高考复习体系-高考母题B-三角函数“衡水赛”一等奖

课时2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前预习识记考点1.同角三角函数的基本关系式有两个：(1)=1.(2).其中(1)是平方关系.(2)是商数关系.利用这两个基本关系式，可以根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值.还可以进行化简与证明.2.对基本关系式.需要注意的是：(1)是以同角的三角函数为前提.因而=1.(2)公式是一个恒等式，对使其两端有意义的任意角均成立.(3)平方关系的公式在开平方时.需根据这个角所在的象限选择符号.商数关系可直接根据公式进行运算.3.三角恒等式证明的常用方法：(1)单向证明：从一边开始证得它等于另一边.遵循由繁到简这一原则；(2)双向起动.左边=A，右边=A.则左边=右边.A起着中间传递作用；(3)证等价命题：左边-右边=0或=1.将原等式转化为另一个等价的便于证明的等式.4.在计算、化筒或证明三角函数式时.常用的技巧有：(1)“l”的代换.为了解题的需要.有时可以将1用去代替；(2)切化弦.利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数，在三角函数的变换过程中，往往利于发现等式两边的关系或使式子简化，但有时也需要化弦为切的变换；(3)整体代换.将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系；(4)充分应用代数公式.如±=(a±b)()，或(a±b)=.5.正弦、余弦的诱导公式(1)五组同名三角函数的诱导公式：90±与，180±与，360±与；-与，可用：“奇变偶不变，符号看象限”来概括记忆(2)设0<<90，对于90~360间的角，可以表示为下列几种形式.90~180间的角可写成180-；180~270间的角可写成180+；270~360间的角可写成360-.(3)角的概念推广后.求任意角三角函数值的问题，主要运用诱导公式将之化为锐角三角函数的求值.求值的顺序为：任意角的三角函数值转化为0~360间的角的三角函数值，然后转化为，最后转化为0~90间的角的三角函数值.口诀：负变正、大化小、诱导公式变锐角.考前热身考点点击1.tan()的值为()(A) (B)(C) (D)2.若，则+的值是()-(A)-2 (B)2(C)±2 (D)3.若角的终边落在直线x+y=0上.则+的值等于()(A)2 (B)-2(C)1 (D)04.已知sin(+)=，且是第四象限角，那么的值是()(A) (B)(C) (D)5.已知，那么=______。课堂互动讲解重点【例1】已知f(x)=，求f().思路这类问题的求解一般应从化筒开始，整个过程既需用到诱导公式又需用到同角三角函数关系式，还必须对n进行分类讨论.解析当n=2k，时f(x)=，∴f()=；而当n=2k+1，时，f(x)=，∴f()=.点评化简变形时通常先用诱导公式，.将三角函数式的角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免公式交错使用时导致的混乱.已知，求下列各式的值：(1)；(2).思路由已知可以求出tan，再由同角三角函数关系式可以求得sin和，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析由已知，tan=，∴===；∴=====点评形如和的式子分别称为关于sin、的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.讨论难点已知是第三象限的角，且；(1)化简f()；(2)若=.求f()的值；(3)若=-1860，求f()的值思路显然应用到诱导公武.这既可以直接从九组诱导公武中合理选用，也可以直接运用十字诀，一般来说用后一方法记忆负担较轻.解析(1)f() = = =；(2)∵，∴，，∴f()=；∵∴ = == 点评如何运用十字诀.可通过下例来体会：设=，视为锐角，则如图可知可看成是第二象限的角，而在第二象限中余弦取负号，且k=-3为奇数，∴==.【倒4】已知sin、是关于x的方程+a=0的两个根()，(1)求sin+的值；(2)求tan+cot的值.思路涉及实系教一元二次方程实根问题，欲求二根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上，此是的解题关键在于据韦达定理和同角三角函数关系式先求出实数a来.解析依题意，方程判别式≥0，即(-a)-4a≥0，∴a≤0或a≥4，且∴=1+=，即，∴.即==.∴sin+=()()==∵tan+cot==，∴tan+cot=点评对的舍去.既可依判别式大于等于零的条件考虑.也可根据来确定.一般来讲，与实根条件相联系时.应主动思考判别式满足的条件.以免出错.公式多、运算复杂是三角函数学习的特点，若善于观察、注意识记、努力掌握一些常用规律，则能变“多”为少.化“繁”为简.随堂小结方法提炼1.已知角的某一种三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般思路是按“倒、平、侧、商、倒”的顺序很易求解，特别是耍注意开方时的符号选取.2.在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征.灵活、恰当的选用公式。一般思路是将切割化弦.但在某些特殊问题中就不要化切割为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁.如“求证=”，利用倒数关系可得简证.3.证明三角恒等式的常用方法为：①从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；②证明左、右两边都等于同一个式子(或值).4.学会利用方程思想解三角题，对于，，这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出.变式训练能力进阶一、选择题1.已知=，且，则的值是()(A) (B)(C) (D)±2.若，则的值为()(A)0 (B)1(C)-1 (D)3.已知A为锐角，，，则的值为()(A) (B)(C)() (D)()4.若，则的值等于()(A) (B)(C) (D)5.如果=，且0<x<，那么的值()(A) (B)或(C) (D)或6.(2004年春招北京卷理文)已知<0，>0，则下列不等关系中必定成立的是()(A) (B)(C) (D)二、填空题7.已知=3+2，则=______.8.已知=，则=______.9.已知=，，则=______.三、解答题10.若=(其中0<a<1)，化简+11.证明下列等式：(1)=；(2)=.12.已知关于x的方程+m=0的两根为和，，求：(1)+的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值.13.(选做题•2003年西安市联考试题)如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值.课时2同角三角函数的基本关系式与诱导公式考前热身1.