24.4 解直角三角形 同步练习

第24章解直角三角形24.4解直角三角形基础过关全练知识点1解直角三角形的基本内容1.(2022山西临汾尧都期中)在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是()A.已知BC=6，∠C=90° B.已知∠C=90°，∠A=60°，BC=5C.已知∠C=90°，∠A=∠B D.已知∠C=∠B=45°2.(2023四川眉山洪雅实验中学月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么下列结论正确的是()A.CD=AB·tanB B.CD=BC·sinB C.CD=AC·sinB D.CD=AD·cosA知识点2解直角三角形的基本类型与解法3.(2023陕西延安新区三中期末)如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=23，BC=10，∠B=30°，则tanC的值为()A.13 B.32 C.334.(2023吉林长春净月期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=45，BC=8，D是AB的中点，求线段CD的长[变式1](2023河南开封十四中月考)如图，已知△ABC中，AB=BC=15，tan∠ABC=34，求边AC的长[变式2](2023吉林长春第一外国语学校月考)如图，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的长.知识点3解直角三角形的应用5.(2023甘肃兰州教育局第四片区期末)西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离(即BC的长)为a.已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC的高约为()A.asin28° B.acos28° C.atan28° D.a6.(2023陕西榆林府谷月考)某校九年级数学项目式学习主题是“测量物体高度”.小聪所在小组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点A处用距离地面高h米的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向前进a米到达点B，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为45°，小聪所在小组计算出的古塔高度为()A.a·tan17°1+tan17°+ℎ米 B.a·sin17°1−sin17°+ℎ米7.(2023吉林长春八十七中月考)长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高BD=96.9米，主塔处桥面距地面CD=7.9米，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角为31°，则拉索AB的长约为米.(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)

8.(2022吉林长春汽开区模拟)我国某驱逐舰在海上执行任务，刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东30°方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A北偏东60°方向，距离10km处的另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东30°方向上，则可疑船只C到港口A的距离为km.

9.山东烟台蓬莱阁建筑群素有“人间仙境”之称，是国家重点文物保护单位.某数学兴趣小组为了测量蓬莱阁主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行34米到点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行7米到点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，试求蓬莱阁主楼AD的高度.(精确到0.1米，2≈1.41，3≈1.73)10.(2023湖南衡阳南岳月考)如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i=1∶2，求加固后坝底增加的宽度AF的长.11.(2023重庆一中期末)如图，某天我国一艘海监船巡航到B港口正东方向的A处时，发现在A的北偏西60°方向，相距300海里的C处有一可疑船只正沿CB方向行驶，点C在B港口的北偏西30°方向上，海监船向B港口发出指令，执法船立即从B港口驶出，沿BC方向行驶，在D处成功拦截可疑船只，此时点D与点A的距离为1502海里.(1)求点A到直线CB的距离；(2)若执法船的速度是50海里/小时，则执法船从B出发经过多久拦截到可疑船只?(结果保留一位小数，参考数据：3≈1.732)能力提升全练12.(2022吉林长春中考)如图所示的是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直于地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是()A.sinα=ABBC B.sinα=BCAB C.sinα=ABAC D.sin13.(2022河南驻马店汝南模拟)阅读理解：为计算tan15°的三角函数值，我们可以构建Rt△ACB(如图)，使得∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连结AD，可得到∠D=15°，设AC=1，所以AB=BD=2，BC=3，所以tan15°=ACCD=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2-3.A.2+1 B.2-1 C.2 D.114.(2022宁夏中考)2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，如图，某一时刻在观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°，降落伞底面A点处的仰角∠ADE=46°12'.已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米.(精确到1米，参考数据：sin46°12'≈0.72，cos46°12'≈0.69，tan46°12'≈1.04)

15.(2023吉林长春东北师大附中期末)已知△ABC中，tanB=23，BC=6.过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD=2∶1，则△ABC的面积为.16.(2022贵州黔西南州中考)如图，我国海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的距离约是nmile.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数)

17.(2022湖北襄阳中考)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的.某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)18.(2023吉林长春净月期末)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成的.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁时，钢条按图1所示的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，AB=AC=50cm，∠ABC=47°.(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)图1 图2(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为35cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位?通过计算说明理由.19.(2022湖南株洲中考)如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图2所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1∶1，BN⊥l于N，且CN=2千米.(1)求∠ACB的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.图1 图220.(2022山西中考)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处的俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73).素养探究全练21.(2023重庆一中期末)去年暑假，妈妈带着明明去草原骑马.如图，妈妈位于游客中心A正北方向的B处，其中AB=2km.明明位于游客中心A西北方向的C处.烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进.15分钟后，他们在游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇.(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73，2≈1.41，结果保留两位小数)22.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON以及铅垂线OG重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON，请说明这两个角相等的理由；图① 图②(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH；(3≈1.73，结果精确到0.1米)图③(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离为m米，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米.求PH(用α、β、m表示).图④

第24章解直角三角形24.4解直角三角形答案全解全析基础过关全练1.B∵选项C、D缺少边的条件，选项A缺少锐角的条件，∴不能解直角三角形；选项B中，由∠A的正弦可求出AB的长，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC的长.2.B∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，tanB=CDBD，∴CD=BD·tanB，选项A错误；∵sinB=CDBC，∴CD=BC·sinB，选项B正确；在Rt△ADC中，sinA=CDAC，∴CDsinA，选项C错误；∵tanA=CDAD，∴CD=AD·tanA，选项D错误3.B∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AD=23，∠B=30°，∴BD=3AD=3×23=6，∵BC=10，∴CD=BC-BD=10-6=4，在Rt△ADC中，tanC=ADCD=2344.解析在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，sinA=BCAB=4∴AB=BCsinA=845=8×54=10，∵D是AB的中点，∴CD=12AB=5[变式1]解析如图，过点A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，设AE=3k，则BE=4k，∴AB=5k=15，∴k=3，∴AE=9，BE∴CE=BC-BE=15-12=3，在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC=AE2+CE[变式2]解析如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，则∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AD=DC，根据勾股定理得AD2+DC2=AC2，即2AD2=AC2=122，∴AD=DC=62，∵∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD∴BD=623=26，∴BC=DC-DB=62-25.C在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=28°，∴tan28°=ACBC，∴AC=BC·tan28°=atan286.D如图，过点E作EH⊥CD于H，易知点F在EH上，则四边形ADHE是矩形，∴DH=AE=h米，设CH=x米，在Rt△CHF中，∠CFH=∠FCH=45°，∴CH=FH=x米，在Rt△CHE中，tan∠CEH=CHEH，∴xx+a=tan17°，∴x=a·tan17°1−tan17°，∴CD=CH+DH=a·tan17°1−tan17°+ℎ米，即古塔CD7.172.8解析由题意得BC=BD-CD=96.9-7.9=89(米)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=BCABsin31°≈0.515，∴AB≈BC0.515=890.515≈172.8(米)，即拉索AB的长约为172.8.20解析∵可疑船只C在港口A的北偏东30°方向，驱逐舰B在港口A的北偏东60°方向，∴∠CAB=60°-30°=30°，∵驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30°方向上，∴∠ACB=30°+30°=60°，∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，∴sin∠ACB=ABAC，∴AC=ABsin∠ACB=10sin60°9.解析由题意可知，在Rt△ABE中，AB=34米，∠ABE=60°，∴BE=AB·cos60°=34×12=17(米)，AE=AB·sin60°=34×32=173(米).在Rt△CDE∠DCE=30°，CE=BE+CB=17+7=24(米)，∴DE=CE·tan30°=24×33=83(米)∴AD=AE-DE=173-83=93≈15.6(米)，即蓬莱阁主楼AD的高度约为15.6米.10.解析如图，分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DHtan45°=8tan45°=8(米)，在Rt△FGE中，i=1∶2=EG∶∴FG=2EG=16(米)，∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10(米)，即加固后坝底增加的宽度AF的长是10米.11.解析(1)过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，如图.由题意得∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠C=180°-30°-120°=30°，∴AH=sinC×300=150(海里)，故点A到直线CB的距离是150海里.(2)在Rt△ADH中，AD=1502海里，AH=150海里，∴DH=AD2∵∠C=30°，∠CHA=90°，∴∠CAH=60°，∴∠BAH=30°，∵tan∠BAH=BHAH=tan30°=3∴BH150=33，∴BH=503海里，∴BD=DH-BH=(150-503(150-503)÷50=3-3≈1.3(小时)，故执法船从B出发大约经过1.3小时拦截到可疑船只.能力提升全练12.D在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知sinα=sin∠ABC=ACAB13.B如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连结AD，∴∠BAD=∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=2AC=2，∴CD=BC+BD=1+2，在Rt△ADC中，tan22.5°=ACCD=11+2=14.1614解析在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=AB2−O∴AF=OE=OB+BC+CE=50+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，设DE=CE=x米，则AF=(50+x)米，DF=(x-14)米，∵∠ADE=46°12'，∴tan46°12'=AFDF=50+xx−14≈1.041614，∴CE约为1614米.15.8或24解析图形未知，涉及高时，易忘分类讨论而致错.本题分情况求解如下：(1)如图1所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=83，∴S△ABC=12BC·AD=12(2)如图2所示，∵BC=6，BD∶CD=2∶1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=23，∴ADBD=∴AD=23BD=8，∴S△ABC=12BC·AD=1综上所述，△ABC的面积为8或24.图1图216.34解析如图，过点C作CF⊥AB于F，设CF=xnmile.由题意得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在Rt△ACF中，∠CAF=30°，∴AF=3CF=3xnmile.在Rt△CFB中，∠FBC=60°，∴BF=33CF=33x∵AF+BF=AB，∴3x+33x=80，解得x=203≈34，即C岛到航线AB的距离约为34nmile17.解析由题意得∠BAD=45°，∠DAC=61°，∴在Rt△ABD中，BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan61°=CDAD=CD10≈1.80，解得CD≈18m，∴BC=BD+CD∴烈士塔的高度约为28m.18.解析(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=HC=12BC，在Rt△ABH中，∠ABC=47°，AB=50cm，∴BH=AB·cosB=50×cos47°≈50×0.68=34(cm)，∴BC=2BH68cm.(2)不能.理由：在Rt△ABH中，AH=AB·sinB=50×sin47°≈50×0.73=36.5(cm)，∵36.5cm>35cm，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.19.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1，∴CN=BN，∴∠BCN=45°，∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=30°，AM=0.6千米，∴AC=2AM=1.2(千米)，在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45°，CN=2千米，∴BC=2CN=2(千米)，∴在此过程中该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).20.解析如图，延长AB，CD分别与直线OF交于点G，点H，则AG=CH=60m，GH=AC，∠A