第二章连续时间系统时域分析

第二章连续时间系统时域分析第1页，共51页，2023年，2月20日，星期三

线性时不变连续时间系统的激励e(t)与响应r(t)之间的关系，可用以下线性常系数微分方程描述。系统分析的任务就是求解这个n阶非齐次线性常微分方程。§2.1引言第2页，共51页，2023年，2月20日，星期三微分方程求解时域分析法变换域法（LT法）全响应=零输入响应+零状态响应（卷积积分法）全响应=齐次解+特解（自由响应）（强迫响应）第3页，共51页，2023年，2月20日，星期三1.R、L、C元件端口电压与流经电流的约束关系（一）微分方程的建立§2.2微分方程的建立与算子表示法2.电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）C第4页，共51页，2023年，2月20日，星期三1Ω1F1H1Ω例：右图所示电路，激励为电流，响应取，列写微分方程。解：消去中间变量，得方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。第5页，共51页，2023年，2月20日，星期三（二）微分方程的算子表示法（参考P78§2.10节）微分算子积分算子称为系统的传输算子传输算子是系统数学模型的另一种形式。第6页，共51页，2023年，2月20日，星期三例：第7页，共51页，2023年，2月20日，星期三1.算子符号的运算规则（1）算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。例：（2）等式两端的公共因子不能随意消去。例：不等价于（3）第8页，共51页，2023年，2月20日，星期三2.借助算子符号建立微分方程广义阻抗1Ω1F1H1Ω例1：第9页，共51页，2023年，2月20日，星期三例2：P83习题2-1（a）e(t)+vo(t)1HR12ΩL1R21ΩC1FL22H+--i2(t)i1(t)多余的公共因子可消去第10页，共51页，2023年，2月20日，星期三总结：（1）引入算子符号后，RLC电路可借助纯电阻电路的分析方法；（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路阶数（独立储能元件的个数）。第11页，共51页，2023年，2月20日，星期三（1）求齐次解

特征方程特征根、

∴齐次解（2）求特解根据，设§2.3用时域经典法求解微分方程，求完全响应。，例：系统微分方程、激励信号及初始条件如下：第12页，共51页，2023年，2月20日，星期三完全解（3）由初始条件确定待定系数②微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特性决定；

特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应的全部形式；③特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。①系统的完全响应=自由响应

+强迫响应；第13页，共51页，2023年，2月20日，星期三1、齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解的形式。经典法求解微分方程步骤：特征根对应的齐次解部分项单根二重根例：对特征根（二重根），齐次解第14页，共51页，2023年，2月20日，星期三激励函数e(t)特解（不是系统的特征根）（是系统的特征根（非重根））3、全解=齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数。2、特解：根据激励函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。P51例2-5：第15页，共51页，2023年，2月20日，星期三§2.4起始点的跳变——从0-到0+状态的转换系统状态阶系统，在时刻的状态若从时刻开始作用，则系统状态可能会发生跃变。0-状态：0+状态：0-状态0+状态确定的待定系数，需要用0+状态。第16页，共51页，2023年，2月20日，星期三（一）实际电路条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C；没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。+-+-RCP54例2-6：,,求。第17页，共51页，2023年，2月20日，星期三例：如右图所示电路，t<0开关S处于1的位置且电路已经达到稳态；当t=0转向2。建立i(t)的微分方程，并求i(t)在时的变化。解：（1）列写微分方程第18页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）求系统的完全响应齐次解：特征方程特征根齐次解设，将其代入微分方程，得系统的全响应为：

特解：第19页，共51页，2023年，2月20日，星期三换路后换路前

（3）确定换路后的第20页，共51页，2023年，2月20日，星期三全响应（4）确定系统t≥0+的全响应（二）用微分方程描述的系统——奇异函数平衡法包含项P54例2-6：第21页，共51页，2023年，2月20日，星期三P84习题2-6：，求。、、解：将代入方程右端，得包含项当系统用微分方程描述时，系统的0-到0+状态有没有跳变取决于微分方程右端有无冲激函数及其各阶导数项。第22页，共51页，2023年，2月20日，星期三零输入响应：零状态响应：§2.5零输入响应与零状态响应LTI系统响应的另一种分解形式满足：（一）零输入响应的求解（a）（b）系数Ak可直接由来确定。没有外加激励信号的作用，仅由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。系统的起始状态为零，仅由外加激励信号所产生的响应。第23页，共51页，2023年，2月20日，星期三特征方程特征根零输入响应将起始状态代入，得零输入响应为解：P84习题2-6：，求。、、第24页，共51页，2023年，2月20日，星期三（二）零状态响应的求解满足：（a）（b）P84习题2-6：，求。、、解：设，将其代入微分方程，得（1）（2）第25页，共51页，2023年，2月20日，星期三将代入方程右端，得包含项（3）确定第26页，共51页，2023年，2月20日，星期三自由响应瞬态响应强迫响应零输入响应零状态响应全响应稳态响应第27页，共51页，2023年，2月20日，星期三（三）零状态响应的卷积法求解作用于系统产生的零状态响应线性线性时不变性激励分解为冲激函数之和

单位冲激信号作用于系统产生的零状态响应，称为单位冲激响应，以表示。记为LTI系统的零状态响应分解为冲激响应之和第28页，共51页，2023年，2月20日，星期三（四）对系统线性的进一步讨论常系数线性微分方程描述的系统的线性包含以下三层含义：（a）响应的可分解性完全响应=零输入响应+零状态响应（b）零输入线性当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系。（c）零状态线性当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性关系。第29页，共51页，2023年，2月20日，星期三§2.6单位冲激响应的求解单位冲激响应：单位冲激信号作用于系统产生的零状态响应，以表示。和的关系：单位阶跃响应：单位阶跃信号作用于系统产生的零状态响应，以表示。第30页，共51页，2023年，2月20日，星期三次次当时，中无冲激函数项；当时，中将含有给定微分方程（a）满足：（b）内，当时，中将含有项；第31页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：例1:描述某LTI系统的微分方程为求系统的单位冲激响应。设则第32页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：例3：求。教材P62例2-9：特征方程设则第33页，共51页，2023年，2月20日，星期三第34页，共51页，2023年，2月20日，星期三LTI系统：（一）卷积积分的定义一般地，两函数的卷积积分定义为

卷积的基本计算方法：图解法。§2.7卷积固定函数滑动函数第35页，共51页，2023年，2月20日，星期三（二）卷积的图解法计算（1）先将e(t)和h(t)的自变量t改成，即：（2）将其中的一个信号反褶，（3）时移：步骤：（4）相乘：（5）对乘积后的图形积分：难点：积分上、下限的确定右移t第36页，共51页，2023年，2月20日，星期三0t12h(t)e(t)-1/210t1

例1：已知信号e(t)与h(t)如下图所示，求解：-1/211tt-201201-2第37页，共51页，2023年，2月20日，星期三

（1）当

时，（2）当时，重合区间（3）当重合区间即时，11tt-211tt-211tt-2第38页，共51页，2023年，2月20日，星期三（4）当，即当时,重合区间（5）当，即时，11tt-211tt-2第39页，共51页，2023年，2月20日，星期三13t00t12h(t)e(t)10t1若参与卷积的两个信号不含有

等奇异函数，则卷积的结果必定为一个连续函数；且左边界等于左边界之和，右边界等于右边界之和。第40页，共51页，2023年，2月20日，星期三解：

例2：已知

求。（1）当t<0时，（2）当t>0时，第41页，共51页，2023年，2月20日，星期三需要记忆的几个卷积：◆◆◆◆第42页，共51页，2023年，2月20日，星期三（一）卷积代数（1）交换律（2）分配律e(t)h2(t)h1(t)§2.8卷积的性质

分配律用于系统分析：并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。第43页，共51页，2023年，2月20日，星期三（3）结合律

结合律用于系统分析：串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。e(t)h2(t)h1(t)可逆系统逆系统第44页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）积分特性（3）微分、积分特性条件：（二）卷积的微分与积分（1）微分特性第45页，共51页，2023年，2月20日，星期三若（三）卷积的延时特性则需要记忆的卷积：◆◆◆◆例：（1）（2）第46页，共51页，2023年，2月20日，星期三例1：已知f1(t)、f2(t)如图所示，求s(t)=f1(t)*f2(t)，并画出

s(t)的波形。解：第47页，共51页，2023年，2月20日，星期三0t12h(t)-1