第四章 向量空间

第四章向量空间第1页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续1)3.V2=例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S.2.V1=是不是是第2页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续2)定义2设V1,V2是两个向量空间,且V1

V2,则称V1为V2子空间.例2设L=L(α1,α2,...,αs)=

{k1α1+k2α2+...+ksαs|ki∈R,α

i∈Rn}则L为向量空间，且LRn即L为向量空间Rn的子空间，称其为由向量α1,α2,...,αs生成的子空间.第3页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续3)定义3设向量空间V中一组向量

A0:α1,α2,...,αr满足：

称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标1)α1,α2,...,αr线性无关；

α

=k1α1+k2α2+...+krαr,

2)

V中任意向量α均可由向量α1,α2,...,αr线性表示:则称α1,α2,...,αr为V的一组基，称V为r维向量空间(V的维数为r),记作:dimV=r.第4页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续4)1.n维实向量全体的集合Rn2.V1=dimRn=n(任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基)为Rn的一组基ε2,ε3,…,εn为V1的一组基.dimV1=n-1第5页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续5)3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S.4.L=L(α1,α2,...,αs)={k1α1+k2α2+...+ksαs|ki∈R,αi∈Rn}方程的基础解系为S的一组基.dimS=n-R(A).α1,α2,...,αs的最大无关组为L的一组基.

dimL=R[α1

α2

...

αs]第6页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续6)例3.R2中,分别求向量β

=(2,3)T在下列两组基下的坐标.解：β=2ε1+3ε2

∴β在基(I)下的坐标为2,3;又

β

=3α1-α2

∴β在基(II)下的坐标为3,-1.第7页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象.性质：定义：n维向量几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来.的内积

（等号当且仅当α=0时成立）第8页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续1)性质：定义向量α

的长度：||α||=1时，称α为单位向量.称为β的单位化向量（标准化向量）.第9页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续2)例1设α=kβ,求α的单位化向量α0.称为β的单位化向量（标准化向量）.解：第10页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续3)即对任意实数t,定理1证明：1)β≠0时，左式为t的二次函数f(t)，f(t)=0至多只有一个实根.∴其判别式△=4(α,β)2-4(α,α)(β,β)≤02)β

=0时，等号成立.证毕.第11页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续4)(α,β)=0时，称α与β正交.零向量与任何向量正交.当α，

β均非零向量时，定义α与

β的夹角：定理1第12页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续5)定理2

设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量.则α1，α2，…，αs线性无关证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0.两边与αi作内积,得：

∴ki=0,i=1,2,...,s.∴

α1，α2，…，αs线性无关.ki(αi，αi)=0,∵第13页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续6)定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称α1，α2，…，αs为V的一组正交基.若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.第14页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续7)Schmidt正交化方法设向量组A:α1，α2，…，αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.1.正交化：则β1,β2,…,βr两两正交....取第15页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续8)Schmidt正交化方法设向量组A:α1，α2，…，αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.2.标准化：(i=1,2,...,r)e1,e2,…,er即为所求标准正交向量组.令第16页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续9)定义:若n阶实矩阵A满足：ATA=E，则称A为正交矩阵.ATA=正交矩阵证：设A=(1)|A|2=1；(3)A的行（列）向量组为标准正交向量组.所以A的列向量两两正交且长度为1.=E性质：设A为正交矩阵，则(2)A-1=AT亦为正交矩阵;反之亦然.第17页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续10)则ATA=E,∴A为正交矩阵.(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=证：A*=|A|A-1,例1设A为正交矩阵，则A*亦为正交矩阵.=E如A=|A|2AA-1∴A*亦为正交矩阵.第18页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续11)例2.设α为n维列向量，且αT

α=1,求实数k,使H=E-kα

αT为正交矩阵.解:E=HTH∴-2k+k2=0,k=2或k=0.第19页，共20页，2023年，2月20日，星期三第四章向量空间§3Rn上的线性变换则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像.例设A=[aij]n×n,对任意X∈Rn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上的一个线性变换（从X到Y的线性变换）.定义：若对Rn中的任意向量Ｘ，按照某一确定规则T，Rn中总有唯一确定的向量Ｙ与之对应.记为:Y=T(X).且满足：A