论：阻抗是频率的函数，阻抗的模和辐角通常也都是频率的函数。（1）RL串联电路的阻抗2阻抗和导纳与频率的关系幅频特性相频特性第18页，共90页，2023年，2月20日，星期四单口网络的频率响应：电路响应与频率的关系幅频特性：电路响应的幅度与频率的关系。相频特性：电路响应的相位与频率的关系。幅频特性相频特性输入阻抗Z可看作激励电流A的电压响应，输入导纳Y可看作激励电压V的电流响应。第19页，共90页，2023年，2月20日，星期四（2）RL并联电路的阻抗分量电阻分量电抗结论：电阻分量和电抗分量都是网络中各元件参数和频率的函数。一般第20页，共90页，2023年，2月20日，星期四网络呈电感性网络呈电容性网络呈纯电阻性。分量电导分量电纳网络呈电感性网络呈电容性网络呈纯电阻性。输入导纳函数输入阻抗函数第21页，共90页，2023年，2月20日，星期四无源单口网络的输入阻抗和导纳满足以下关系：第22页，共90页，2023年，2月20日，星期四例题求图所示RC并联电路的输入阻抗函数。解第23页，共90页，2023年，2月20日，星期四表明阻抗角(即u与i的相位差)与频率的关系幅频特性与相频特性与ω的关系相频特性

幅频特性表明阻抗模(即)与频率的关系与ω的关系第24页，共90页，2023年，2月20日，星期四

幅频特性与相频特性000特性曲线呈低通(LowPass)性质和滞后性质称为截止(cutoff)频率为通频带。第25页，共90页，2023年，2月20日，星期四提问：从物理概念上理解该电路的LP性质。第26页，共90页，2023年，2月20日，星期四网络函数：对单一激励的线性、时不变电路，指定的响应对激励之比定义为网络函数，记为H。激励可以是电压源电压或电流源电流，响应可以是任一支路的电压或电流。对电阻电路，H为一实数。例如，对单个电阻R，若一外施电流作为激励，其两端出现的电压作为响应，则H=R，（单位：Ω）为一实数。复习1.网络函数§10-3正弦稳态网络函数

第27页，共90页，2023年，2月20日，星期四若响应与激励在同一端口，则属策动点函数，若响应与激励不在同一端口，则属转移函数。由于响应和激励都可以是电压或电流因而策动点函数和转移函数又可具体地分为表3-1所示的6种情况。策动点函数转移函数响应激励名称电流电压

电流电压电流电压电压电压电压电流电流电流策动点电导策动点电阻转移电导转移电阻转移电流比转移电压比表3-1线性电阻电路网络函数的分类第28页，共90页，2023年，2月20日，星期四1.网络函数定义：对相量模型，在单一激励作用下无源二端网络的响应相量与激励相量之比定义为网络函数,或者系统函数

——频率特性

反应了系统自身的固有特性，系统的属性，是分析系统的重要函数。

第29页，共90页，2023年，2月20日，星期四2.RC低通电路幅频特性:相频特性:第30页，共90页，2023年，2月20日，星期四分析：（1）称为低通(lowpass)网络（3）（2）第31页，共90页，2023年，2月20日，星期四（1）以上所述电路的LP滤波特性与理想情况相差较大，只是最简单的LP滤波电路。（2）频率响应反映了电路本身的特性。

频率响应反映了电路本身的特性。由于C、L的存在（内因），电路呈现出响应随f变化的特点。

H(jω)反映这特点；其幅频、相频特性曲线直观地反映了这一特点。在某一ω时算得的H(jω)

，表明对应于该ω的响应、激励相量的比值。外因通过内因起作用，研究多频正弦波作用于动态电路的稳态响应时，应先求得电路的H(jω)

。注意：第32页，共90页，2023年，2月20日，星期四作业：习题10-3，10-5第33页，共90页，2023年，2月20日，星期四本节讨论利用叠加定理计算多个正弦电源作用下线性时不变电路的稳态响应。1、正弦电源的频率相同2、正弦电源的频率不同利用叠加定理，分别计算每个正弦激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加求得稳态电压u(t)和电流i(t)。在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时，仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。§10-4正弦稳态的叠加第34页，共90页，2023年，2月20日，星期四例10-4：试用叠加定理求如图所示电路的电流已知解：作用于电路的两电压源频率相同，作出的相量模型图，计算任一电源单独作用时的电流。根据叠加定理：其中和分别是相量模型图中和时支路的电流。第35页，共90页，2023年，2月20日，星期四即故得第36页，共90页，2023年，2月20日，星期四例10-5：电路如图所示，求解：本题是不同频率的正弦电源作用于电路的情况。就整体而言；本题不符合单一频率的条件，不能运用相量法。但是，如果只求每一电源单独作用时的响应，则仍可运用相量法，再根据叠加定理即可解决问题。第37页，共90页，2023年，2月20日，星期四（1）作用于电路，第38页，共90页，2023年，2月20日，星期四（2）作用于电路，故得第39页，共90页，2023年，2月20日，星期四对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳态响应，应用叠加定理，先用傅里叶级数把非正弦周期信号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和，再按不同频率正弦激励下响应的计算方法求得。周期性非正弦信号电源的稳态响应第40页，共90页，2023年，2月20日，星期四例图(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电压u(t)。第41页，共90页，2023年，2月20日，星期四(1)5V直流电压源作用时，由于=0，在直流稳态条件下，电感相当于短路，所以(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量相应的瞬时值表达式为第42页，共90页，2023年，2月20日，星期四(3)三次谐波电压(-20/3)cos(31t)作用时，31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量瞬时值表达式为第43页，共90页，2023年，2月20日，星期四(4)五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时，51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量电压分量瞬时值表达式为第44页，共90页，2023年，2月20日，星期四注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中

引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时

值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。(5)其余谐波分量的计算方法相同最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得到电阻上稳态电压的瞬时值第45页，共90页，2023年，2月20日，星期四非正弦周期量一般分析方法（1）将给定的非正弦周期量进行傅里叶级数展开，变换为直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量的组合。高次谐波取到哪一项视题目要求而定。

（2）分别求出直流分量和各谐波分量单独作用时的响应。注意阻抗随频率而变化。

（3）将（2）计算出的结果化为瞬时表达式后进行叠加。注意最终的响应是用时间函数表示的。

第46页，共90页，2023年，2月20日，星期四内容提要平均功率非正弦周期信号的有效值§10-5平均功率的叠加第47页，共90页，2023年，2月20日，星期四结论：叠加原理不适用于瞬时功率。根据叠加原理：瞬时功率：1.平均功率1.1瞬时功率第48页，共90页，2023年，2月20日，星期四此时，叠加原理可用于平均功率。平均功率：假设p为周期函数，且周期为T,则1.2平均功率第49页，共90页，2023年，2月20日，星期四

则存在一个公周期Tc，且(m、n为正整数)第50页，共90页，2023年，2月20日，星期四结论：叠加定理不适用于同频率正弦电路中平均功率的计算，而对多个不同频率的正弦电路中平均功率的计算是适用的，即多个不同频率的正弦电流（或电压）产生的平均功率等于每一正弦电流（或电压）单独作用时产生的平均功率之和。第51页，共90页，2023年，2月20日，星期四I1、I2、、IN为各不同频率正弦电流的有效值。设：其中为直流电流，为各不相同，且比值为有理数，则根据叠加原理得一具有公周期的平均功率。且频率成整数倍，第52页，共90页，2023年，2月20日，星期四——非正弦周期电流有效值的计算公式

同理可得非正弦周期电压有效值的计算公式为：

2.非正弦周期信号的有效值非正弦周期电流（电压）的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。

第53页，共90页，2023年，2月20日，星期四例1已知周期电流的傅立叶级数展开式i=100+63.7cosωt+31.8cos2ωt+21.2cos3ωtA求其有效值。所以电流i的有效值为112.9A。解:第54页，共90页，2023年，2月20日，星期四例10－8单口网络端口电压，电流分别为：与为关联参考方向，试求单口网络吸收的功率．解：在运用叠加原理计算平均功率时，每次只考虑一种频率．如给定该频率的电压和电流，则该项功率为，因此，在电压、电流都含多种频率成分时第55页，共90页，2023年，2月20日，星期四第56页，共90页，2023年，2月20日，星期四含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性。§10-6RLC电路的谐振第57页，共90页，2023年，2月20日，星期四1.RLC串联谐振电路例：（1）正弦激励的频率为2000rad/s，电路表现为纯电阻电路，阻抗值|Z|最小，电流最大。（2）电感电容电压有效值远高于外施电压，但二者反相，相互抵消。第58页，共90页，2023年，2月20日，星期四谐振条件：——谐振频率1.1谐振条件当X=0时，电路呈现纯电阻性，，此时电路处于谐振（resonance)状态.仅与电路参数有关第59页，共90页，2023年，2月20日，星期四串联电路实现谐振的方式：(1)LC

不变，改变

w(2)电源频率不变，改变

L

或C(常改变C

)。

0由电路参数决定，一个RLC串联电路只有一个对应的0

,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。第60页，共90页，2023年，2月20日，星期四RLC元件阻抗与频率的关系曲线

0w0ww<R||X0w||Z0ww>由RLC串联电路的阻抗特性曲线可看出：电阻R不随频率变化；感抗XL与频率成正比；容抗XC与频率成反比，阻抗|Z|在谐振之前呈容性（电抗为负），谐振之后呈感性（电抗为正值），谐振发生时等于电阻R，此时电路阻抗为纯电阻性质。第61页，共90页，2023年，2月20日，星期四1.2特性阻抗和品质因数特性阻抗：谐振时动态元件的电压与激励电压之比——Q（RLC电路的品质因数）RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即品质因数：

Q值一般在几十到几百之间。无量纲第62页，共90页，2023年，2月20日，星期四1.3谐振时电路的特性

①②

③各元件电压相量图

大小相等，方向相反。UL0=UC0>>UR0,所以又称为电压谐振。当

＝w0L=1/(w0C)>>R时，Q>>1一般在几十到几百之间。UL=UC=QUs>>Us第63页，共90页，2023年，2月20日，星期四RLC串联谐振电路谐振时的电流：电路谐振时，串联谐振电路中的电流达到最大，为了便于比较不同参数下串谐电路的特性，有：1.4.回路电流与频率的关系曲线第64页，共90页，2023年，2月20日，星期四I—ω谐振特性曲线11ω00ωI0IQ小Q大

从I—ω谐振特性曲线可看出，电流的最大值I0出现在谐振点ω0处，只要偏离谐振角频率，电流就会衰减，而且衰减的程度取决于电路的品质因数Q。即：Q大电路的选择性好；Q小电路的选择性差。由上式可得到I—ω谐振特性曲线如下图所示：第65页，共90页，2023年，2月20日，星期四在谐振点响应出现峰值，当

偏离0时，输出下降。即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应，对谐振信号最突出(响应最大)，而对远离谐振频率的信号具有抑制能力。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。谐振电路具有选择性

谐振电路的选择性与Q成正比

Q越大，谐振曲线越陡。电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力，所以选择性好。因此Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。11ω00ωI0IQ小Q大第66页，共90页，2023年，2月20日，星期四一接收器的电路参数为：U=10V

w=5103rad/s,调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q。解+_LCRuV例1第67页，共90页，2023年，2月20日，星期四

一个线圈与电容相串联，线圈电阻R=16.2，电感L=0.26mH，当把电容调节到100pF时发生串联谐振。(1)求谐振频率和品质因数；(2)设外加电压为10V，其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流和电容电压；(3)若外加电压仍为10V，但其频率比谐振频率高10%，再求电容电压。(1)谐振频率和品质因数分别为(2)谐振时的电流和电容电压为线圈与电容串联电路例2第68页，共90页，2023年，2月20日，星期四UC可用下式直接得到(3)电源频率比电路谐振频率高10%的情形线圈与电容串联电路第69页，共90页，2023年，2月20日，星期四在无线电技术中，要求电路具有较好的选择性，常常需要采用较高Q值的谐振电路。但实际的信号都具有一定的频率范围，如电话线路中传输的音频信号，频率范围一般为.4KHz，广播音乐的频率大约是30Hz~15KHz。这说明实际的信号都占有一定频带宽度。为了不失真地传输信号，保证信号中的各个频率分量都能顺利地通过电路，通常规定当电流衰减到最大值的0.707倍时，所对应的一段频率范围称为通频带BW。

11.6选择性与通频带

0I0I其中是通频带的上、下边界。通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。第70页，共90页，2023年，2月20日，星期四通频带的确定10I0I第71页，共90页，2023年，2月20日，星期四可见通频带与谐振频率有关，由于品质因数品质因数Q愈大，通频带宽度愈窄，曲线愈尖锐，电路的选择性能愈好；Q值愈小，通频带宽度愈大，曲线愈平坦，选择性能愈差；但Q值过高又极易造成通频带过窄而使传输信号不能完全通过，从而造成失真。显然通频带B和品质因数Q是一对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。第72页，共90页，2023年，2月20日，星期四谐振角频率|Y|ww0oG+_GCL电路发生并联谐振，电路呈现电阻性。2.RLC并联谐振电路2.1谐振条件品质因数RLC并联谐振电路的品质因数Q，其量值等于谐振时感纳或容纳与电导之比。谐振角频率与RLC串联电路相同。

第73页，共90页，2023年，2月20日，星期四谐振特点：（1）输入端导纳为纯电导，导纳值|Y|=G最小，端电压达最大0oU()IS/G2.2谐振时电路的特性第74页，共90页，2023年，2月20日，星期四（2）IL(w0)

=IC(w0)

=QIS+_GCL谐振特点：

LC上的电流大小相等，相位相反，并联总电流为零，电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的Q倍，也称电流谐振。第75页，共90页，2023年，2月20日，星期四+_GCL谐振特点：（3）——RLC串联谐振——RLC并联谐振第76页，共90页，2023年，2月20日，星期四图(a)是电感线圈和电容器并联的电路模型。

已知R=1,L=0.1mH,C=0.01F。试求电路的谐振

角频率和谐振时的阻抗。解：根据其相量模型图(b)写出导纳例3第77页，共90页，2023年，2月20日，星期四令上式虚部为零求得第78页，共90页，2023年，2月20日，星期四代入数值得到谐振时的阻抗当0L>>R时第79页，共90页，2023年，2月20日，星期四一个电感为0.25mH，电阻为25的线圈与85pF的电容器接成并联电路，试求该并联电路的谐振频率和谐振时的阻抗。谐振角频率和谐振频率分别为或直接由得谐振时的阻抗为

例4第80页，共90页，2023年，2月20日，星期四作业：习题10-10，10-11，10-17，10-18，10-20第81页，共90页，2023年，2月20日，星期四习题课习题1答案

(1)非正弦周期电压u(t)作用于10Ω电阻时，P=10W，

若电压改为u(t)+5V，则10Ω电阻的功率为()W。(2)图(a)中电流源、，R=1Ω、L=1H、C=1F，电